小学数学教学的困惑与思考

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1、小学数学教学的困惑小学数学教学的困惑与思考与思考20152015年年景洪市景洪市项目导师培训项目导师培训朱维宗朱维宗云南师范大学云南师范大学 教师们要重视教师们要重视“课外课外”功夫的积累，时时注意自己知识的功夫的积累，时时注意自己知识的“厚积厚积” 。 著名特级教师著名特级教师 杨一青杨一青 自我反思是教学过程的一个必要环节，是提高教学效益的重要途径，又是教师积累教学经验的有自我反思是教学过程的一个必要环节，是提高教学效益的重要途径，又是教师积累教学经验的有效方法。不断进行教学反思，努力做一个反思型教师，可以获得宝贵的经验、教训，及时发现新问题，效方法。不断进行教学反思，努力做一个反思型教师

2、，可以获得宝贵的经验、教训，及时发现新问题，激发教师把教学实践提升到新的高度，实现教师的自我超越。激发教师把教学实践提升到新的高度，实现教师的自我超越。 著名特级教师著名特级教师 王海平王海平 研研 修修 提提 纲纲一、引言一、引言二、小学数学二、小学数学1010个知识点的解析个知识点的解析三、思考与建议三、思考与建议 随着课程改革的不断深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。对处于微观知识层面的一些现随着课程改革的不断深入，新课程理念已为越来越多的一线数学教师所接受。对处于微观知识层面的一些现实性实性“诘问诘问”，诸如，诸如“最小的一位数是最小的一位数是0还是还是1？”、“4000

3、07000怎么读怎么读？”、“最大的分数单位是多少？最大的分数单位是多少？”、“计算出勤率可不可以不乘计算出勤率可不可以不乘100%？”等等，看似等等，看似“细节细节”的问题，却是彰显数学教学的问题，却是彰显数学教学“科学性科学性”、“严谨严谨性性”不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。不可或缺的一环，处理不好可能直接影响到教学评估和考试命题。一、一、引引 言言 但是也应该指出，小学一线教师大部分的教学困惑来自教辅资料或考试、测验试题。关于前者，要善于运用但是也应该指出，小学一线教师大部分的教学困惑来自教辅资料或考试、测验试题。关于前者，要善于运用教辅资料，合则用，不合则弃

4、；关于后者，要能合理地理解考试评价的理念。教辅资料，合则用，不合则弃；关于后者，要能合理地理解考试评价的理念。 下面简要介绍下面简要介绍考试学考试学的基本理论。的基本理论。一、一、引引 言言（一）考试的历史发展）考试的历史发展 随着教育的发展，特别是学校教育的出现和发展，为了更准确，更精细、更客观地评价教育效果，比较受教育随着教育的发展，特别是学校教育的出现和发展，为了更准确，更精细、更客观地评价教育效果，比较受教育者之间的学习差异，以便决定何时转入下一阶段的教学，决定在转变教学内容时每个受教育者的升留取舍，就要者之间的学习差异，以便决定何时转入下一阶段的教学，决定在转变教学内容时每个受教育者

5、的升留取舍，就要求采取类似物件测量那样一种方法，以得出教育效果的数量化或等级化的反映。求采取类似物件测量那样一种方法，以得出教育效果的数量化或等级化的反映。 一、一、引引 言言 但是，教育效果但是，教育效果人的内部素质的提高，毕竟不同于物件外部特征的变化，测量起来是很困难的。人们在人的内部素质的提高，毕竟不同于物件外部特征的变化，测量起来是很困难的。人们在实践中逐步摸索出了这样的实践中逐步摸索出了这样的“测量测量”方法：从要求教育对象掌握的教学内容中选取出部分内容（在统计学中叫方法：从要求教育对象掌握的教学内容中选取出部分内容（在统计学中叫作作“抽样抽样”），再编制成便于回答的问题，待教育对象

6、按要求回答后，再对回答的结果进行评等或判分。这就），再编制成便于回答的问题，待教育对象按要求回答后，再对回答的结果进行评等或判分。这就是考试。是考试。一、一、引引 言言 考试的出现，是教育发展中的一件大事，对于教育评价、比较、反馈，具有难以估量的意义。教育评价和考试考试的出现，是教育发展中的一件大事，对于教育评价、比较、反馈，具有难以估量的意义。教育评价和考试有着十分密切的关系，考试产生于教育评价，并大大推动了教育评价的发展。有着十分密切的关系，考试产生于教育评价，并大大推动了教育评价的发展。一、一、引引 言言（一）考试的历史发展）考试的历史发展 (二)考试学的任务和内容体系考试学的任务和内容

7、体系 考试学是以考试为研究对象的科学。它的任务是揭示考试的客观规律，探究科学、准确地考查人的知识和能考试学是以考试为研究对象的科学。它的任务是揭示考试的客观规律，探究科学、准确地考查人的知识和能力水平的方法，以指导考试实践。力水平的方法，以指导考试实践。 考试学的体系和内容目前尚在建立和探索之中。考试学的体系和内容目前尚在建立和探索之中。一、一、引引 言言 中国在中国在古代学校古代学校中建立了中建立了定期定期对学生进行对学生进行考核的制度考核的制度, ,并在并在实践中实践中采用了今天仍在应用的采用了今天仍在应用的考试方法考试方法。例如。例如“口试口试”、“策试策试”、“笔试笔试”等。等。 由于

8、由于现代学校教育现代学校教育同时具有培养同时具有培养接班人接班人和和现代劳动者现代劳动者这两种这两种职能职能，现代考试现代考试就着重考查人的知识、智力和就着重考查人的知识、智力和技能。技能。人类人类不同的个体在不同的个体在知识、智力知识、智力和和技能技能方面是有差别的，方面是有差别的，考试考试正是对这种正是对这种差别差别的的测量测量。 知识是人们在实践中获得的对客观的认识（包括感性的经验和理性的理论）。知识是人们在实践中获得的对客观的认识（包括感性的经验和理性的理论）。 智力是人的一种能力，是人的能力中与获得知识（认识世界）和运用知识（能动地改造世界）相关联的那一智力是人的一种能力，是人的能力

9、中与获得知识（认识世界）和运用知识（能动地改造世界）相关联的那一部分。这种能力有时也称为智能。部分。这种能力有时也称为智能。 技能是人们通过练习而形成，完成某种任务的活动方式，是通过反复练习后而获得整个活动中近乎自动化的技能是人们通过练习而形成，完成某种任务的活动方式，是通过反复练习后而获得整个活动中近乎自动化的那部分动作。技能可以分为智力技能（如运算技能、写作技能等）和操作技能（如打字技能、游泳技能等）。那部分动作。技能可以分为智力技能（如运算技能、写作技能等）和操作技能（如打字技能、游泳技能等）。 考试是一种抽样测量。命题，编制试题和制作试卷，既是选取测量样本的过程，又是制造、选取测量工具

10、的考试是一种抽样测量。命题，编制试题和制作试卷，既是选取测量样本的过程，又是制造、选取测量工具的过程，它是确保测试质量的关键的工作环节。过程，它是确保测试质量的关键的工作环节。 考试测量的有效性，是以被测人的积极配合为前提的，并且考试过程所提供的资料具有多方面的价值。考试测量的有效性，是以被测人的积极配合为前提的，并且考试过程所提供的资料具有多方面的价值。 下面看几个有特点的小学数学试题。下面看几个有特点的小学数学试题。（二）考试学的任务和内容体系考试学的任务和内容体系 看图编一道用乘法计算的问题，并列算式计算。看图编一道用乘法计算的问题，并列算式计算。4312（只）（只） 或或 34 12（

11、只）（只） 如果三个平台上的物品和数量是一样的，猜一猜可能是什么？有几个？再编一道用乘法计算的问题。一号门一号门二号门二号门大人都走大人都走1号门，小孩走号门，小孩走2号门，这样最省钱号门，这样最省钱一号门一号门 或或 二号门二号门二号家庭二号家庭一律一律6 6元元成人成人8 8元元小孩小孩4 4元元一号门一号门二号门二号门三号家庭三号家庭一号家庭一号家庭 小刚的妈妈参观展销会买了一件衬衣，小刚的妈妈参观展销会买了一件衬衣，用了用了25.9225.92元。一条裤子要元。一条裤子要34.5034.50元，一件元，一件外套要外套要75.8075.80元。还需要什么数据，才可元。还需要什么数据，才可

12、以算出售货员找给小刚妈妈的钱？以算出售货员找给小刚妈妈的钱？（1）这件衬衣的原价是多少。（2）小刚妈妈参观展销会的日期是哪天。（3）小刚妈妈给售货员付了多少钱。（4）买这件衬衣节约了多少钱。（5）小刚妈妈带了多少钱去参观展销会。 有一个质数，是两个数字组有一个质数，是两个数字组成的两位数，两个数字之和是成的两位数，两个数字之和是8 8，两个数字之差是两个数字之差是2 2，请问这个质数，请问这个质数是几？是几？ 数一数数一数, ,有几条线段有几条线段? ?几个角几个角? ? 一个无盖的正方体纸盒，盒底有个洞，沿着图中红线剪开后得到的是一个无盖的正方体纸盒，盒底有个洞，沿着图中红线剪开后得到的是(

13、 )( ) 已知正方形边长已知正方形边长1010厘米，求正方形中的厘米，求正方形中的4 4个半圆所围成的个半圆所围成的4 4个个“花瓣花瓣”的面积。的面积。 1010厘米厘米1010厘米厘米 两个圆面积两个圆面积1010厘米厘米1010厘米厘米两个圆面积两个圆面积减去正方形面积减去正方形面积1010厘米厘米1010厘米厘米 0.25 4 74137726 = ( 1 )73772641 = ( 1 )76341 = 1041 = 2 .5 = 1 741377264141 六年级三个班派出六年级三个班派出运动员组成年级代表队。运动员组成年级代表队。我们六三班派出了我们六三班派出了1515人。人

14、。六年级代表队共有多少人？六年级代表队共有多少人？我们六一班派出的人数是你们两个我们六一班派出的人数是你们两个班派出总数的班派出总数的 。2 21 1我们六二班派出的人数是你们两个我们六二班派出的人数是你们两个班派出总数的班派出总数的 。1 13 3我们六一班派出的人数是你们两个我们六一班派出的人数是你们两个班派出总数的班派出总数的 。2 21 1是你们两个班派出总数的是你们两个班派出总数的 。1 1就是三个班派出总数的就是三个班派出总数的 。1 1 六年级三个班派出六年级三个班派出运动员组成年级代表队。运动员组成年级代表队。我们六三班派出了我们六三班派出了1515人。人。我们六年级代表队共有

15、多少人？我们六年级代表队共有多少人？六一班是你们两个班总数的六一班是你们两个班总数的 ，就，就是三个班总数的是三个班总数的 。1 12 23 31 1六二班是你们两个班总数的六二班是你们两个班总数的 ，就，就是三个班总数的是三个班总数的 。1 14 43 31 1六一班是三个班总数的六一班是三个班总数的 。3 31 1六二班是三个班总数的六二班是三个班总数的 1 14 4一班一班 3 31 1二班二班 4 41 1三班三班1515人人？人？人 15 （1 ）=36（人） 3 31 14 41 1 六年级代表队共有六年级代表队共有36人？人？ 小明小明1 14 4 小丽小丽？小云小云 ，。 45

16、45 =135 1 14 413545=136 13545=136 45 3 1=136 45 3 =135 汶川发生地震，师生们积极捐款汶川发生地震，师生们积极捐款 献爱心。全校捐款情况如下统计图。献爱心。全校捐款情况如下统计图。高中高中小学小学5 5 初三初三1818 初一初一2121 初二初二2020 教师教师2020 （2 2）初一学生捐款多少元？补全统计图。）初一学生捐款多少元？补全统计图。（3 3）高中捐款数在统计图的圆心角是多少度？）高中捐款数在统计图的圆心角是多少度？单位：元单位：元 63000初一初一2121 下面对在下面对在 “国培计划国培计划”项目实施过程中所收集到的小学

17、一线教师的教学困惑作一番梳理，分为项目实施过程中所收集到的小学一线教师的教学困惑作一番梳理，分为10个问题，逐个问题，逐一给出分析或思考，供各位老师参考。不妥之处，敬请提出批评、改正意见。一给出分析或思考，供各位老师参考。不妥之处，敬请提出批评、改正意见。二、二、小学数学小学数学10个知识点的解析个知识点的解析 “数位数位”是指一个（非零）自然数的每个数字所占的位置。是指一个（非零）自然数的每个数字所占的位置。 “位数位数”是指一个自然数中含有数位的个数。是指一个自然数中含有数位的个数。 区别：区别： “数位数位”无法比较大小。数位顺序表从右端算起，第一位是无法比较大小。数位顺序表从右端算起，

18、第一位是“个位个位”，第二位是，第二位是“十位十位”，第三位是，第三位是“百位百位”，第四位是，第四位是“千位千位”，第五位是，第五位是“万位万位”，等等。平时只说个位数的数是几，十位上的数是几。只有，等等。平时只说个位数的数是几，十位上的数是几。只有数和数可以比较大小。数和数可以比较大小。 请看下面的例子：请看下面的例子：1.1.关于关于“数位数位”与与“位数位数” 例例1.1. 数位多的数一定大（数位多的数一定大（ ） 。 分析：分析：本题选本题选. 理由是：数位不能比较大小。如将题目的条件改为：位数多的数一定大。则题目是对的。例理由是：数位不能比较大小。如将题目的条件改为：位数多的数一定

19、大。则题目是对的。例如，三位数比两位数多一位，五位数比三位数多两位，所以前者比后者大。如，三位数比两位数多一位，五位数比三位数多两位，所以前者比后者大。 例例2.2. 最小的一位数是最小的一位数是0还是还是1？ 分析：分析：所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：、所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个，即：、。、。不是最小的一位数。不是最小的一位数。 1.1.关于关于“数位数位”与与“位数位数”【注注1】在日常的教学中，在日常的教学中，一部分老师会对诸如，部分老师会对诸如，400007000怎么读，产生疑

20、问。怎么读，产生疑问。 其实，这个数读作：其实，这个数读作：4亿零亿零7千。零在亿级和千中间，每级中间的零要读，但连续的几个零只读一个。千。零在亿级和千中间，每级中间的零要读，但连续的几个零只读一个。 又如，又如，1580150015 中的中的 15是读十五还是读一十五？是读十五还是读一十五？ 这个数一般读作：这个数一般读作：15亿亿8千零千零15万零万零15. 再如，再如，108000读作读作10万万8千还是千还是10万零万零8千？千？ 这个数一般读作这个数一般读作10万万8千千.【注注2】2014年后的小学数学教材中，年后的小学数学教材中， 十五亿八千零十五万零十五写作：十五亿八千零十五万

21、零十五写作： 15亿亿8千零千零15万零万零15. 课程标准课程标准下的教材对下的教材对“也是自然数也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。 中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：“国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从多数国家都认为自然数从0 0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0 0不是自然数。不是自然数。20002000年教育部年教育部主持召开教材改编会

22、议时，已明确提出将主持召开教材改编会议时，已明确提出将0 0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。”2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? 从教学实践层面来说，将从教学实践层面来说，将“”规定为规定为“自然数自然数”也有着积极的现实意义。例如，集合论中，有一个集合，也有着积极的现实意义。例如，集合论中，有一个集合，叫做空集：叫做空集： ，它不含元素，因此，空集的基数为，它不含元素，因此，空集的基数为0. 如果不把如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示。如果把自然数来表示。如果把“

23、0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数有限集合元素个数”的任务了。因的任务了。因此，从此，从“自然数的基数性自然数的基数性”这个角度，我们看到了把这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。作为自然数的好处。 其次，其次，“0”加入自然数集合，所有的自然数的加入自然数集合，所有的自然数的“运算规则运算规则” (交换律、结合律、分配律交换律、结合律、分配律)依旧保持依旧保持 。2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? “0”加盟到自然数集合实属数学发展的需要，而不仅仅是人为的加盟到自然数集合实属数学发展的需要，而不仅仅是人

24、为的“规定规定”。 它可以让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的它可以让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义定义”和和“规定规定”，还应该思考，还应该思考“规定规定”背后的数学涵义。背后的数学涵义。2. 2. 0为什么也是自然数为什么也是自然数? 有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时，保留的有效数字多，就比保留的有效数字少更精确。保留的有效数字少更精确。 一般说，一个近似数四舍五

25、入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字一般说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个非零的数字起，到那一位上的所有数字（包含起，到那一位上的所有数字（包含0）都叫做这个数的有效数字。如近似数）都叫做这个数的有效数字。如近似数0.00309有三个有效数字：有三个有效数字：3、0、9；0.520也有三个有效数字：也有三个有效数字：5、2、0。而。而0.00309中左边的三个中左边的三个0，0.520中左边的一个中左边的一个0，都叫做无效数字。，都叫做无效数字。3. 3. 什么是有效数字、什么是无效数字？什么是有效数字、什么是无效数字

26、？ （1 1）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？ “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅，这样说对吗？这似乎成了许多老师的口头禅，这样说对吗？ 这其实是一种误解。例如：这其实是一种误解。例如： 加法加法“”，其逆运算为，其逆运算为“”，“”。故此，加法的逆运算只有减法；减。故此，加法的逆运算只有减法；减法法“”，其逆运算有，其逆运算有 “”， “”。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运。故此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。算。4. 4. 关于四则运算关于四则运算（1 1）

27、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？）加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算？ 综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。综上可知，只能说减法是加法的逆运算，而不能说加法与减法互为逆运算。 同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。同理，也只能说除法是乘法的逆运算，而不能说乘法与除法互为逆运算。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （2 2）为什么不写）为什么不写“倍倍”？ 在学习在学习“求一个数是另一个数的几倍求一个数是另一个数的几倍”应用题时，很多小学生会自然提出这样的疑问，如应用题时，很多小学生会自然提出这样的疑问，如：“饲养小组养了饲养小组

28、养了12只小鸡，只小鸡，3只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？只小鸭，小鸡的只数是小鸭的几倍？” 为什么为什么“1234”的后面不写的后面不写“倍倍”呢？呢？ 分析：在解答应用题时，得数后面一般要写上单位名称。如：分析：在解答应用题时，得数后面一般要写上单位名称。如：12只的只的“只只”；8克的克的“克克”。一个数只有带上。一个数只有带上单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。单位名称，才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。 4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （2 2）为什么不写）为什么不写“倍倍”？ 分析：但是，分析：但是，“倍倍”不是单位名称，它表示

29、两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果不是单位名称，它表示两个数量之间的一种关系。例如，上面的计算结果“4”，表示，表示12里里面有面有4个个3，也就是，也就是12只小鸡是只小鸡是3只小鸭的只小鸭的4倍。所以，在算式里不写倍。所以，在算式里不写“倍倍”，以免，以免“倍倍”与单位名称发生混淆。与单位名称发生混淆。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 在第一学段学生学习了在第一学段学生学习了“倍的初步认识倍的初步认识”，认识了概念，认识了概念“倍倍”，而在第二学段，学生又学习到，而在第二学段，学生又学习到“倍数倍数”这这个概念。那么，个概念。那

30、么，“倍倍”和和“倍数倍数”这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？这两个词到底是不是一回事呢？这两个词之间有什么区别呢？4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 “倍倍”指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有指的是数量关系，它建立在乘除法概念的基础上。例如：男生有10人，女生有人，女生有30人，因为人，因为“103=30”或者或者“3010=3”，我们就说，女生人数（，我们就说，女生人数（30）是男生人数（）是男生人数（10）的）的3倍，也可以说，男生人数倍，也可以说，男生人数（10）的）的3倍等于女生人数（倍等于女

31、生人数（30）。所以，）。所以，“倍倍”其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数其实表示的是两个数的商（这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式）。等各种表现形式）。4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （3 3）“倍倍”和和“倍数倍数”的区别的区别 “倍数倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，指的是数与数之间的联系，它建立在整除概念的基础上。例如，30能被能被6整除，整除，30就是就是6的倍数。的倍数。可见，可见，“倍数倍数”是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形式有特别的要求（必须为整数）。是不能独立存在的（具有特定的指向性），而且对数的形

32、式有特别的要求（必须为整数）。 同时又应该看到，同时又应该看到，30也是也是6的的5倍，因为倍，因为6530，“65”表示表示6的的5倍。所以，从这个角度来说，倍。所以，从这个角度来说，“倍倍”的的涵义应宽泛于涵义应宽泛于“倍数倍数”，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。，后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。4. 4. 关于四则运算关于四则运算（4 4）分数乘法的意义和整数乘法的意义相同吗？）分数乘法的意义和整数乘法的意义相同吗？ 分数乘法分两种情况：分数乘法分两种情况： 分数乘（以）整数的意义与整数乘法的意义完全相同。分数乘（以）整数的意义与整数乘法的意义完全相同。一个数乘（以）分数

33、，表示求这个数的几分之几是多少。与整数乘法的意义不同。一个数乘（以）分数，表示求这个数的几分之几是多少。与整数乘法的意义不同。4. 4. 关于四则运算关于四则运算（5 5）一个因数的末尾有）一个因数的末尾有0 0，积一定有，积一定有0. 0. 分析：针对不同年级的学生有不同的答案：分析：针对不同年级的学生有不同的答案： 三年级上册：三年级上册：一个因数末尾有零乘法。这时一个因数的末尾有一个因数末尾有零乘法。这时一个因数的末尾有0，积一定有，积一定有0. . 六年级上册：分数乘整数。这时一个因数的末尾有六年级上册：分数乘整数。这时一个因数的末尾有0，积不一定有，积不一定有0. 如：如：101/2

34、=5.4. 4. 关于四则运算关于四则运算（6 6）被除数和除数同时扩大，商就不变？）被除数和除数同时扩大，商就不变？ 分析：该问题考察对除法基本性质的掌握。分析：该问题考察对除法基本性质的掌握。例如，例如，4. 4. 关于四则运算关于四则运算 11 2.1010 3 只有被除数和除数只有被除数和除数同时扩大相同的倍数同时扩大相同的倍数，商才不变。，商才不变。 （7 7）0.40.40.50.5的积应该有几位小数？的积应该有几位小数？ 分析：分析：人教版四年级教材有规定：人教版四年级教材有规定：小数乘法的结果，如果小数点后面有小数乘法的结果，如果小数点后面有0 0，一般要把末尾的，一般要把末尾

35、的0 0去掉。去掉。 对于这样的问题，如果做题要求是保留两位小数，那就必须写成对于这样的问题，如果做题要求是保留两位小数，那就必须写成0.20. 如果没有具体要求保留小数数位，如果没有具体要求保留小数数位，那么答案是那么答案是0.2. 答案：答案： 0.40.40.50.5的积是一位小数。的积是一位小数。4. 4. 关于四则运算关于四则运算例：例：用用8、6、4、1、0组成最大的两位小数，这个数是多少？组成最大的两位小数，这个数是多少？ 分析：不同的教学参考书，答案不同。有两个不同的答案：分析：不同的教学参考书，答案不同。有两个不同的答案：864.10 和和 864.01. 这让老师们很头疼！

36、这让老师们很头疼！ 按上面的分析，答案应为：按上面的分析，答案应为： 864.01. 个人认为，做类似这样的题目没有意义。个人认为，做类似这样的题目没有意义。4. 4. 关于四则运算关于四则运算【注注3】 乘法是加法的简便运算。如乘法是加法的简便运算。如, 5+5+5=53，那么，除法和减法的关系是什么？，那么，除法和减法的关系是什么？ 除法可以是看作是连续减去相同数的简便运算，被除数就是被减数，除数就是相同的减数，连减的最多次数就除法可以是看作是连续减去相同数的简便运算，被除数就是被减数，除数就是相同的减数，连减的最多次数就是商。如，是商。如，205=20-5-5-5-5=0. 如果连续减去

37、若干次后，刚好减完，说明余数为如果连续减去若干次后，刚好减完，说明余数为0；如果连续减去若干次后最后；如果连续减去若干次后最后的差不是的差不是0，但比除数小，那么最后的差是余数。，但比除数小，那么最后的差是余数。（8 8）关于整除、除尽、除不尽。）关于整除、除尽、除不尽。 “整除整除”是整数范围内的除法。对于任意两个整数是整数范围内的除法。对于任意两个整数a和和b（b0），如果存在一个整数），如果存在一个整数q，使，使bq=a成立，则称成立，则称a能被能被b整除。而整除。而“除尽除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除整除”与与“除尽除尽”的区别和联系在

38、于：的区别和联系在于：“整除整除”也可以称作也可以称作“除尽除尽”，但是，但是“除尽除尽”不一定是不一定是“整除整除”。“除尽除尽”中包括了中包括了“整除整除”，“整除整除”只是只是“除尽除尽”的的一种特殊情况。一种特殊情况。 4. 4. 关于四则运算关于四则运算（8 8）关于整除、除尽、除不尽。）关于整除、除尽、除不尽。 “除不尽除不尽”，就是两个数相除，不用余数表示，商是无限小数，这样的两个数叫做，就是两个数相除，不用余数表示，商是无限小数，这样的两个数叫做“除不尽除不尽”。 “除不尽除不尽”又分为两种情形：商是无限循环小数，如：又分为两种情形：商是无限循环小数，如：86=1.333；和商

39、是无限不循环小数，如：和商是无限不循环小数，如：圆圆的周长的周长圆的直径圆的直径=.=.（小学阶段不学习无理数，约定（小学阶段不学习无理数，约定=3.14 ）4. 4. 关于四则运算关于四则运算 （1 1）最大的分数单位是）最大的分数单位是1/21/2还是还是1/11/1？ 先看分数单位的含义：把单位先看分数单位的含义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数。平均分成若干份，表示这样一份的数。 在分数意义中，关键是在分数意义中，关键是“分分”，没有，没有“分分”，就没有，就没有“份份”。因为把单位。因为把单位“1”平均分成的最少份数是平均分成的最少份数是2份（如份（如果是果是1份，也就无

40、所谓份，也就无所谓“分分”），由此得到的分数单位是），由此得到的分数单位是1/2，所以，所以1/2是最大的分数单位。是最大的分数单位。 尽管就广义的分数来说，尽管就广义的分数来说，1/1也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平也可视作分数，但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数（在平均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以均分的基础上所产生），故此，最大的分数单位应以1/2为宜。为宜。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数 （2 2）长方形对角线把其分成四部分，那么每部分都是长方形对角线把其分成四部分，那么每部分都是1/4吗？（三年级）吗？

41、（三年级） 分析：不对。长方形用两条对角线将其分成四份，四份不完全相等。把一个长方形沿对角线撕开变成四个三角分析：不对。长方形用两条对角线将其分成四份，四份不完全相等。把一个长方形沿对角线撕开变成四个三角形，它们不完全相等。形，它们不完全相等。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2这样的数是不是分数这样的数是不是分数? ? 小学教科书中分数的定义明确指出：把单位小学教科书中分数的定义明确指出：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。其平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫分数。其中，分成的份

42、数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。中，分成的份数叫做分数的分母，要表示的份数叫做分子。由此可知，分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。从这个意义来说，以上这几个数徒具分数的形式，而不具分数的实质，因此都不应该视为分数。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（3 3）像）像 0/30/3、0.2/30.2/3、3/0.23/0.2这样的数是不是分数这样的数是不是分数? ? 进而，在考查学生对进而，在考查学生对“分数分数”涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数

43、，将上述这些变异形式纳入思考涵义的理解时，应着眼于通常意义上的分数，将上述这些变异形式纳入思考的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如的范围，其本身对训练学生的思维并无多大实际意义，而且会令诸如“分数都大于分数都大于0”等命题的真与假陷入尴尬。等命题的真与假陷入尴尬。5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（4 4）比）比6 6多多1/21/2的数的数”应该是应该是“6+1/26+1/2”还是还是“6 6(1+1/2)(1+1/2)” 要弄清这个问题，先得弄清要弄清这个问题，先得弄清“6”的性质。显然，此处的的性质。显然，此处的“6”其实质是一个其实质是一个“数数”，而

44、非一个，而非一个“量量”，求，求“比比6多多1/2的数的数”应属于应属于“求比一个数多几的数求比一个数多几的数”的范畴，问题中的的范畴，问题中的“多几多几”都是确定的具体数，这里的都是确定的具体数，这里的“几几”既可既可以是整数，也可以是小数或分数。所以，这里的以是整数，也可以是小数或分数。所以，这里的“1/2”是指在是指在6的基础上的基础上“多多1/2”这个这个“1/2”数的本身，而非数的本身，而非“6的的1/2”。所以，。所以，“比比6多多1/2的数的数”应该是应该是“6+1/2”。 当然，如果题目为：当然，如果题目为：“比比6多它的多它的1/2的数的数”，那答案则属于后者。，那答案则属于

45、后者。 5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数 把把 平均平均分给两个小朋友，分给两个小朋友，每人得到一个分每人得到一个分数，谁会分？数，谁会分？ （5 5）计算出勤率可不可以不乘）计算出勤率可不可以不乘100%100%？ 同一同一课程标准课程标准下，不同的课本对此给出了不同的理解，这给教师带来了困惑：下，不同的课本对此给出了不同的理解，这给教师带来了困惑：到底可不可以不乘到底可不可以不乘100% %呢？呢？个人以为，求个人以为，求“率率”其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。其结果必定为百分率。以出勤率为例，就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几

46、。如果公式只写成：出勤率如果公式只写成：出勤率=实际出勤人数应出勤人数，这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的实际出勤人数应出勤人数，这只是分数形式（也即是求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几几分之几”），并不是百分数。因此，在公式后面乘上），并不是百分数。因此，在公式后面乘上“100”，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果，既可以使计算数值大小不变，又能保证结果形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率形式满足百分数的要求。因此，计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率的公式中，都应乘的公式中，都应乘“100”。 5. 5. 关于分数、百分数关于分数、百分数（1

47、）足球比赛记分牌上的）足球比赛记分牌上的“:”是数学中的是数学中的“比比”吗？吗？ 至少可以从两个方面来理解它们的差别。至少可以从两个方面来理解它们的差别。 第一，第一， 球类比赛中的球类比赛中的“3:2”表示的是比赛双方的得分情况，是表示的是比赛双方的得分情况，是“差差”比，即表示相差关系，一方得比，即表示相差关系，一方得3分，另分，另一方得一方得2分，双方相差分，双方相差1分；数学中的分；数学中的“3:2”表示的是表示的是“32”，是，是“倍倍”比，商为比，商为1.5. 有鉴于此，球类比赛中有鉴于此，球类比赛中的的“比比”（其实是比分），其后数可以为（其实是比分），其后数可以为0的，而数学

48、中的的，而数学中的“比比”，其后数（相当于除数）在小学阶段是不可，其后数（相当于除数）在小学阶段是不可以为以为0的。的。6. 6. 关于比例关于比例（1）足球比赛记分牌上的）足球比赛记分牌上的“:”是数学中的是数学中的“比比”吗？吗？ 至少可以从两个方面来理解它们的差别。至少可以从两个方面来理解它们的差别。 第二，数学中的第二，数学中的“比比”是可以化简的，如是可以化简的，如“4:22:1”；同样的；同样的“4:2”放在球类比赛中，却不可以化简，如放在球类比赛中，却不可以化简，如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。6. 6. 关于比例关于比例（2

49、）小学阶段解答比例应用题的完整步骤是什么？）小学阶段解答比例应用题的完整步骤是什么？ 分析：解答比例应用题的完整步骤为：分析：解答比例应用题的完整步骤为： 先判断题中的量成什么比例，再按比例的方法列出比例量，然后解答和检验。一般，小学阶段应将比例问题先判断题中的量成什么比例，再按比例的方法列出比例量，然后解答和检验。一般，小学阶段应将比例问题的答案化到不能约分为止。例如，的答案化到不能约分为止。例如，“8a=6b（b0），那么，），那么， a:b=3:4”，而不写成，而不写成“a:b=6:8”.6. 6. 关于比例关于比例 估算是在计算、测量时无法也没有必要进行精确计算或测量，对数量关系做合理

50、的大概推断。估算是在计算、测量时无法也没有必要进行精确计算或测量，对数量关系做合理的大概推断。 在小学课堂教学中，何时在小学课堂教学中，何时“估算估算”、何时、何时“精确计算精确计算”？可以参考下面的建议。？可以参考下面的建议。7.7.关于估算关于估算用计算器问题情境用笔算需要计算需要近似答案估算估算需要精确答案用心算“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法 1. 凑整。凑整。 取整十数、四舍五入取整十数、四舍五入 3. 利用特殊数据特点估数。利用特殊数据特点估数。1272673=1272621130625=81250 2. 取中间数。取中间数。 672+678+673

51、+6796754=2700 4.寻找区间，看首位。首位寻找区间，看首位。首位-1：至少；首位都：至少；首位都+1：最多。例如，：最多。例如，4.33.7 至少：至少：43=12 最多：最多： 54=20 5. 都往大估，或都往小估；一个估大，一个估小；或一个估，一个不估（视具体情境而定）先估后调。都往大估，或都往小估；一个估大，一个估小；或一个估，一个不估（视具体情境而定）先估后调。“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法例：例：妈妈用妈妈用100100元钱元钱买下列物品，够吗？买下列物品，够吗？24元元33元元44元元6.6.利用乘法口诀估算。利用乘法口诀估算。 “两

52、位数除以一位数的估算两位数除以一位数的估算” （三下）（三下） 教科书中设计了如下一些估算题目：教科书中设计了如下一些估算题目： 593 883 912 414 6247. 利用估算进行判断。利用估算进行判断。61232412883=799429229=10128“估算估算”教学的策略教学的策略教学生估算的方法教学生估算的方法 A 少于少于200 B. 400500 C. 300400 D. 200300备选答案不是一个具体数值，而是一个数值区间。可以利用乘法估算来解决这样的问题。备选答案不是一个具体数值，而是一个数值区间。可以利用乘法估算来解决这样的问题。 公园平均每小时有公园平均每小时有3

53、645人乘坐碰碰车，人乘坐碰碰车，估计估计6小时中，乘坐碰碰车的人数是：（小时中，乘坐碰碰车的人数是：（ ） D教学案例教学案例 估估 算算 （北京教科院北京教科院 吴正宪吴正宪）青青和母亲去购物青青和母亲去购物买了这么多物品，要多少钱呢？买了这么多物品，要多少钱呢？我带了我带了200200元钱，够不够呢？元钱，够不够呢？ 在下列哪种情况下使用估算在下列哪种情况下使用估算比精确计算有意义比精确计算有意义？A.A.当青青想确认当青青想确认200200元钱是不是够用时；元钱是不是够用时；C.C.当青青被告知应付多少钱时。当青青被告知应付多少钱时。B.B.当销售员将每种食品的价钱输入收银机时；当销售

54、员将每种食品的价钱输入收银机时；吴老师用这个情景说明：吴老师用这个情景说明：“估算估算”适用的范围。适用的范围。曹冲称象曹冲称象吴老师创设这个情景，目的是让学生体验吴老师创设这个情景，目的是让学生体验“估算估算”的方的方法。法。 这么多的石头和大象一样重这么多的石头和大象一样重六次称石头的质量如下（单位：千克）六次称石头的质量如下（单位：千克）次数次数123456质量质量328346307377398352 你能估计出这头你能估计出这头 大象多重吗？大象多重吗？ 这里可以有多种这里可以有多种“估算估算”的方法，方法的选择：的方法，方法的选择：“快快”；“误差尽可能小误差尽可能小”。 2108

55、2108千克千克 2010820108千克千克哪个答案对？哪个答案对？ 350350名同学要外出参观，名同学要外出参观， 有有7 7辆车，每辆车辆车，每辆车5656个座位，个座位， 估一估够不够坐？估一估够不够坐？ 756350（个）（个） 350个个=350个个 看作看作5050756420（个）（个） 420个个350个个 看作看作6060“估算估算”意识的渗透意识的渗透 车重车重986986千克，这辆车可以过桥吗？千克，这辆车可以过桥吗？ 共共6 6箱箱限重限重3 3吨吨每箱重每箱重285285千克千克3t2084= 哪个答案可能是正确的？哪个答案可能是正确的？A 8032 B 823C

56、 832 832 本案例完本案例完 总之，估算的方法有多种，要让学生在日常生活中多观察，鼓励学生用不同的方法解决问题，通过不失时机总之，估算的方法有多种，要让学生在日常生活中多观察，鼓励学生用不同的方法解决问题，通过不失时机的估算训练，使学生感受到估算是解决问题的一种策略。用它可以简洁并迅速地解决某些问题，从而在培养学的估算训练，使学生感受到估算是解决问题的一种策略。用它可以简洁并迅速地解决某些问题，从而在培养学生估算技能的同时逐步向学生渗透估算的意识和理念。生估算技能的同时逐步向学生渗透估算的意识和理念。 7.7.关于估算关于估算 首先应该明确的是，首先应该明确的是，小小时并非国际时间单位。

57、在时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的年国务院发布的关于我国统一法定计量单位的命关于我国统一法定计量单位的命令令中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、中，把秒作为时间的基本单位，把非国际单位制的时间单位天（日）、小小时、分作为辅助单位。时、分作为辅助单位。【注注】 里的字，在不致混淆的情况下，可以省略。这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天里的字，在不致混淆的情况下，可以省略。这样，在我国范围内使用的法定时间单位就有：天（日）、（日）、小小时、分、秒。时、分、秒。 8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“

58、小时小时”？ 由此，由此，“时时”既可以表示时间，又可以表示时刻。由于既可以表示时间，又可以表示时刻。由于“时间时间”和和“时刻时刻”这两个不同的概念，容易产生混这两个不同的概念，容易产生混淆，在实际应用时间单位淆，在实际应用时间单位“时时”时，现行课本作了如下处理：时，现行课本作了如下处理：当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位当列式计算出时间的长短时，在得数的括号里写上时间的单位“时时”。例如：超市营业时间：。例如：超市营业时间：21-9=12（时）。（时）。（此处可省略（此处可省略“小小”字）字）8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使

59、用“时时”和和“小时小时”？ 在用语言表述时间的长短时，为避免在用语言表述时间的长短时，为避免“时间时间”和和“时刻时刻”这两个概念产生混淆，则在这两个概念产生混淆，则在“时时”的前面加上一个的前面加上一个“小小”字。例如：超市营业时间字。例如：超市营业时间12小时。小时。在用语言表示时刻时，一律不得出现在用语言表示时刻时，一律不得出现“小时小时”字样。例如：公园每天早上字样。例如：公园每天早上7时时30分开园（而非分开园（而非7小时小时30分）。分）。8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ 总之：表示经过的时段（时间）一般用总

60、之：表示经过的时段（时间）一般用“小时小时”表示，表示某一段瞬间（时刻）则用表示，表示某一段瞬间（时刻）则用“时时”来表示。来表示。“小时小时”是计量时间长短的一个辅助单位名称，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的是计量时间长短的一个辅助单位名称，但如果在不至于与表示时间的某一瞬间的“时时”发生混淆时，这个发生混淆时，这个“小小”字可以省略。因为只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在算式中可以将字可以省略。因为只有表示经过多少时间的量才能参加运算或换算，所以在算式中可以将“小时小时”省略为省略为“时时”。如：。如：9-8=1（时），而在文字叙述中，这个（时），而在文字叙述中，这个“

61、小小”字一般不省略。字一般不省略。8. “8. “时时”和和“小时小时”有什么不同？怎样使用有什么不同？怎样使用“时时”和和“小时小时”？ （1 1）x=0 x=0是方程还是方程的解是方程还是方程的解? ? 分析：分析：方程指含有未知数的等式。所以，方程指含有未知数的等式。所以，x=0是方程。是方程。（2 2）简易方程用等式的性质去解太难、太麻烦怎么办？）简易方程用等式的性质去解太难、太麻烦怎么办？分析：分析：课标标准课标标准规定用等式的性质解简易方程，目的是与中学解一元一次方程等的解法保持一致。在小学，规定用等式的性质解简易方程，目的是与中学解一元一次方程等的解法保持一致。在小学，教师可以利

62、用加、减、乘、除各部分之间的关系来解简易方程。教师可以利用加、减、乘、除各部分之间的关系来解简易方程。 9. 9. 关于简易方程关于简易方程（1 1）直径是圆的对称轴吗？）直径是圆的对称轴吗？ 分析：所谓对称轴是指：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图分析：所谓对称轴是指：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。形，这条直线叫做这个图形的对称轴。 在小学阶段，圆的直径是线段，对称轴要求是直线，所以，应该说：圆的对称轴是直径所在的直线。在小学阶段，圆的直径是线段，对称轴要求是直线，所以，应该

63、说：圆的对称轴是直径所在的直线。10. 10. 关于关于“图形与几何图形与几何”的知识点的知识点（2 2）“路程路程”就是就是“距离距离”吗？吗？ 分析：这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。分析：这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的，其实不然。 “路程路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度；而“距离距离”则指连接两个地点而成的直线段的则指连接两个地点而成的直线段的长度。长度。“路程路程”所经过的路线可以是曲线段，也可以是直线段，还可能是折线段。一般情况下，两个地点之间所经过的路线可以是曲线段，也可以是直线段，还可能

64、是折线段。一般情况下，两个地点之间的的“路程路程”要大于它们之间的要大于它们之间的“距离距离”，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。，只有当两个地点之间的路线为直线时，路程和距离才相等。 10. 10. 关于关于“图形与几何图形与几何”的知识点的知识点（3 3）如右图，树叶的周长算不算叶柄的长度？）如右图，树叶的周长算不算叶柄的长度？10. 10. 关于关于“图形与几何图形与几何”的知识点的知识点分析：按照人教版小学数学教材的说法：封闭图形一周的长度，是它的长度。分析：按照人教版小学数学教材的说法：封闭图形一周的长度，是它的长度。（见下片教材截图）（见下片教材截图） 仔细观察课

65、本，情境图中的树叶并不含叶柄，课本中借用实物：树叶、国旗、课本、钟等，抽象成平面图形，仔细观察课本，情境图中的树叶并不含叶柄，课本中借用实物：树叶、国旗、课本、钟等，抽象成平面图形，然后探讨长方形周长的求法，再给出长方形的周长公式。然后探讨长方形周长的求法，再给出长方形的周长公式。 结论：结论：树叶的周长不算叶柄的长度。树叶的周长不算叶柄的长度。10. 10. 关于关于“图形与几何图形与几何”的知识点的知识点（3 3）树叶的周长算不算叶柄的长度？）树叶的周长算不算叶柄的长度？（4 4）小于）小于9090度的角都是锐角吗？度的角都是锐角吗？ 分析：根据新版小学数学教材定义：分析：根据新版小学数学

66、教材定义：小于小于9090度的角叫做锐角。度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：答案似乎是肯定的，但由此又产生一个新的问题：0 0度的角是什么角，也是锐角吗？度的角是什么角，也是锐角吗？ 事实是，锐角定义中有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。事实是，锐角定义中有一个隐含的前提，就是小学数学中所讨论的角都是正角。 10. 10. 关于关于“图形与几何图形与几何”的知识点的知识点（4 4）小于）小于9090度的角都是锐角吗？度的角都是锐角吗？ 分析：习惯上把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当分析：习惯上把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角，射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角，当一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、一条射线没有做任何旋转时，就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角，就应分为正角、负角、和零角。和零角。 由此，严格意义上的锐角定义应是：大于由此，严格意义上的锐角定义应是：大于0度而小于度而小于90度的角叫做锐角。度的角