王式安考研概率讲义全

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1、概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解： 样本空间的概念理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。1 随机事件与样本空间一、 随机试验：（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点所有样本点全体样本空间三、 随机事件样本空间的子集随机事件 样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件出现发生，出现如果组成事件的基本事件出现发生，出现必然

2、事件 不可能事件2 事件间的关系与运算一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算： 并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图 三事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用表示事件：“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1）； （2）；（3）； （4）；再用表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一公理化定义 (1)(2)(3)二性质(1)（2）(3)(4)(5)三条件概率与事件独立性(1)事件发

3、生条件下事件发生的条件概率；(2)事件独立，独立独立独立独立；时,独立；(3)称相互独立,(个等式)相互独立两两独立。四五大公式(1)加法公式：(2)减法公式：(3)乘法公式：时，(4)全概率公式：是完全事件组，且，(5)贝叶斯公式：是完全事件组，4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率二几何型概率三独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变四伯努利试验试验只有两个结果伯努利试验重伯努利试验二项概率公式 5 典型例题分析例1.设为两事件，且满足条件，则_ .例2.为任意两事件，则事件等于事件例3随机事件，满足和 则有例4设且 则必有例5(06)设、为随机事件，且，则必有例6

4、试证对任意两个事件与，如果，则有）例7有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1） 这个球是红球的概率；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例8假设有两箱同种零件：第一箱装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率.例9袋中装有个白球和个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列

5、事件的概率：（1） 从袋中取出的第个球是白球（2） 从袋中取出个球中，恰含个白球和个黑球例10随机地向半圆（其中，是常数）掷一点，则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_。例11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为，求在第次成功之前恰失败了次的概率。例12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_。例13已知三事件中相互独立，则三事件 相互独立 两两独立，但不一定相互独立 不一定两两独立 一定不两两独立例1410台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为例15甲袋中有2个白

6、球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率例1610件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例17两盒火柴各根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有根的概率。例18（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，中任取一个数记为，则_。第二讲随机变量与其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布与它们的应用会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松

7、分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1 随机变量与其分布函数一随机变量样本空间上的实值函数，。常用表示二随机变量的分布函数对于任意实数，记函数，称为随机变量的分布函数；的值等于随机变量在取值的概率。三分布函数的性质（1），记为；，记为。（2）是单调非减，即时，（3）是右连续，即（4）对任意，有（5）对任意，性质（1）（3）是成为分布函数的充要条件。例 设随机变量的分布函数为，其中是常数，求常数与。2 离散型随机变量和连续型随机变量一离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机

8、变量的可能取值是称为的概率分布或分布律分布律性质：（1）（2）分布律也可表示为三离散型随机变量分布函数，例1 求四连续型随机变量与其概率密度设的分布函数，如存在非负可积函数，有， 称为连续型随机变量，为概率密度。概率密度性质：（1）；（2）；（3），；（4）的连续点处有。例 已知和均为概率密度，则必满足3 常用分布一（01）分布 二二项分布. ， 三超几何分布 ，四泊松分布 ，例 设某段时间通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段没有车通过的概率为，则这段时间至少有两辆车通过的概率为_。五均匀分布 例 设随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的概率是_。六指数分布 ，七正态分布 ，标准正态分布，

9、如果，则（1）（2）（3）（4），例 ，且，则_。4 随机变量的函数的分布一离散型随机变量的函数分布设的分布律，则的分布律，（如果一样值，取相应概率之和为取该值概率）二连续型随机变量的函数分布1公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数，则的密度为其中是函数在可能取值的区间上值域。2定义法： 先求然后。5 典型例题分析例1设随机变量的分布函数求的值。例2设随机变量的分布律为试确定常数的值。例3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以表示汽车所遇红灯个数，求的分布与分布函数。例4（04）设随机变量服从正态分布，对给定的数满足，若，则等于例5在区间上任意投掷一

10、点，为这点坐标，设该点落在中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求的概率密度。例6，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。例7（06）设随机变量服从正态分布，服从正态分布 且，则必有例8的密度，试求常数。例9设服从参数为2的指数分布，证明：随机变量服从。例10已知的密度为，求的概率密度。例11设随机变量的密度满足，是的分布函数，则对任意实数有例12设随机变量的分布函数为，引入函数，和，则可以确定也是分布函数为例13设且，则_。例14设，则随的增大，概率 单调增大 单调减小 保持不变 非单调变化例15证明具有一样密度，则其分布函数一定满足。例16，且，求：（1）的概率密度；（2

11、）。第三讲多维随机变量与其概率分布考试要求理解：随机变量与其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量1 二维随机变量与其联合分布函数一二维随机变量设是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量为二维随机变量或随机向量。二二维随机变量的联合分布函数定义：，性质：（1）； （2），； （3）关于和关于单调不减； （4）关于和关于右连续。例1设二维随机变量的分布函数为，则随机变量的分布函数=_.三二维随机变量的边缘分布函数例2设二维随机变量的分布函数为试求2 二维离散型随机变

12、量一联合概率分布 性质：（1）（2）例 设随机变量在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量在中等可能的取一整数值，求的概率分布。二边缘概率分布，三条件概率分布， ，例 设分布律为，已知，求3 二维连续型随机变量一概率密度概率密度性质：（1） （2）例 ，则_。二边缘密度，三条件概率密度1条件分布2条件概率密度4 随机变量的独立性定义：对任意离散型连续型例1设随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量的联合概率分布与关于的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处例2判断是否独立（1）（2） 5 二维均匀分布和二维正态分布一二维均匀分布，的面积例 设二维随机变量在平面上由曲线所围成的区域上

13、服从均匀分布，则概率_。二二维正态分布， 性质：（1）， （2）相互独立的充分必要条件是 （3）6 两个随机变量函数的分布一二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。二二维连续型随机变量的函数的分布求法，可用公式当时，或特别，当相互独立时，三简单函数通常包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。例 设相互独立，分布函数为，试求（1）的分布函数；（2）得分布函数。7 典型例题分析例1从1，2，3三个数字中一次任取两数，第一个数为，第二个数为，记，试求和的分布律与其边缘分布。例2设随机变量，且，则_。例3设某班车起点站上车人数服从参数的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且他们在

14、中途下车与否是相互独立的，用表示在中途下车的人数，求：（1） 在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（2） 二维随机向量的概率分布。例4设随机变量的密度为，求（1）常数；（2）边缘密度；（3）是否独立。例5设随机变量相互独立，均服从分布，求行列式的概率分布。例6设相互独立随机变量分别服从和，则例7设，则_。例8设两随机变量相互独立且同分布，则成立例9（06）设两个随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则。例10设，试求（1），是否独立； （2）和。例11相互独立，服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布。例12（04）设随机变量在区间（0，1）上服从均匀分布，在的条件下，

15、随机变量在区间上服从均匀分布，求：（I）随机变量的联合概率密度；（II）的概率密度；（III）概率。例13（05）设二维随机变量的概率密度为求（I）的边缘概率密度；（II）的概率密度；（III）。第四讲 随机变量的数字特征考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。1 随机变量的数学期望一定义1离散型： 当绝对收敛2连续型： 当绝对收敛二性质（1） （2）（3）（4）相互独立，则例 将一均匀骰子独立抛

16、掷三次，求掷得三数之和的数学期望。三随机变量的函数的数学期望（1）离散型，当绝对收敛， （2）连续型 ，当绝对收敛四随机变量的函数的数学期望（1）离散型 ，当绝对收敛（2）连续型，当绝对收敛例1商店经销某种商品，每周进货的数量与顾客对该种商店的需求量是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。2 随机变量的方差一定义：方差 标准差，均方差二计算方差的公式：，三性质：（1），反之不能得出为常数；（2）；（3）相互独立。例 随机变量

17、的概率密度为，则_。3 常用随机变量的数学期望和方差一（01）分布 二二项分布 三泊松分布 四均匀分布 五指数分布 六正态分布 ，例 已知随机变量，试证例 设随机变量，试证4 矩原点矩 ，中心矩 混合矩 混合中心矩 5 协方差和相关系数一协方差定义：公式：性质：（1）； （2）； （3）二相关系数定义：不相关：相互独立不相关性质：（1）； （2）； （3）设，则，且相互独立不相关。例 对随机变量，证明下列关系是等价的（1）（2）不相关（3）（4）6 典型例题分析例1设随机变量服从分布，且已知，则_。例2已知件产品中含有件次品，从中任意取出件，设这件产品中的次品件数为，试求。例3（04）设随机变

18、量服从参数为的指数分布，则_。例4设随机变量的概率密度函数为其中为常数，已知，试求和。例5（04）设随机变量独立同分布，且其方差为令，则例6在伯努利试验中，已知，现独立，重复地进行试验直到出现为止，令表示所需进行的试验次数，试求。例7设随机变量的联合分布在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差。例8设随机变量的概率分布密度为，（1） 求的（2） 求与的协方差，问与是否不相关？（3） 问与是否相互独立？为什么？例9已知随机变量服从，设（1） 求的（2） 求（3） 问是否相互独立？为什么？例10设随机变量在：服从均匀分布，则的相关系数_。例11随机变量均服从正态分布，则一定服从正

19、态分布 不相关与独立等价一定服从正态分布 未必服从正态分布例12在次独立重复试验中，分别表示成功和失败的次数，则的相关系数等于 0 例13设是两个随机事件，定义两个随机变量如下：和证明：不相关的充分必要条件是相互独立。例14已知随机变量的分布其中为常数，则随机变量的_。例15（04）设为两个随机事件，且，令，求（I）二维随机变量的概率分布；（II）的相关系数；（III）的概率分布。例16（06）设二维随机变量的概率分布为 其中为常数，且的数字期望，E(X)=-0.2,记求（I）的值；（II）Z的概率分布；（III）。例17（06）设随机变量的概率密度为令为二维随机变量的分布函数，求（I）的概率

20、密度； （II）； （III）第五讲大数定律和中心极限定理考试要求：数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗拉普拉斯定理，列维林德伯格定理数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗-拉普拉斯定理，列维林德伯格定理数学三：掌握：切比雪夫不等式数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。数学四：了解：切比雪夫不等式1 切比雪夫不等式和依概率收敛一切比雪夫不等式二依概率收敛记作例 设随机变量的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计_。2 大数定律一切比雪夫大数定律设两两不相关，存在且存在常数，使则对任意二伯努利大数定律，则对任意三辛钦大

21、数定律设独立同分布，则对任意，3 中心极限定理一棣莫弗拉普拉斯定理设，则对任意二列维林德伯格定理设独立同分布，则对任意4 典型例题分析例1设随机变量的数学期望都是2，方差分别为和，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式_。例2将一枚骰子重复掷次，则当时，次掷出点数的算术平均值依概率收敛于_。例3（05）设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布函数，则第六讲 数理统计第一章 基本概念考试要求：数学一、三理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值样本方差和样本矩数学一了解：分布，分布，分布，分位数并会查表计算，正态总体的常用抽样分布数学三了解：产生变量，变量，变量的

22、典型模式理解：标准正态，分布，分布，分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布1 总体和样本一总体：所研究对象的某项数量指标全体。二样本，如果相互独立且都与总体同分布，则称为来自总体的简单随机样本，简称样本。样本容量，样本值，观测值，则的联合分布，则的联合密度例 设总体，则来自总体的样本的联合概率密度_2 统计量和样本数字特征一统计量样本的不含未知参数的函数。如果是样本的样本值，则数值为统计量的观测值。二样本数字特征1样本均值；2样本方差 ， 样本标准差；3样本阶原点矩 ；4样本二阶中心矩，如果，。例 设总体的概率密度为，来自总体的样本为则的概率密度_.3 常用统计抽样分布

23、常用统计抽样分布：正态分布，分布，分布和分布。除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。一分布1典型模式：相互独立且均服从，则称 服从自由度为的分布，记，；2可加性：设，且相互独立则；3上分位点：设，对于给定的，称满足条件的点为分布的上分位点。例 已知，则=_。二分布1典型模式：独立，则，是偶函数，充分大时，近似。2上分位点，三分布1典型模式：独立，则如果 ，则2上分位点，4 正态总体的抽样分布一一个正态总体设，来自总体的样本 样本均值，样本方差，则（1），（2）与相互独立，且（3）（4）二两个正态总体设，和，分别来自的样本，相互独立，（1），

24、（2）如果，则其中（3）5 典型例题分析例1设总体服从参数为的01分布，则来自总体的简单随机样本的概率分布为_。例2设总体，则来自总体的样本的样本均值的分布律为_。例3（98）设是来自正态总体的样本，已知服从分布，其中为常数，则_1或2_。例4设随机变量，则服从的分布与参数为_。例5（05）设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则例6设，从总体中抽样取样本，试确定的值，使得为最大，其中。例7已知相互独立，且服从，证明服从分布。例8设总体服从正态，从该总体中抽取简单随机样本，其样本均值为，求统计量的数学期望。例9（04）设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体的简单随

25、机样本，则_。例10（06）设总体的概率密度为，为总体的简单随机样本，其样本方差为，则。第二章 参数估计考试要求：理解：参数的点估计，估计量和估计值了解：估计量的无偏性，有效性，一致性，区间估计掌握：矩估计法和最大似然估计法会：验证估计量的无偏性 单个正态总体的均值和方差的置信区间 两个正态总体的均值差比的置信区间数学三还要求：掌握：建立未知参数的置信区间的一般方法 单个正态总体的标准差，矩以与与其相联系的数字特征，置信区间的求法 两个正态总体相关数字特征的置信区间的求法会：用大数定律证明估计量相合性。1 点估计一点估计的概念 用样本构造的统计量来估计未知参数，统计量称为估计量，它所取得的观测

26、值称为估计值，估计量和估计值统称的估计。二估计量的选择标准1 无偏性：2 有效性：如果和都是的无偏估计量，且，则称比更有效3 一致性（相合性）：，称为的一致估计量例 设总体的数学期望存在，从来自总体的样本的样本均值，试证是的无偏估计量。例 设总体的数学期望和方差分别为，是来自总体的样本，记（1）试证：是的无偏估计；（2）确定使最小。2 估计量的求法一 矩估计法用样本估计相应的总体矩，用样本矩的函数估计总体矩相应函数1 矩估计不必知道分布形式，只要矩存在2 可用中心矩，也可用原点矩3 个参数要求列出一阶至阶矩方程考试大纲只要一阶矩和二阶矩4 为一阶、二阶原点矩，为一阶、二阶样本原点矩，就是的矩估

27、计量。二最大似然估计法1似然函数离散型连续型2最大似然估计 使似然函数达到最大值的参数值3似然方程为一维时，或为二维时，或3 区间估计一 置信区间对于给定的，如果两个统计量满足，则称随机区间为参数的置信水平（或置信度）为的置信区间（或区间估计），简称为的的置信区间，分别称为置信下限和置信上限。二 一个正态总体参数的区间估计未知参数置信区间已知未知三 两个正态总体参数的区间估计未知参数置信区间已知未知，但例 设来自正态总体的样本值，则未知参数的置信水平为0.95的置信区间是_。例 （05）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0

28、.90的置信区间是4 典型例题分析例1设为总体的一个样本，已知为的无偏估计，则常数等于例2（05）设为来自总体的简单随机样本，为样本均值，。求：（I）的方差，；（II）的协方差；（III）若是的无偏估计量，求常数；（IV）。例3从总体中分别抽取容量为的两个独立样本，样本均值分别为，且和，已知为的无偏估计量，试求：（1） 常数应满足的条件；（2） 使达到最小值的。例4设是来自总体的样本，已知，证明是的无偏估计量。例5(04)设随机变量的分布函数为，其中参数，设为来自总体的简单随机样本，（I）当时，求未知参数的矩估计量；（II）当时，求未知参数的最大似然估计量；（III）当时，求未知参数的最大似然

29、估计量。例6设某种元件的使用寿命的概率密度为其中为未知参数，又设是的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。例7设总体，是来自总体的样本，试求：参数的最大似然估计。例8设总体的概率分布为，其中是未知参数，利用总体的如下样本值：3，1，3，0，3，1，2，3求的矩估计值和最大似然估计值。例9（06）设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，记为样本值中小于1的个数，求（I）的矩估计； （II）的最大似然估计。第三章 假设检验考试要求：理解：显著性检验的基本思想。掌握：假设检验的基本步骤，单个与两个正态总体的均值和方差的假设检验。数一了解：假设检验可能产生的两类错误。数三理解：

30、假设检验可能产生的两类错误。数三会：构造简单假设的显著性检验，较简单情形两类错误概率的计算。1 基本概念一实际推断原理：小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的。二假设检验假设：基本假设（原假设，零假设）和备选假设（备择假设，对立假设），参数假设和非参数假设，简单假设和复合假设假设检验：根据样本，按照一定规则判断所做假设的真伪，并作出接受还是拒绝接受的决定。三两类错误 拒绝实际真的假设（弃真）称为第一类错误；接受实际不真的假设（纳伪）称为第二类错误。四显著性检验1显著性水平：在假设检验中允许犯第一类错误的概率，记为，则称为显著水平2显著性检验，只控制第一类错误概率的统计检验3显著性检验的一般步

31、骤（1）根据问题要求提出原假设；（2）给出显著性水平；（3）确定检验统计量与拒绝域形式；（4）按犯第一类错误的概率等于，求出拒绝域；（5）根据样本值计算检验统计量的观测值，当时，拒绝原假设，否则接受原假设。2 正态总体参数的假设检验设显著性水平为，单个正态总体为的参数的假设检验以与两个正态总体与的和的假设检验，列表如下：检验参数情形假设检验统计量为真时检验统计量的分布拒绝域已知未知已知或未知或已知未知但已知或未知或表中3 典型例题分析例1已知总体的概率密度只有两种可能，设对进行一次观测，得样本，规定时拒绝，否则就接受，则此检验的分别为_。例2设是取自正态总体的简单样本，其中未知，记，则假设的检

32、验使用统计量_。例3从两个煤矿各抽样数次，分析其含灰率结果如下：甲矿：24.320.823.721.317.4乙矿：18.216.920.216.7假设各煤矿的含灰率分别服从正态分布，问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异（取显著水平）？例4从两个厂生产的产品中各抽取十次，分析其有效成分质量百分数，结果如下：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3设这两个样本相互独立，且都来自正态总体，问厂生产产品的有效成分是否高于厂？取例5已知，为检验总体

33、的均值大于的均值，则应作检验的假设为2007年(9)（数一、三、四）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(10)（数一、三、四）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示，的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度为(16)（数一、三、四）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概为 。(24)（数四）设随机变量与独立同分布，且X的概率分布为记 (I) 求的概率分布；(II) 求与的协方差。2008年（7）（数一、三、四）设随机变量，独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为：（8）（数一、三、四）设随机变量，且相关系

34、数，则（14）（数一、三、四）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则（22）（数一、三、四）设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为，记（I）求； （II）求的概率密度。（23）（数一、三）设是总体的简单随机样本，记， （I）证明是的无偏估计量； （II）当时，求。（23）（数四）设某企业生产线上产品的合格率为0.96，不合格产品中只有的产品可进行再加工，且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，已知每件合格产品可获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天的平均利润不低于2万元，问该企业每天至少应生产多少件产品？（7）（农）设为3个随机事件，下列结论中正确的是：若相互独立，则两两独立。若两两独立，则相互独立。若则相互独立。若独立，独立，则独立。（）（农）设随机变量服从参数为的二项分布，则（14）（农）设为来自正态总体的简单随机样本，为其样本均值，则。（22）（农）设随机变量的概率密度为，且的数学期望， （I） 求常数； (II) 求的分布函数。（23）（农）设二维随机变量的概率分布为（I） 分别求关于的边缘分布；（II） 求；（III） 求。59 / 59