梯形常用辅助线的做法

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1、.梯形常用辅助线的做法常见的梯形辅助线基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形【例1】 已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作 ,交AB于E. AB平行于CD,且 ,四边形 是菱形.又 为等边三角形.又 ,.例2如图,在梯形ABCD 中,ADBC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若 .AD = 7 ,BC = 15 ,求EF 分析：由条件 ,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是MEN 的中线解：过E 作

2、EMAB ,EN DC ,分别交BC 于M 、N , , 是直角三角形, , , . 、 分别是 、 的中点, 为 的中点, . 变式：如图1,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰BC的取值范围。图1析解：过点B作BM/AD交CD于点M,则梯形ABCD转化为BCM和平行四边形ABMD。在BCM中,BM=AD=4,CM=CDDM=CDAB=83=5,所以BC的取值范围是：54BC54,即1BCCD,求证：BDAC。 图8析证：作AEBC于E,作DFBC于F,则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中,因为ABCD,AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在R

3、tBDF和RtCAE中由勾股定理得BDAC4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决例5.如图,等腰梯形 中, , ,且 , 是高, 是中位线,求证： 分析：由梯形中位线性质得 ,欲证 ,只要证 过 点作 ,交 的延长线于 ,就可以把 、 和 移到三角形 中,再证明等式成立就简单多了证明：过 点作 交 的延长线于点 ,则四边形 是平行四边形 , 四边形 是等腰梯形, ,又 , , , . ,又 , . 例6.已知：如图,在梯形中, .求证：梯形 是等腰梯形.证明：过D作 ,交BA延长线于

4、E.则四边形 是平行四边形.又 ,于是,可得梯形ABCD是等腰梯形.变式1：如图3,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,AD=3,BC=7,BD=,求证：ACBD。图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形,则DE=BC,CE=BD=,所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中,AC=BD=,所以在ACE中,从而ACCE,于是ACBD。变式2：平移对角线已知梯形ABCD的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线长为_变式3:如图4,在梯形ABCD中,AD/BC,AC=15cm,BD=20cm,高DH=

5、12cm,求梯形ABCD的面积。图4析解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形,即。所以由勾股定理得cmcm所以,即梯形ABCD的面积是150cm2。5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系. 或利用等积变形,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题 例7.已知：如图4,在梯形 中, 是 的中点,且 .求证：.证明：取 的中点F,连结FE.则 ,. 例8.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且ADBC=DC , 求证：DEEC,DE平分ADC,CE平分BCD 证

6、法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线 EFADBC EF= 1=5,3=6 DC=ADBC EF=DC=DF=CF 1=2,3=4 2=5,4=6 1324=180 13=90 DEC,DE平分ADC,CE平分CD 证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、EF解决.变式1：如图9,在梯形ABCD中,AB/DC,O是BC的中点,AOD=90,求证：ABCD=AD。图9析证：取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线,从而OE=ABCD在AOD中,AOD=90,AE=DE所以由、得ABCD=AD。变式

7、2：在梯形ABCD中,ADBC, BAD=900,E是DC上的中点,连接AE和BE,求AEB=2CBE。解、分析：分别延长AE与BC ,并交于F点,从而等到ADE与FCE是全等的,在利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论。解：分别延长AE与BC ,并交于F点BAD=900且ADBCFBA=1800BAD=900 又ADBCDAE=F AED=FEC 对顶角相等DE=EC E点是CD的中点ADEFCE AAS AE=FE在ABF中FBA=900 且AE=FE BE=FE直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在FEB中 EBF=FEBAEB=EBF+ FEB=2CBE6.已知梯形两

8、条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延长与底边相交,使问题转化为三角形中位线。例10如图10,在梯形ABCD中,AD/BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证：1EF/AD；2。图10析证：连接DF,并延长交BC于点G,易证AFDCFG则AD=CG,DF=GF由于DE=BE,所以EF是BDG的中位线从而EF/BG,且因为AD/BG,所以EF/AD,EF7.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.例9.已知：如图5,在梯形ABCD 中,M

9、、N分别是BD 、AC 的中点.求证：.证明：连结并延长,交 于E.则.又N是AC的中点,故取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形例10.如图,梯形 中, 、 分别平分 和, 为 中点,求证： 分析：要证明,可以利用 为 中点,延长 与 的延长线交于,得到,再证明 即可证明：延长 、 交于点 F,显然, . 又, 是线段 的垂直平分线, . 评注：添加辅助线后,沟通了 、 与 的联系,由线段垂直平分线性质得出,从而问题获得解决利用一腰中点旋转例11.已知：如图,在梯形 中, 是CD的中点.求证：.证明：延长AE、BC相交于点F.易证., 即.BE是等腰 底

10、边上的高.说明：在图5中, 相当于由 绕点E旋转 得到；在图6中, 是由 绕点E旋转 得到.例12.如图,梯形 中, 为腰 的中点,求证：.分析： 与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰证明：延长,使,延长,使 ；则,则四边形 是平行四边形 为 的中点,连结, 与 交于点.连结 、,则 . , 是 中点, 为 中点且是 中点四边形 是平行四边形,模拟试题1. 若等腰梯形的锐角是60,它的两底分别为11cm,35cm,则它的腰长为_cm. 2. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD

11、BC,B60,AD2,BC8,则此等腰梯形的周长为 A. 19B. 20C. 21D. 223. 如图所示,ABCD,AEDC,AE12,BD20,AC15,则梯形ABCD的面积为 A. 130B. 140C. 150D. 1604. 如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知ADBC,对角线AC与BD互相垂直,且AD30,BC70,求BD的长. 5. 如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60,它的两底分别为15cm和49cm,求它的腰长. 6. 如图所示,已知等腰梯形ABCD中,ADBC,ACBD,ADBC10,DEBC于E,求DE的长. 7. 如图所示,梯形ABCD中,ABCD,D2B,ADDC8,

12、求AB的长. 8. 如图所示,梯形ABCD中,ADBC,1若E是AB的中点,且ADBCCD,则DE与CE有何位置关系？2E是ADC与BCD的角平分线的交点,则DE与CE有何位置关系？课后演练1本小题满分5分已知：如图,梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,BAD、CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F求证： CE=BF2如图,在梯形中,求的长3如图6,在梯形中,DE=EC,AB=4,AD=2,求的长4如图,在平面直角坐标系中,A,0,B,2.把矩形OABC逆时针旋转得到矩形.1求点的坐标； 2求过点2,0且平分矩形面积的直线方程；备用图3设2中直线交轴于点P,直接写出与的面积和的值及

13、与的面积差的值.5. 如图,矩形纸片ABCD中,BC=4,AB=3,点P是BC边上的动点现将PCD沿PD翻折,得到PCD；作BPC的角平分线,交AB于点E设BP= x,BE= y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是6已知：如图,梯形ABCD中,DCAB,AD=BC,对角线AC、BD交于点O,COD=60,若CD=3,AB=8,求梯形ABCD的高7已知如图,直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,AD=2,BC=DC=5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,APD中边AP上的高为.12题图DCPBA8 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线作匀

14、速运动,那么ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是O3113SxAO113SxO3Sx3O113SxBCD29如图,在四边形中,AC平分BAD,求AC的长OOOP10题10如图,直线：与直线：相交于点1求的值；2不解关于的方程组请你直接写出它的解；3直线：是否也经过点？请说明理由11已知：关于的一元二次方程m为实数若方程有两个不相等的实数根,求的取值范围；12已知：如图,直线与轴、轴分别交于点和点,是轴上的一点,若将沿直线折叠,点恰好落在轴正半轴上的点处,求直线的解析式14如图,在梯形ABCD中,AD/BC,BDDC,C=60,AD=4,BC=6,求AB的长15已知：如图,在梯形ABCD中,ADBC,B=45,BAC=105,AD=CD=4求BC的长DABC16已知：将函数的图象向上平移2个单位,得到一个新的函数的图像求这个新的函数的解析式；若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于、两点,与直线xyO交于、两点试判断以、四点为顶点的四边形形状,并说明理由；17 如图,在梯形中,过点,求的长14 / 14