同济大学高等数学上D二重积分概念学习教案

《同济大学高等数学上D二重积分概念学习教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学上D二重积分概念学习教案（29页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、同济大学同济大学(tn j d xu) 高等数学上高等数学上D二二重积分概念重积分概念第一页，共29页。三、二重积分的性质三、二重积分的性质(xngzh) 一、引例一、引例(yn l) 二、二重积分的定义二、二重积分的定义(dngy)与可积性与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 第1页/共29页第二页，共29页。解法解法: 类似定积分类似定积分(jfn)解决问题的思想解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(tj) 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧

2、面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共29页第三页，共29页。D),(yxfz 1)“大化(d hu)小”用任意(rny)曲线网分D为 n 个区域n,21以它们(t men)为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共29页第四页，共29页。4)“取极限(jxin)”的直径

3、为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共29页第五页，共29页。有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有(zhnyu)区域 D ,),(Cyx计算(j sun)该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 ,则M若),(yx非常数 ,仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx第5页/共29页

4、第六页，共29页。2)“常代变”中任取一点(y din)k在每个),(kk3)“近似(jn s)和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限(jxin)”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx第6页/共29页第七页，共29页。两个(lin )问题的共性：(1) 解决问题的步骤(bzhu)相同(2) 所求量的结构式相同(xin tn)“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 第7页/共29页第八页，共29页。定义定义(dngy):),(yxf设将区域(qy) D 任意分成 n 个小区域(qy),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共29页第九页，共29页。DyxfVd),(引例(yn l)1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面(pngmin

6、)薄板的质量:如果(rgu) 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共29页第十页，共29页。若函数(hnsh),(yxf),(yxf定理(dngl)2.),(yxf上可在则Dyxf),(证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重积分存在 ;y

7、xyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共29页第十一页，共29页。Dyxfkd),(. 1( k 为常数(chngsh)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积(min j), 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共29页第十二页，共29页。特别(tbi), 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxf

8、d),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积(min j)为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共29页第十三页，共29页。7.(二重积分的中值(zhn zh)定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质(xngzh)6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少(zhsho)有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机动

9、目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共29页第十四页，共29页。d)(,d)(32DDyxyx其中(qzhng)2) 1()2( :22yxD解解: 积分积分(jfn)域域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共29页第十五页，共29页。yxyxyxdd1432222的正负号.解解: 分积分分积分(jfn)域为域为,321DDD则原式 =yxyxD

10、dd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜想结果为负 但不好(b ho)估计 .舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共29页第十六页，共29页。10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积的面积(min j)为为200)210(2由于(yuy)yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共29页第十七页，共29页。xyoD),

11、(yxfD 位于 x 轴上方(shn fn)的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于(guny) y 轴对称, 函数关于(guny)变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共29页第十八页，共29页。xbad 设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0

12、bax 平面(pngmin)0 xx 故曲顶柱体体积(tj)为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共29页第十九页，共29页。ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样(tngyng), 曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分(jfn)计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第

13、19页/共29页第二十页，共29页。xyzRRo解解: 设两个直圆柱设两个直圆柱(yunzh)方程为方程为,222Ryx利用(lyng)对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共29页第二十一页，共29页。1. 二重积分的定义(dngy)Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质(xngzh)(与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的

14、计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共29页第二十二页，共29页。被积函数(hnsh)相同, 且非负, yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们(t men)的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共29页第二十三页，共29页。,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小(dxio)顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示(tsh): 因 0 y 1, 故;212y

15、yyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共29页第二十四页，共29页。.dd)(sin2200yxyxI解解:)cos(yx 0220yd20dcossinyyyyysincos2xyxyId)(sind220002机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第24页/共29页第二十五页，共29页。, 2d)cossin(122Dyx其中(qzhng)D 为.10, 10yx解解: 利用利用(lyng)题中题中 x , y 位置的对称性位置的对称性, 有有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(2

16、22221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共29页第二十六页，共29页。 P78 2，4，5 P95 1(1), 8第二节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第26页/共29页第二十七页，共29页。5 . 04 . 0I1. 估计估计(gj) 的值, 其中(qzhng) D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共29页第二十八页，共29页。220yx 0)ln(22 yx的正负(zhn f).)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是(ysh)2)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD第28页/共29页第二十九页，共29页。