高等数学：习题课二

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1、习习 题题 课课 二二一、问答题一、问答题1下列说法能否作为下列说法能否作为axnn lim的定义。的定义。 答答：不不能能。因因为为“无无穷穷多多个个0 ”不不等等价价于于“0 ” ， 即即无无穷穷多多个个0 不不能能保保证证任任意意小小（0 ） 。例例如如，无无穷穷 多多个个正正数数)( 11 Nnnn，但但nn11 不不能能任任意意小小。 （1）对对于于无无穷穷多多个个. , , , 0 axNnNNn有有 （2）0 ，总总存存在在无无穷穷多多个个nx，使使 axn。 答答：不能。因为“总存在无穷多个：不能。因为“总存在无穷多个 axxnn使使 ,” ，” ， 不等价于“不等价于“ ax

2、NnNNn有有, ,” 。即无穷多” 。即无穷多 个个nx，不一定是从某项，不一定是从某项Nx之后所有的之后所有的)( Nnxn ，有，有 axn。例如，数列例如，数列)1(n ：1 , 1, , 1 1, , 1 a； 0 ，它都存在无穷多个偶数项它都存在无穷多个偶数项)( 12 Nkxk，有，有 01112kx，)1(n 并不存在极限。并不存在极限。 2有有界界数数列列是是否否一一定定收收敛敛？无无界界数数列列是是否否一一定定发发散散？ 3单单调调数数列列是是否否一一定定收收敛敛？收收敛敛数数列列是是否否一一定定单单调调？ 答答：单调数列不一定收敛，：单调数列不一定收敛， 例如：单调增加数

3、列例如：单调增加数列 n发散。发散。 收敛数列不一定单调，收敛数列不一定单调， 例如例如)1(1nnn 收敛但不单调。收敛但不单调。 答答：有有界界数数列列不不一一定定收收敛敛。 例例如如：有有界界数数列列 n)1( 发发散散。无无界界数数列列一一定定发发散散。 4若数列若数列nx与与ny发散，问数列发散，问数列nnyx ， nnyx ，nnyx是否一定发散？是否一定发散？ 答答：不不一一定定发发散散。 例如：例如： n)1( 和和 1)1( n都发散，但都发散，但 0)1()1(1 nn， 1 )1()1(1 nn 和和 1 )1()1(1 nn收敛。收敛。 1证明：证明：)1( 0lim

4、aannn。 证证明明： 记记 nnanx ，则则 0 nx， nx故故有有下下界界。 111limlim1 ananxxnnnn， 故故当当Nn 时时， nx。 二、证明题二、证明题 NN，Nn ，有，有11 nnxx， 由由单单调调有有界界原原理理知知， nx必必收收敛敛，设设Axnn lim， nnnnxnanannananx11111 ， nnnnnxnanx lim1limlim1， 得得AaA 1， 00)11( AaA， 故故 0lim nnan。 2 2若若nnxqx 1（10 q， , 2 , 1 n） ， 证证明明: :0lim nnx。 11210 xqxqxqxnnnn

5、 ， 0limlim11 nnnnqxxq( (10 q) )， 0lim0lim0lim11 nnnnnnxxx。 证明证明：nnxqx 1（ , 2 , 1 n） ，） ， 三、求下列极限三、求下列极限1nnn131211lim ； 解：解：nnnn 131211 1 ， 而而11lim n，1lim nnn， 1131211lim nnn。 2)0(lim xxxxxnnnnn； 解：解：.1 , 11 , 010 , 1lim xxxxxxxnnnnn 3)1)(1()1)(1)(1(lim242 xxxxxnn； 解：解：)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn xxxxxx

6、nn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242xxxnn 1111lim12. . eeexxxx1110lim. 4 ),2(11, 1. 5111 nxxxxnnnnnx lim求求nnnnxxxxn lim. 6).121211(lim . 7222nnnnnn .121211 :222nnnnnxn 设设解解.2)1(21121)1(2)1(2222nnnnnxnnnnnn 则则,2)1(lim21)1(2)1(lim22nnnnnnnn .21lim , nnx由夹逼定理知由夹逼定理知四、解答题四、解答题1设设10 nx，41)1(1 nnxx（ , 2 , 1 n） ， 证证明

7、明数数列列 nx极极限限存存在在，并并求求此此极极限限。 解：解：10 nx，110 nx， 由由41)1(1 nnxx)1(411nnxx ， 0)1(4)21()1(4121 nnnnnnxxxxxx， nx。 10 nx， nx有上界。有上界。 由由单单调调有有界界原原理理知知， nx必必收收敛敛，设设Axnn lim， 对对41)1(1 nnxx的的两两边边取取极极限限，得得41)1( AA， 化化简简得得01442 AA，0)12(2 A， 故故21 A， 即即21lim nnx。 2 2设设101 x，nnxx 61， , 2 , 1 n， 试证数列试证数列 nx极限存在，并求此极

8、限。极限存在，并求此极限。 证证：101 x，42 x，21xx 。 假设当假设当kn （ Nk）时，有）时，有1 kkxx， 则则21166 kkkkxxxx， 由数学归纳法知，由数学归纳法知， nx。 101 x，nnxx 61， 0 nx（ , 2 , 1 n） ，故故 nx有有下下界界， 由单调有界原理知，由单调有界原理知， nx必收敛，必收敛， nnxx 61，AA 6， 062 AA，即即2 A或或3 A（负负值值应应舍舍去去） ， 3lim nnx。 . )1,2,n1,q(0 : 3112收敛收敛证明数列证明数列满足满足设数列设数列nnnnnnaaaqaaa :. 1 . 证明极限五31) 1(615lim1xxx)(lim),(lim,11)(.201xfxfexfxoxx求设1lim.321xnxxxnx求.)95()32()1(lim.41007030 xxxx求)(lim.5xxxxx求.)(lim,0,)(lim.1.AxfAAxfxx用极限定义证明且设六.,23)11(lim.221axxxax求设).(),(lim3)(,)(lim. 3121xfxfxxfxfxx求存在设., 0)11(lim. 42的值求若babaxxxx