2015-2016年周六辅导函数专题

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1、高一周六辅导之函数专题一、知识网络二分类考察（一） 历年全国卷1函数小题（2004.全国卷）设函数f(x)(xR)为奇函数,f(1)=0.5,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=( ).A. 0 B.1 C.2.5 D.5(2007，全国卷1) 设1，函数在区间，2上的最大值与最小值之差为，则=（ ） A B2C2 D4(2008，全国卷1)函数的定义域为（ ）ABCD(2008，全国卷1)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD(2008，全国卷1) 若函数的图像与函数的图像关

2、于直线对称，则（ ） ABCD(2009，全国卷1)不等式1的解集为（ ）（A）x (B)（C） (D)(2009，全国卷1)函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )(A)是偶函数 (B)是奇函数 (C)(D)是奇函数(2010，全国卷1) 不等式1的解集是。(2011，全国卷1) 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） （A） (B) （C） (D) (2011，全国卷1)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8(2012，全国卷1) 已知函数；则的图像大致为（ ）(2013，全国卷1) 已知函数f(x)若|f(x)|ax，

3、则a的取值范围是()A(，0 B(，1 C2,1 D2,0(2013，全国卷1) 若函数的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_(2014，全国卷1)设函数则使得成立的的取值范围是_.(2014，全国卷1) 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在0,上的图像大致为（ ） (2015，全国卷1)已知函数 ，且f（a）= - 3，则f（6-a）= （A） （B） （C） （D）(2015，全国卷1)设函数y=f（x）的图像与函数关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则 （A

4、）-1 （B）1 （C）2 （D）4(2015，全国卷1) 若函数为偶函数，则= .（二） 函数各性质考察一、考察函数的概念及三要素（定义域、值域、对应关系）1.（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为 . 2.（四川理16）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单值函数例如，函数=2x+1()是单值函数下列命题：函数（xR）是单值函数；若为单值函数，且，则；若f：AB为单值函数，则对于任意，它至多有一个原象；函数在某区间上具有单调性，则一定是单值函数其中的真命题是_（写出所有真命题的编号）3、对于函数，若存在区间，使得，则称区间为函数的一个“好区间”给出下列4个函数：；其中存在“好区间”的函数是

5、 （填入所有满足条件函数的序号）二、考察函数性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性）1.（湖北理6）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则 A. B. C. D.2.（福建理9）对于函数 (其中，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 A4和6B3和1C2和4D1和23.(福建卷)f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 54、（山东理）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,则函数的图象在区间0,6上与轴的交点的个数为（A）6 （B）7 （C）8 （D）95.（上

6、海理13） 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为 .6、设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为. （1）求函数的解析式； （2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.解（1）设是上任意一点， 设P关于A（2，1）对称的点为 代入得 （2）联立或 当时得交点（3，0）； 当时得交点（5，4）.三、考察分段函数的有关计算1、已知是上的减函数，那么的取值范围是(A) (B) (C)(D)2.（天津理8）设函数若，则实数的取值范围是（ ）3.（天津文10）设函数，则的值域是（）， 4.（江苏11）已知实数，函数，若，则a的值为_.5

7、（北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.6、关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同实根；存在实数，使得方程恰有4个不同实根；存在实数，使得方程恰有5个不同实根；存在实数，使得方程恰有8个不同实根；其中真命题的个数是 . 4四、考察基本初等函数图像及变换1.（北京文8）已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为（ ）. A. 4 B.3C. 2D. 12、函数的图象大致是（ ）. CA B.C. D.3.（陕西文4） 函数的图像是 （ ） 5.（重庆理5）下列区间中，函数=在其上为增函数的是 （A） （B） （C） （D

8、）4、记为坐标原点，已知向量，又有点，满足，则 的取值范围为（ ）.A B C D 五、考察函数的零点和函数与方程思想1.（天津理2）函数的零点所在的一个区间是（）2.（天津文4）函数的零点所在的一个区间是（）3.（辽宁文16）已知函数有零点，则的取值范围是_4、函数的零点个数为_ 5、若有四个零点，则实数的取值范围为 . 六、考察指对数相互转化与运算1.（天津文6）设，则（） 2. (重庆文6)设,则,的大小关系是(A)(B)(C)(D)七、考察函数的最值与恒成立问题1、已知函数是定义在上的奇函数，当时，;当时,恒成立,则的取值范围是 .2.（天津文16）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范

9、围是3.（天津理16）设函数对任意，恒成立，则实数的取值范围是4.已知函数. （1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.解 （1）当时，；当时，. 由条件可知 ，即 ，解得 .，. （2）当时，即 .， .， 故的取值范围是.八、考察新定义函数的问题1、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。解：（1） 当时，总有，满足， 当时，满足 （2）若时，不满足，所以不是函数；若时，在上是增函数，则

10、，满足 由 ，得，即， 因为 所以 与不同时等于1 当时， ， 综合上述：（3）根据（）知：a=1，方程为， 由得 令，则 由图形可知：当时，有一解；当时，方程无解. 2、对于函数,若在定义域内存在实数,满足 ，则称为“局部奇函数”（I）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；（II）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（III）若为定义域为上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.(1)由题意得：当或时，成立，所以是“局部奇函数 （3分）（2）由题意得：，在有解。所以令则设，在单调递减，在单调递增， ， （3分）（3）有定义得：即有解。设所以方程等价于在时有解。设，

11、对称轴 若，则，即，此时 若时则，即此时综上得： （4分）1、 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有.（1）证明在上是增函数； （2）解不等式（3）若对恒成立，求实数的取值范围.1、(2005.广东卷)设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0,7上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间-2005,2005上的根的个数,并证明你的结论.分析: (1)判断f(x)的奇偶性,要立足于定义,判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)在定义域内是否恒成立.当题目中的条件比较抽

12、象,正面推断难以进行时,可以考虑取一些特殊值计算,判断,或从反面以“特殊”去否定“一般”,或从中受到某种启发.(2)探求方程f(x)=0在某区间上的根的个数,运用从局部到整体的策略,即先确定f(x)=0在某个子区间上的根的个数,而后利用f(x)的周期性向其它子区间漫延,最后“集零为整”获得问题的答案.解：(1)若f(x)为奇函数且0属于f(x)的定义域,则有f(0)=-f(0),即f(0)=0这与在闭区间0,7上只有f(1)=f(3)=0矛盾.f(x)不是奇函数.又由f(2-x)=f(2+x)得f(x)的图像关于直线x=2对称.f(-1)=f(5)0而f(1)=0f(-1)f(1),即f(x)

13、不是偶函数 于是,由知,f(x)是非奇非偶函数.(2)注意到f(2-x)=f(2+x) f(x)=f(4-x)f(7-x)=f(7+x) f(x)=f(14-x)f(4-x)=f(14-x) f(x)=f(x+10)f(x)是周期函数且10是f(x)的一个周期. 又 f(7-x)=f(7+x) f(x)的图像关于直线x=7对称而f(x)在0,7上仅有f(1)=f(3)=0 f(x)=0在(7,10上没有根.(不然,若存在c(7,10使得f(c)=0,则有f(c)=f(14-c)=0,但414-c7, 这与f(x)在0,7上只有f(1)=f(3)=0矛盾.) f(x)=0在0,10上仅有x=1和

14、x=3两个根. 于是由得,f(x)=0在0,2000上仅有400个根,在（2000,2005上仅有2个根,在-2000,0）上仅有400个根,而在-2005,-2000）上没有根.因此,f(x)=0在-2005,2005上仅有802个根.3、已知函数，其中（1） 设，求的取值范围，并把表示为的函数；（5分）（2）求函数的最大值（可以用表示）. （7分）解：（1），又，2分 从而，又， 4分，5分（2）求函数的最大值即求，的最大值,对称轴为 7分当，即时， ； 8分当，即时，；9分当，即时，； 10分综上所述， 当时，的最大值是；当时，的最大值是；当时，的最大值是 12分5、已知函数, 函数(1

15、)若的定义域为，求实数的取值范围；(2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在非负实数m、n,使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由解：(1),令 ,则当,的定义域为，不成立；当，的定义域为R，解得，综上所述，的取值范围为. 4分 (2) ， 5分 令，则,， 6分对称轴为，当时，时，； 7分当时，时，；8分当时，时，。 9分综上所述， 10分(3)，假设存在，由题意，知，解得存在，使得函数的定义域为，值域为。12分21、已知函数和函数，其中为参数，且满足。（1）若，写出函数的单调区间（无需证明）；（2）若方程在上有唯一解，求实数的取值范围；（3）若对任意，存在，使

16、得成立，求实数的取值范围。21、 解：（1）时，-1分函数的单调增区间为，单调减区间为（1，2）。-4分（2）由在上有唯一解，得在上有唯一解。-5分即，解得或，-6分由题意知，即。综上，的取值范围是。-8分（3）则的值域应是的值域的子集。-9分时，在上单调递减，上单调递增，故。 -10分在上单调递增，故，-11分所以，即。-12分当时，在上单调递减，故，在上单调递减，上单调递增，故所以，解得。又，所以-13分综上，的取值范围是-14分4、已知函数，当时，恒有（1）求的表达式及定义域；（3分）（2）若方程有解，求实数的取值范围；（4分）（3）若方程的解集为，求实数的取值范围（5分）解：（1）当时

17、，恒成立，即恒成立，1分又，即， 从而 2分由，得，定义域为3分（2）方程即，即（）有解 4分记，在和上单调递增 5分时，；时，.7分（3）由9分方程的解集为，故有两种情况： 方程无解，即，得 10分 方程有解，两根均在内，则综合,得实数的取值范围是.12分设。（1）求的反函数： （2）讨论在上的单调性，并加以证明：（3）令，当时，在上的值域是，求 的取值范围。解：（1） （2）设，时，在上是减函数：时，在上是增函数。（3）当时，在上是减函数， ，由得，即， 可知方程的两个根均大于，即，当时，在上是增函数，（舍去）。 综上，得 。函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f

18、(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)，又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分性) ，所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0， 则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9， 所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。17