寿险精算现值保险精算课程讲义学习教案

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1、寿险寿险(shu xin)精算现值保险精算课程精算现值保险精算课程讲义讲义第一页，共28页。第1页/共28页第二页，共28页。1、终身、终身(zhngshn)寿寿险险.xA用表示终身寿险的精算现值110010/1.kx kxxx kxx kxkkkxxkkAvdlvdl vxAvq 其中 实质上是一个有限的数。或第2页/共28页第三页，共28页。从概率的角度来看，我们可以得出(d ch)这样的结论： 11111010,:,:.,.KKKKkxx kxkkxxkkxkxxx kkxK xKxZvKbZbvZKP KkpqqAE Zvqll Avd设的整值余寿为简记为则对的赔付款的现值就是一个随机

2、变量.更一般 如果赔付额也依赖于余寿以表示 则.赔付现值的随机变量 的期望值就是保险的精算现值.的概率分布函数为故在上式两边同乘得到给出直观解释第3页/共28页第四页，共28页。010,10,110110110 xxxxx ttxxxxx ttxxxDv lxNDxCvdxxMCxMAD引入转换函数：岁存活人数每人 单位元在 岁的现值；从 岁起到生命最大值岁上存活 人每人每年 单位元赔付在 岁的现值。，岁死亡的人数每人 单位元赔 付在 岁的现值；，从 岁起到生命最大值岁上每人 单位元赔付在 岁的现值。则 第4页/共28页第五页，共28页。 222121220022,VarVarkkxxxkkk

3、kxxZZE ZE ZAE ZvqeqZAAZ对于赔付现值随机变量计算方差：它相当于以计算趸缴净保费息力的两倍计算的趸缴净保费。的方差反映赔付现值随机变量的变动程度，用于衡量保险公司承担的风险赔付程度。2、定期、定期(dngq)寿险寿险第5页/共28页第六页，共28页。2111:1211:2111:2101111100 xnxxx nxxx nnxxxx nx nnxxx nx nxnxxnxnnttxx ttttxlvdv dv dxlA lA lvdv dv dvdv dv dAlv qvqvqvqvd 假设在 岁时有 人参加定期寿险，保险人给付的所有保险金的现值为：岁的 人共趸缴净保费为

4、，由平衡原理，有：所以： 11000/11()nx txxx txtx tx n txx nttxxlvdl vCCMMDD 第6页/共28页第七页，共28页。从概率的角度来看，我们(w men)的结论： 1111:0122121121:01,:0,1,.,10,1,.Var,Knkxkx nknkxkx nx nx nkxxvKnZkn nAE ZvqZZAAwhereAeq设的 单位元赔付n年定期寿险 则对的赔付款的现值随机变量.故的方差为：第7页/共28页第八页，共28页。3、两全、两全(lin qun)寿险寿险 两全寿险是定期寿险和生存保险的合险。对(x)的1单位元n年两全寿险，是对（

5、x）的n年定期寿险和n年纯生存保险的合险。 后者是以n年期满被保险人仍然存活为给付条件(tiojin)的生存保险，其现值随机变量为： 1:1:,1,.00,1,.,1.nx nnnxx nvKn nZKnAAE Zvp其精算现值以表示，有第8页/共28页第九页，共28页。1:1111:00,1,.,1,1,.Knx nnknxnxkx nx nx nkxx nx nxxnnvKnZvKn nAAAAvqvpMMDDD把 年定期寿险与 年纯生存保险组合在一起，两全保险现值随机变量为：其精算现值以表示，有 两全寿险现值随机变量可以(ky)分解为定期寿险现值随机变量和纯生存保险现值随机变量两部分。第

6、9页/共28页第十页，共28页。 1212121212121212121212121212222222,VarVarVar+Var2CovCov0,0,VarVarVar+Var2VarnnZZnZnZZZZZZZZZZZZE Z ZE ZE ZZZZ ZE Z ZZZZZZE ZE ZwhereZE ZE Zvp设 为两全寿险现值随机变量，为 年定期寿险现值随机变量为 年纯生存保险现值随机变量 则又和不会同时发生，即故22.nnxnxnxnxvpvp q第10页/共28页第十一页，共28页。4、延期、延期n年的终身年的终身(zhngshn)寿险寿险 111:100,1,.,1,1,.xnKk

7、x nxxxxnknx nk nxnxnxx nnnAxnKnZvKn nMAE ZvqAAADAvp A 延期 年的终身寿险：用表示，某人 岁开始投保，延期 年后死亡年末给付 单位元的延期终身寿险的现值。现值随机变量为： 或者证明： 给出实际意义的解释。第11页/共28页第十二页，共28页。5、延期、延期(yn q)m年的年的n年定期寿险年定期寿险 111111:1:100,1,.,1,1,.,1xm nKm nkx mx m nxxm nkx m nx mk mxxm nmx nmAxmKmZvKm mmnMMAE ZvqAADAA 延期 年的定期n年寿险：用表示，某人 岁开始投保，延期

8、年后n年内死亡年末给付 单位元的延期寿险的现值。现值随机变量为： 注：有的书上记为。第12页/共28页第十三页，共28页。例1 某人在25岁投保了定期35年的人寿保险， 保险金于死亡年末(nin m)给付，利率为0.06，问（1）若保险金额为100000元，求起趸缴净保费。 （2）若此人投保一次缴付1500元的净保费，求其保险金额是多少？例2 在例1中，把35年的定期寿险改成终身(zhngshn)寿险，其他情况不变。（1）若保险金额100000元，求其趸缴净保费； （2）若词人投保时依次缴付1500元的净保费，其保险金额是多少？例3 在例1中，把15年的定期期限改成延期终身(zhngshn)寿

9、险，其他不变。若保险金额是20000元，求其应付的趸缴净保费是多少元？第13页/共28页第十四页，共28页。6、标准(biozhn)变额寿险 111110:,0,1,.KKKkkxkkbZbvKAE Zbvq 在承接人寿保险业务的实际工作中，经常会遇到保险金额随着保险时期的不同而变化的寿险。假设保险金的给付还是在死亡年末进行，则对随不同时期而给付的保险金的寿险现值，推理如下： 如果赔付额随机变量为其现值为趸缴净保费现值为：本节介绍当保险金随保险时期按等差数列变动时的现值表达式。（1）递增型人寿保险的趸缴净保费（2）递减型人寿保险的趸缴净保费第14页/共28页第十五页，共28页。（1）标准递增）

10、标准递增(dzng)终身寿险终身寿险10100120000(1)11(1)(1)11xtxtxtx tx tx txttxxx txtxtx tttttxxxIAIAtvqtvdtCv lDCCCMDD 某 岁的人投保，保单规定，若被保险人在第一年死亡，保险金为1单位元；若被保险人在第二年内死亡，保险金为2单位元用表示这种保险的现值，则引进转换0 xxx txtxRRMIAD函数：则第15页/共28页第十六页，共28页。 100(1)kxxkxkkIAE Zkvqk A根据概率的知识，我们还可以得到（2）定期递增）定期递增(dzng)寿险寿险1:1111:0010101(1)(1)1x nnn

11、kxx kkx nkkxnx kx nkxnxx nx nxk n kkxIAIAkvqkCDMMDRRnMAD用表示趸缴净保费，则第16页/共28页第十七页，共28页。 从标准递增定期寿险的意义出发，可以得到另外两个(lin )不同的公式：11:0111:1nxxknx nknx nx n kx nkIAAn AIAnAA（3）n年标准年标准(biozhn)递增的两全寿险递增的两全寿险:11:x nx nx nx nIAnnnIAIAnA 精算现值以表示，它是 年定期递增寿险精算现值与 年 单位元纯生存保险现值之和，有第17页/共28页第十八页，共28页。（4） 等值递增等值递增n年的终身年

12、的终身(zhngshn)寿险寿险的趸缴净保费的趸缴净保费1100(1)(1)nxnxnxxtxtnxt nn txx n tn tttx nxxx nnxxIAIAIAIAIAtnvqtvqMRDRRIAD 用表示趸缴净保费，则其中，所以，我们得到：第18页/共28页第十九页，共28页。（5）递减）递减(djin)型人寿保险的趸缴型人寿保险的趸缴净保费净保费1:12311221:1231122112211(1)(2)21(1)(2)21(1)(2)2xnnnxxxx nx nxnxxxxx nx nxxxx nx nxxxxx nx nxDADAnvdnv dnv dv dv dlnv dnv

13、dnvdvdvdDnCnCnCCCD 用表示这种寿险的趸缴净保费。12121111:01() ()()1()xxxxxx nxxxxx nxnxxx nxn kkxMMMMMMDnMMMMDnMRRAD 第19页/共28页第二十页，共28页。111:111:(1)(1)x nx nx nx nx nx nDAIAnADAnAIA 可以得到：即Eg6.4 某人在40 岁时投保了3年期10000元定期寿险，保险金在死亡年末赔付，根据中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）（男女混合(hnh)）和利率5%计算趸缴净保费。Eg6.5 某人在40岁时买了保险额为20000元的终身寿险，假设他的生存

14、函数表示为S(x)=1-x/105，赔付在死亡年末支付，利率为10%，求这一保单的精算现值。第20页/共28页第二十一页，共28页。1、终身、终身(zhngshn)寿险寿险 02222220,0,1VarTTTxx ttxxx txxtxxx tZb vTbTpAE Zv pdtZZE ZE ZAAwhereAepdtttt赔付现值随机变量为：表示死亡时赔付额函数。的概率密度为对于 单位元终身寿险精算现值，我们表示为：的方差为：第21页/共28页第二十二页，共28页。 积分形式在不知道生存函数下，很难处理。在实际中，通常只有生命表提供的整数年龄(ninlng)上的死亡率，因此需要做出如下变换：

15、100100111001110001.kttxxx txx tkkk sk sxx k skkskxsx kx k skx kx k sx ksksxkxx kxkAv pdtv pdtvpdsvpvpdspqsithenAvpqvdsA tt在死亡均匀分布假设下，有第22页/共28页第二十三页，共28页。2、定期、定期(dngq)寿险寿险 1:0222211:212:011:000VarTntxx tx nx nx nntxx tx nx nx nvtnZtAE Zv pdtZZE ZE ZAAwhereAepdtiAA tt的方差为：计算后得，第23页/共28页第二十四页，共28页。3、两

16、全、两全(lin qun)寿险寿险11:111:1x nx nx nx nx nx nx nx nAAAiiAAAAA在死亡均匀分布假设下，有4、其他、其他(qt)变额寿险变额寿险 011:011:0()( )1()1()1()()()()( ) ttxtx x txxtx x tnnxnntttx x txtx x tnxnxnnntxxxtx x tnnxnxniiAv pu dtA IAE ztv pu dtIAiIAtv pu dtIAIAtv pu dtiI AIAIADAE znt v pu dtDA，？，第24页/共28页第二十五页，共28页。111001111111110:/x

17、xxxttxx txtxx tttttxtxx txxtxx tttkxxkxx kxxxkAvqvApAvdlvp qvqvp qvqvpvpqvqvpvpqvqvp A 终身寿险的现值之间有这样的递推公式证明实际意义定理: 的解释:第25页/共28页第二十六页，共28页。1111110110,1,2,1xxxxx kx kx kx kkkxx kx kkAvAvAqxkAvAvAqkvAvAq 把上式改成下式:其实际意义是:本式是对x岁终身寿险现值的分解,如果对在岁用本式,可以得到:用 同乘以两边,并累加在一起,可以得到:第26页/共28页第二十七页，共28页。 11111111111,1,:1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxii AqqAiAAAAqdvdAAAvAqAdAuAuAuAdx 两边乘以(),有 ()进一步，实际意义的解释： 由还可将上式写成:此式的实际意义是: 对于死亡瞬时支付保险金的终身寿险我们可以得到微分方程第27页/共28页第二十八页，共28页。