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1、与数列交汇的综合问题(40分钟)一、选择题1.(2020阜阳模拟)已知实数4,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A.B.C.D.或2.已知an是等差数列,a3=6,其前9项和S9=90,则经过(5,a5)与(7,a7)两点的直线的斜率为()A.-B.-2C.D.23.(2020海淀模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且满足S150,S160,则,中最大的项为()A.B.C.D.4.(2020烟台模拟)已知函数f(x)=把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为()A.an=B.an=n-1C.an=n(n-1)D.an=2n-25
2、.设函数f(x)=x+,A0为坐标原点,An为函数y=f(x)图象上横坐标为n(nN*)的点,向量an=,向量i=(1,0),设n为向量an与向量i的夹角,满足tank的最大整数n是()A.2B.3C.4D.5二、填空题6.(2020江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(nN*)等于.7.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则的前n项和是.8.(2020新课标全国卷)等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.三、解答题9.已知数列an中,a
3、1=1,前n项和为Sn且Sn+1=Sn+1(nN*).(1)求数列an的通项公式.(2)设数列的前n项和为Tn,求满足不等式Tn0,得a80.由S16=0,得a9+a80,所以a90,且da2a80a9a15,S8S7S10,0S15S140,从而最大.选D.4.【解析】选B.当x0时,g(x)=2x-1-x,令g(x)=0,得x=0.当0x1时,-1x-10,g(x)=f(x-1)+1-x=2x-1-x,令g(x)=0,得x=1,当1x2时,0x-11,-1x-20,g(x)=f(x-1)+1-x=f(x-2)+2-x=2x-2+1-x,令g(x)=0,得x=2.依次类推,得到函数g(x)的
4、零点从小到大排列为0,1,2,3,4,故选B.5.【解题提示】an=,则an=(n,f(n),从而tann=.【解析】选B.由已知得An,又an=,tann=+,所以tank=+=2-,验证知n=3符合tank0,得n,令f(n)0,得0n.又因为n为正整数,所以当n=7时,f(n)=取得最小值,即nSn的最小值为-49.答案:-499.【解析】(1)由Sn+1=Sn+1得,当n2时Sn=Sn-1+1,所以,an+1=an,所以=(n2),又a1=1,得S2=a1+1=a1+a2,所以a2=,所以=适合上式,所以数列an是首项为1,公比为的等比数列,所以an=.(2)因为数列an是首项为1,公
5、比为的等比数列,所以数列是首项为1,公比为的等比数列,所以Tn=3,又因为Sn=2-2,所以由不等式Tn,所以n=1或n=2.【误区警示】本题易错点有两处:一是忽略对的讨论导致解题不完整;二是最后对n取值时不全致误.【变式备选】已知f(x)=-,点Pn在曲线y=f(x)上且a1=1,an0(nN*).(1)求证:数列为等差数列,并求数列an的通项公式.(2)设数列的前n项和为Sn,若对于任意的nN*,存在正整数t,使得Sn0,所以an=.(2)设bn=.所以Sn=b1+b2+bn=,对于任意的nN*使得Snt2-t-恒成立,所以只要t2-t-,所以t或t-,所以存在最小的正整数t=2符合题意.
6、10.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,由-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=-.又a1=,所以等比数列an的通项公式为an=(-1)n-1.(2)Sn=1-,Sn+=1-+=当n为奇数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+S1+=.当n为偶数时,Sn+随n的增大而减小,所以Sn+S2+=.故对于nN*,有Sn+.11.【解析】(1)由已知得an+1=an+1,故an是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=n.因为bn+1-bn=3n,所以bn=(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)+b1=31+32+3n-1+0=3n-.(2)Cn=2anbncosn=所以当n为偶数时,Sn=-(31-3)+2(32-3)-3(33-3)+n(3n-3)=(-31+232-333+434-535+n3n)+3-23+33-43+(-3n)设Tn=-3+232-333+n3n,则-3Tn=32-233+(n-1)3n-n3n+1,所以4Tn=-3+32-33+34+3n+n3n+1=-+3n+1,所以Tn=-3+(4n+1)3n+1,所以Sn=-3+(4n+1)3n+1+=.当n为奇数时,Sn=Sn-1+Cn=,所以Sn=
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