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1、1.6两个重要极限准则I如果数列Xn、yn及Zn满足下列条件yn仝n(n=1.2.3.).(2)limyn二a.limZn二a.n_)pc那么数列Xn的极限存在.且limXn二a.n_jpc证明：因为limyn二a.limZn二a.以根据数列极限的定义.-；OTNn,n_,i0.当nNi时.有|yn-a|：；又N20.当nN2时.有|zn-a|：；.现取N二maxN1N2.则当nN时.有|yna|：；.Zna|：；同时成立.即a-:yn：a；.a-:zn：a；.同时成立，又因yn_Xn_Zn所以当nN时有a-二:ynMXn乞Zn：a；.即|Xn-a卜:；.这就证明了limXn=a.简要证明：由
2、条件(2).-；ON0当nN时.有|yn_a|：；及|zn-a|：；.即有a-yyn：a；a-；：zn：a，；.由条件(1)有十去DA邻域内有定义.上述极限过程是x:要求函数当xiM时有定义a-:yn_Xn_Zna；.即|Xn-a|：:.这就证明了limXn=a.n_C准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件g(x)寸(x)巾(x)limg(x)=A.limh(x)=A；那么limf(x)存在.且limf(x)二A注如果上述极限过程是X-；xo.要求函数在xo的某准则I及准则称为夹逼准则下面根据准则I证明第一个重要极限:lim沁=1,ox证明首先注意到.函数沁对于一切x=0都有定
3、义，参看附图：图x中的圆为单位圆.BCOA.DAOA.圆心角.AOB二x(0叹行).显然sinx=CB.x=ab-tanx=AD，因为S.AOB：S扇形AOB：SAOD.所以即sinxxtanx不等号各边都除以sinx就有精品文档彳X11亦:cosx或cosx:沁1.X注意此不等式当2:X：0时也成立，而imcosx=1.根据准则I.lim沁=1,X0X简要证明：参看附图.设圆心角.AOB=x（0：x冷）.显然BC：AB:AD因此sinx：x:tanx从而cosxsinx：1（此不等式当X：0时也成立），因为limcosx1.根据准则limsn=1,0X应注意的问题在极限lim普中只要:（X）
4、是无穷小就有lim常八这是因为令Ag则u于是愉兽护0詈才例1.求limtanx.xTX解:lim沁Him沁lim沁lim1.xTXxTxcosxTXTCOSX例2.求limTFxT0X22x1sin22lim22xex2sin21COSX.2解-lim2lim严xTX2TX2112sin12准则II单调有界数列必有极限如果数列Xn满足条件X1玄X2玄X3_XnXn任.就称数列Xn是单调增加的如果数列Xn满足条件X1_X2_x3竺竺Xn_Xn1-就称数列Xn是单调减少的，单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列Xn满足条件XXn-1nN在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界但那时也曾指出：有界
5、的数列不一定收敛现在准则II表明：如果数列不仅有界.并且是单调的.那么这数列的极限必定存在.也就是这数列一定收敛准则II的几何解释单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II.可以证明极限lim.(1)n存在设冷41现证明数列Xn是单调有界的按牛顿二项公式.有精品文档1n(n-1)n2!1n2111邸齐）护11N(n）（1冷）（1n_1nn(n-1)(n-2)1n(n-1)(n_n1)1+T-+.+3!n3n!nn11112112n1冷心1（1一百）可（1R）（1一百）P1一市）（1一百）-市）112帀（1一冷（一冷“
6、1比较Xn.Xn.1的展开式.可以看出除前两项外.Xn的每一项都小于Xn-1的对应项.并且Xn1还多了最后一项.其值大于0因此Xn：Xn1.这就是说数列Xn是单调有界的这个数列同时还是有界的因为Xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替得Xn：11一梟-11-2二=12-=3n2!3!n!2222nJd11一2根据准则II数列Xn必有极限这个极限我们用e来表示即我们还可以证明lim（1J）X=e，e是个无理数它的值是Xe=2.718281828459045，指数函数y=ex以及对数函数y=lnx中的底e就是这个常数1在极限lim1叱(x)莎中只要：(x)是无穷小.就有这是因为令u吩则u-于是lim1叱(x)莎=|im(1e,lim(1x：:1lim1：；:(x)莎=e(：(x)；0).例3.求lim(1-l)x.x解：令t=-X.则X时.t-F：.于是lim(1)x=lim(1)4lim1-.x厂xtti(1.冲e或lim(1-1)lim(1丄)*(二【恤(1)=e4.XiXx，xx，x
两个重要极限.
