统计学原理(暨南大学

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1、第五章 平均指标一、学习目的与要求通过对本章的学习，使读者明确平均指标的概念、特点和作用，掌握各种平均数的计算方法和应用条件，了解计算和应用平均数的原则，以及几种平均数的关系。二、学习重点与难点本章重点是算术平均数和调和平均数的计算。难点是众数和中位数的计算，以及由相对数或平均数求总体平均数时权数的选择。三、授课时间本章授课时间为6学时。第一节 平均指标的基本内容n （一）平均指标的概念n 同质总体某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。 如：足球队队员的平均身高、平均体重代表了该球队队员的身体素质水平；平均入球数代表了球队整体的技术水平。n

2、 （二）平均指标的特点n 1、同质性n 2、代表性n 3、抽象性n （三）平均指标的作用n 1、可以比较同类现象在不同单位、不同地区间的平均水平。n 2、可以比较同类现象在不同时期的平均水平。n 3、可用于研究事物之间的依存关系。n 4、利用平均数还可以进行推算和预测。（四）平均指标的种类n 算术平均数 （数值平均数）n 调和平均数 （数值平均数）n 几何平均数 （数值平均数）n 众数 （位置平均数）n 中位数 （位置平均数）第二节 算术平均数n （一）算术平均数的概念n 算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。n 算术平均数=标志总量总体总量n （二）算术平均数与强度相对数的比较n 1、

3、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一般水平的指标。n 2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。n 3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一 一对应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没有一一对应关系。（三）算术平均数由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可分为简单算术

4、平均数和加权算术平均数。n 1、简单算术平均法n 计算公式：n 其中：代表算术平均数，xi代表各单位标志值（变量值），n代表总体单位数（项数）。n 采用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法计算；如果是组距式资料,则要计算组中值作为代表标志值进行计算。例：某公司下属各店职工按工龄分组情况工龄组中值x人 数 f一店二店三店四店五店02年1.01111725年3.57772525510年7.525251361020年15.01010631合计4281002020平均工龄6.756.756.7510.3253.4252、加权算术平均法n 计算公式：n 其中：代表算术平均数，x 代表各单位标志值（

5、变量值），f 代表各组单位数（项数）。n 一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。n 四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。n 结论：平均数水平高低受两个因素的影响：n （1）变量 xn （2）权数 f，绝对权数表现为次数、频数，相对n 权数表现为频率。（四）算术平均数的若干数学性质n 1、平均数与总体单位数的积等于标志总量n 2、若每个变量值 X 加减一任意常数a，则平均数也增减一个a。n 3、若每个变量值 X乘以一任意常数a，则平均数也乘以一个a。n 4、若每个变量值 X除以一任意常数a，则平均数也除以一个a。n 5、各个变量值X与算术平均数的离差和为零。n 6、各个变量值X与算术平均数

6、的离差平方和为最小值。（五）交替标志平均数n 1、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。nn 2、表示形式：n 1：具有某种属性的单位标志值。n 0：不具有某种属性的单位标志值。n N：全部总体单位数。n N1：具有某种属性的总体单位数。n N2：不具有某种属性的总体单位数。n P= N1 /N：具有某种属性的单位数所占的比重。n Q= N2 /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。n 其中：P+Q=1nn 3、平均数第三节 调和平均数n n （一）调和平均数的概念及计算方法n n 调和平均数又称倒数平均

7、数，是变量倒数的算术平均数的倒数。n n （二）调和平均数与算术平均数的比较n n 变量不同：算术平均数是x，调和平均数是 1/x 。n n 权数不同：算术平均数是f或n，代表次数（单位数），调和平均数是xf或M，代表标志总量。n n 联系：调和平均数作为算术平均数的变形使用：（三）应用调和平均数应注意问题n n 1、变量x的值不能为0。n n 2、调和平均数易受极端值的影响。n n 3、要注意其运用的条件。n n n n 例一 水果甲级每元1公斤，乙级每元1。5公斤，丙级每元2公斤。问：n n （1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？n n （2）各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？n

8、n （3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？n n （4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？n n 例二 帆船比赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各航行2小时，平均时速是多少？解：n n 例一n n （1）（2）n n （3）n n （4）n n 例二第四节 几何平均法n （一）什么是几何平均法？n 几何平均法是n个变量连乘积的n次根。n 几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等的计算就采用几何平均法。n 1、简单几何平均法n 2、加权几何平均法（

9、二）应注意的问题n 1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平均数为0。n 2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。n 3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。例题：n 假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问此5年内该地平均储蓄年利率。第五节 众数和中位数n （一）众数n 1、众数是指变量数列中出现次数最多或频率最大的变量值。n 2、适用条件：只有集中趋势明显时，才能用众数作为总体的代表值。n 3、众数的计算方法n （1）单项数列确定众数，即出现次数最多（频率最大）的标志值就是众数。n （2）组距数列确定众数

10、：在等距数列条件下，先确定众数组，然后再通过公式进行具体计算，找出众数点的标志值。计算公式：n 公式1（上限公式）：用众数所在组的上限为起点值的计算公式。n 公式2（下限公式）：用众数所在组的下限为起点值的计算公式。n U为众数所在组组距的上限，L为众数所在组组距的下限，f 为众数所在组的次数，f-1 为众数所在组前一组次数， f+1 为众数所在组后一组次数，i 为组距。（二）中位数n 1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数值就是中位数。n 2、计算方法n （1）由未分组资料确定中位数n 排序：确定中位数位置 n 奇数：中间位置的标志值为中位数。n

11、 偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数是中位数。（2）由分组资料确定中位数n 第一步：确定中位数所处位置，按 确定（f为次数）。n 第二步：采用公式计算n 上限法：用“以上累计”法确定中位数。n 下限法：用“以下累计”法确定中位数。n 其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，fm是中位数所在组的次数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计数， Sm-1是中位数所在组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。（三）计算和应用平均数的原则n 一、只能在同质总体中计算。n 二、总平均数要与组平均数结合运用。n 三、平均数必须同绝对数和具体事例结合应用。例如：新老职工平均工资比较基期报告期

12、平均工资增减（%）工资总额（元）职工人数（人）平均工资（元）工作总额（元）职工人数（人）平均工资（元）新职工21000060035011550003000385+10老职工63000014004504950001000495+10合计840000200042016500004000412.51.812第六节 几种平均数的关系n （一）算术平均数、众数和中位数关系n 1、次数分布呈现正态分布：n 2、次数分布呈偏正态分布： n （1）右偏分布 （有极大值）n （2）左偏分布 （有极小值）n 3、三者推算公式（二）算术平均数和几何平均数、调和平均数的关系n 1、一般情况下（同一资料为前提）n 2、当同一资料所由变量值都相同时