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1、GCT考点精讲班-数学大学数学-特征值与特征向量特征值与特征向量内容综述一、特征值和特征向量1概念：设为阶方阵，如果有数和非零向量，使，则称为方阵的特征值，为的属于的特征向量2计算（1）称为的特征多项式，特征多项式的根就是特征值（特征根）（2）设的特征值为，求解齐次方程组，其非零解就是的属于的特征向量（）注：若是，则也是3性质（1）；（2）；（3）与有相同的特征多项式；（4）若是的特征值，则是的特征值（为正整数），是的特征值，当可逆时，是的特征值（5）属于不同特征值的特征向量是线性无关的二、相似矩阵1概念：设为阶方阵，如果有可逆矩阵，使得，则称与相似2性质：相似矩阵有相同的秩，相同的特征值3阶
2、方阵相似于对角矩阵的条件阶方阵相似于对角矩阵有个线性无关的特征向量阶方阵相似于对角矩阵的每个特征值的重数等于该特征值所对应的线性无关的特征向量的个数4将阶方阵相似于对角矩阵的方法特征值与特征向量典型例题例10-1设矩阵的属于特征值的特征向量是，求矩阵的特征值和特征向量例10-2设阶可逆方阵的一个特征值是，求证：（1）是的一个特征值；（2）是的一个特征值；（3）是的一个特征值例10-3设是矩阵的一个特征向量，则的值分别为（ ）AB CD答：D分析：本题主要考查了特征值和特征向量的概念由，得解得例10-4（2005）设，则的对应于特征值的一个特征向量是（ ）A B C D 分析：因为，所以选项A，
3、B，C都不正确故正确选项为D例10-5（2006）矩阵，若的特征值和的特征值对应相等，则其中（ B ）A B C D 分析：方阵的特征值为，由对成立得从而可知方阵的特征值为，所以例10-6设若的三重特征值对应两个线性无关的特征向量，则（ ）AB CD 分析（线性代数：特征值与特征向量的概念、齐次线性方程组基础解系的概念）因为三阶矩阵的三重特征值对应两个线性无关的特征向量，所以又因为，所以，即由的秩为知答：D例10-7（2008）设 的伴随矩阵，则的一个特征值为（ ）A BC D分析：本题是线性代数题，考查了特殊矩阵行列式与特征值的计算、伴随阵与逆矩阵的关系和特征值的性质因为，所以，由于，所以的
4、特征值为故正确选项为A例10-8（2009）矩阵，是的相似矩阵，则矩阵（是单位矩阵）的秩是（ B ）ABCD分析：本题是线性代数中特征值与特征向量部分的问题，考查了相似矩阵的概念、相似矩阵的性质及简单矩阵特征值的求法由得矩阵的特征值为由于与相似，所以的特征值也是，从而的特征值是故的秩为例10-9（201125）若与相似，则（ ） A B C D 答：A分析：本题主要考查了相似矩阵的性质由题意，是矩阵的一个重特征值，且因为矩阵与矩阵相似，所以也是的重特征值，且又，所以例10-10（2007）与是矩阵的特征值，则当（ B ）时矩阵可对角化ABCD解法1：当时，秩为，即对应着一个线性无关的特征向量；当时，若，则秩为，这时对应两个线性无关的特征向量所以共有三个线性无关的特征向量，故可对角化故选（B）解法2：设矩阵A的特征值为 , 则,所以有即是重特征根矩阵A可对角化要求 , 即要求的秩为1,故
数学精讲大学-特征值与特征向量十二
