结构动力学考研复习用学习教案

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1、会计学1结构结构(jigu)动力学动力学 考研复习用考研复习用第一页，共108页。土木工程中的动力学问题地震(dzhn)响应第1页/共107页第二页，共108页。土木工程中的动力学问题地震(dzhn)响应第2页/共107页第三页，共108页。土木工程(tm gngchng)中的动力学问题风致响应1940年11月7日上午，位于(wiy)美国华盛顿州刚建成四个月，主跨853米，位居当时世界第三的塔科马海峡桥（Takoma Narrow Bridge），在八级大风（风速19m/s）作用下，经过剧烈的扭曲震荡后，桥面结构解体损毁，半跨坠落水中。 第3页/共107页第四页，共108页。结构(jigu)动

2、力学的任务v 提供任意给定结构在任意给定动荷载作用下进行响应(xingyng)分析的方法；v 确定结构固有动力特性及结构固有动力特性、动荷载和结构响应(xingyng)三者间的相互关系，即结构在动荷载作用下的响应(xingyng)规律；v 为结构动力可靠性设计和健康诊断提供依据。第4页/共107页第五页，共108页。结构(jigu)动力学的研究内容v 结构的响应分析：已知动荷载（输入(shr)）和结构动力特性（系统）求结构的响应；v 结构的参数识别：已知动荷载（输入(shr)）和结构的响应（输出）确定结构的动力特性（系统）参数或数学模型，从而对结构的“健康”状况作出评价，对所出现的问题进行诊治

3、；v 荷载识别：已知结构的动力特性（系统）和结构的响应（输出），求未知的动荷载（输入(shr)）。第5页/共107页第六页，共108页。动力(dngl)计算的特点 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化(binhu)的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化(binhu)的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。第6页/共107页第七页，共108页。动力(dngl)计算的特点 严格地说，结构上所受荷载都是随时间(

4、shjin)变化的，但是如果荷载随时间(shjin)变化的速度较慢，以致质量运动加速度所产生的惯性力和荷载相比小到可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析计算。 所谓荷载变化的快慢，或者说是否要当作动荷载处理，不仅要看荷载，而且还要看结构，因为结构的的动力特性不同，同一荷载使质量所产生的加速度（惯性力）将不一样。第7页/共107页第八页，共108页。动力(dngl)计算的目的和内容计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足(mnz)强度和变形的要求。结构动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 1）确定动力荷载（外部因素，即

5、干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等）； 3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。第8页/共107页第九页，共108页。结构动力(dngl)计算与静力计算的对比v 两者都是建立平衡方程，但动力计算(j sun)，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。v 结构的动力响应不仅与荷载的幅值及其变化规律有关，而且还与结构的动力特性有关。第9页/共107页第十页，共108页。动力(dngl)荷载分类第10页/共107页第十一页，共108页。动力荷载(hzi)分类v

6、确定性荷载荷载的变化是时间的确定性函数。v 周期荷载：随时(sush)间作周期性变化。P(t )t简谐荷载（按正余弦规律变化）t非简谐荷载P(t )第11页/共107页第十二页，共108页。动力(dngl)荷载分类v 确定性荷载荷载的变化是时间的确定性函数。v 冲击(chngj)荷载：荷载作用时间很短。（如爆炸荷载）v 突加荷载：以某一恒值突然施加于结构上并（在一定长时间内）保持不变。（锻锤和打桩机所产生的荷载）P(t)ttrPttrPP(t)第12页/共107页第十三页，共108页。动力荷载(hzi)分类v 非确定性荷载(hzi)（随机荷载(hzi)）荷载(hzi)随时间的变化不确定或不确知

7、，或边界不清晰。v 这种荷载(hzi)事先不可预知，以后也难再现，在任一时刻的荷载(hzi)大小为随机量。例如由于脉动风和地震地面运动等对建筑物产生的荷载(hzi)都是随机荷载(hzi)，但对已发生（并记录）的地震作用等荷载(hzi)（也称为样本），都是确定性荷载(hzi)（在做结构试验时可以重现这种地面激励）。第13页/共107页第十四页，共108页。动力计算(j sun)中体系的自由度定义：在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量位置或变形状态所需的独立参数个数，称为体系的自由度。 自由度为1的体系称为单自由度体系；自由度为有限值的体系称为有限自由度体系；质量连续分布(fnb)的体系为无限自

8、由度体系。 实际结构的质量都是连续分布(fnb)的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作一定的简化。第14页/共107页第十五页，共108页。动力(dngl)计算中体系的自由度 动力分析中自由度与结构体系组成分析时的自由度既有相同之处又有不同之处。 相同之处：二者都是确定体系运动位置(wi zhi)所需的独立坐标参数。 不同之处：在结构体系组成分析中，讨论的对象是不考虑质量的刚体。而在动力分析中，讨论的一般是变形体，考虑的是体系中质量的自由度。第15页/共107页第十六页，共108页。体系(tx)自由度的简化v 集中质量法将结构的分布质量按一定规则(guz)集中到结构的某个或某些位置上

9、，认为其它地方没有质量，从而将无限多自由度体系简化为有限个自由度体系。对杆系结构，此时无质量杆仅有弹性特性，因此常称为无重弹性杆。 第16页/共107页第十七页，共108页。体系(tx)自由度的简化单自由度体系(tx)2个自由度体系第17页/共107页第十八页，共108页。体系(tx)自由度的简化多自由度体系(tx)第18页/共107页第十九页，共108页。体系(tx)自由度的简化v 广义坐标法将具有分布(fnb)质量杆件振动的位移曲线，用一系列满足位移边界约束条件的位移函数的线性组合来近似，组合系数即为体系的广义坐标。v 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示:nkklxktatxy1sin)

10、(),(xltxfy,第19页/共107页第二十页，共108页。体系(tx)自由度的简化1a2a2a3a3a3a4a4a4a4a（a）（b）（c）（d）xltasin)(1xlta2sin)(2xlta3sin)(3xlta4sin)(4是广义座标(zu bio)，为一组待定参数，其个数即为自由度数。)(tak第20页/共107页第二十一页，共108页。体系(tx)自由度的简化1a2a2a3a3a3a4a4a4a4a（a）（b）（c）（d）xltasin)(1xlta2sin)(2xlta3sin)(3xlta4sin)(4lxksin是根据(gnj)边界约束条件选取的函数，称为形状函数。第2

11、1页/共107页第二十二页，共108页。体系(tx)自由度的简化v 有限单元法该方法是将有限单元法的思想用来解决(jiju)结构的动力计算问题，对分布质量的实际结构，此时体系的自由度数为单元结点可发生的独立位移未知量总个数。第22页/共107页第二十三页，共108页。体系(tx)自由度的确定v 用广义坐标法或有限单元法将无限自由度体系简化为有限自由度体系时，体系的自由度数等于广义坐标数或独立结点位移数。 v 对于由集中质量法简化后得到的有限自由度结构体系，在确定(qudng)结构的动力自由度数目时应注意：集中质量体系的质点数并不一定等于体系的自由度数，而要根据自由度的定义及问题的具体情形来确定

12、(qudng)。第23页/共107页第二十四页，共108页。动力计算的方法振动(zhndng)方程的建立v 直接平衡法（动静法）：该法根据达朗伯尔原理，将惯性力假想地作用于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载，使动力问题转化成任一时刻都动平衡的静力问题。因此，建立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似(xin s)，即作用于质量上的所有力保持平衡。 0)()(tymtP I(t)惯性力，与加速度成正比，方向相反P(t)动力荷载。0)()(tItP第24页/共107页第二十五页，共108页。内容(nirng)回顾 动力荷载的定义和分类 动力计算中体系的自由度 振动方程(fngchng)的建立第2

13、5页/共107页第二十六页，共108页。自由(zyu)振动 自由振动：体系(tx)在振动过程中没有动荷载的作用。自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。第26页/共107页第二十七页，共108页。自由振动方程(fngchng)的建立方法(fngf)：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。m.yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移 y(t

14、)=yj+ydk力学模型.ydmmWS(t)I(t)+重 力 W弹性力 )()()(djyyktkytS恒与位移反向惯性力)()()(djyymtymtI 恒与加速度反向第27页/共107页第二十八页，共108页。自由(zyu)振动方程的建立1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立(jinl)平衡方程。Wyykyymdjdj)()( (a)其中 kyj=W 及0jy 上式可以简化为0ddkyym 或).(.0bkyym 由静平衡位置计算。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。建立平衡方程第28页/共107页第二十九页，共108页。自由(zyu)振动方程的建立2、 柔度法

15、：研究结构上质点(zhdin)的位移，建立位移协调方程。 惯性力看着作用在结构体系上的静力荷载。m静平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k1可得与 (b）相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。第29页/共107页第三十页，共108页。自由(zyu)振动微分方程的解).(.0bkyym 改写(gixi)为0ymky 02yy 其中mk2它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：).(.cossin)(21dtCtCty积分常数C1，C2由初始条件确定。设 t=0 时初速度初位移00)0()0(vyyy0102vCyC).(.sincos)(00et

16、vtyty（d）式可以写成第30页/共107页第三十一页，共108页。自由(zyu)振动微分方程的解).(.sincos)(00etvtyty由上式可知，位移是由初位移y0引起(ynq)的余弦运动和由初速度v0引起(ynq)的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令cos,sin00AvAy(e)式改写成).(.).sin()(ftAty它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定振幅相位角（初相角）).(.arctan002020gvyvyA第31页/共107页第三十二页，共108页。y0ty-yTTTvvyt0yt0A-Atvsin0tAsintycos0第32页/共107页第三十

17、三页，共108页。结构的自振周期(zhuq)和频率由式)sin()(tAty及图可见位移(wiy)方程是一个周期函数。Tt0A-A周期,2T工程频率),Hz(21Tf圆频率Tf22自振周期计算公式：gkmTst22圆频率计算公式：stgWgmmk1第33页/共107页第三十四页，共108页。结构(jigu)的自振周期和频率 一些重要性质： （1）自振周期(zhuq)与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。 （2）自振周期(zhuq)与质量的平方根成正比，质量越大，周期(zhuq)越大（频率越小）；自振周期(zhuq)与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期(zhuq)越小（频率越

18、大）；要改变结构的自振周期(zhuq)，只有从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期(zhuq)相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期(zhuq)相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。第34页/共107页第三十五页，共108页。例1、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较(bjio)三者的自振频率。解：1）求EIl4831EIl768732EIl19233311481mlEIm32277681mlEIm3331921mlEIm据此可得：1? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2 结构约束越

19、强,其刚度(n d)越大,刚度(n d)越大,其自振动频率也越大。第35页/共107页第三十六页，共108页。例2、计算(j sun)图示结构的水平和竖向振动频率。HHm1VVm1例3、计算(j sun)图示刚架的振动频率。 由截面平衡324hEIk 324mhEImk第36页/共107页第三十七页，共108页。例4、求图示结构(jigu)的自振圆频率。解法(ji f)1：求 k=1/hMBA=kh = MBClhEIlEI33lmhEImk2323lhEIk 解法2：求EIlhhlhEI33221221131mlhEIm第37页/共107页第三十八页，共108页。例5、求图示结构(jigu)

20、的自振频率。解：求 k3113lEIkkmkmklEI3311对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向(fngxing)发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为刚架)计算刚度系数方便。312lEI一端铰结的杆的侧移刚度为：33lEI两端刚结的杆的侧移刚度为：第38页/共107页第三十九页，共108页。简谐自由(zyu)振动的特性由式)sin()(tAty可得，加速度为：)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtI 惯性力为： 在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻(shk)均达极值，而

21、且惯性力的方向与位移的方向一致。 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。第39页/共107页第四十页，共108页。例6. 计算图示体系(tx)的自振频率。 解：单自由度体系， 以表示(biosh)位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：221211lmAmIlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllmmk第40页/共107页第四十一页，共108页。阻尼对自由(zyu)振动的影响 实验(shyn)

22、证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：1、阻尼的存在忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。第41页/共107页第四十二页，共108页。阻尼对自由(zyu)振动的影响 事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。 非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为

23、了进一步了解(lioji)结构的振动规律，就要研究阻尼。关于阻尼，有两种定义或理解：1）使振动衰减的作用；2）使能量耗散。第42页/共107页第四十三页，共108页。阻尼对自由(zyu)振动的影响2、在建筑物中产生阻尼、耗散(ho sn)能量的因素1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散， 振动波在土壤中传播而耗散能量；3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。3、阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系： 1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。 2）与质点速度平方成

24、正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。 3）与质点速度无关（如摩擦力）。*粘滞阻尼理论非弹性力与变形速度成正比：*滞变阻尼理论yctR)(其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。第43页/共107页第四十四页，共108页。有阻尼体系的自由(zyu)振动方程有阻尼的自由振动(zhndng)，动平衡方程：0kyycym mk( 阻尼比）令mc2022yyy 第44页/共107页第四十五页，共108页。有阻尼(zn)体系自由振动微分方程的解022yyy 设解为：特征方程为：tCety)(0222112221（1）低阻尼(zn)和无阻尼(zn)（2）临界阻尼(zn)（3）超阻尼(zn)0,111（不出

25、现振动，实际问题不常见。）第45页/共107页第四十六页，共108页。1)1（低阻尼(zn)）情况21rri其中（低阻尼(zn)体系的自振圆频率）得振动方程的通解：tCtCeyrrtsincos21tyytyeyrrrtsincos0000000)(;)(ytyytytt)sin(tAeyrt220020)(ryyyA)arctan(000yyyr有阻尼体系自由振动微分方程的解第46页/共107页第四十七页，共108页。1)1（低阻尼(zn)）情况)sin(tAeyrt有阻尼体系自由(zyu)振动微分方程的解第47页/共107页第四十八页，共108页。1)1（低阻尼(zn)）情况阻尼对自振频率

26、(pnl)的影响.而随,12r 当0.2，则存在0.96r/1。在工程结构问题中，若0.010.1，可近似取:TTrr ,有阻尼体系自由振动微分方程的解第48页/共107页第四十九页，共108页。1)1（低阻尼(zn)）情况阻尼对振幅的影响. 振幅Ae- t 随时间衰减，相邻(xin ln)两个振幅的比常数Tkkeyy1经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:rTkkTeyy2lnln1称为振幅的对数递减率.有阻尼体系自由振动微分方程的解第49页/共107页第五十页，共108页。1)1（低阻尼(zn)）情况阻尼(zn)对振幅的影响.11ln21ln21, 1 2 . 0kkkk

27、rryyyy则如nkkyynln21设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼比有阻尼体系自由振动微分方程的解第50页/共107页第五十一页，共108页。例7、图示一单层建筑物的计算(j sun)简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比和阻尼系数c。解：0335. 04 . 05 . 0ln21ln211kkyy1189. 45 . 122sTmNAPk/10196005. 0108 . 9430m

28、sN/33220189. 4101960355. 024第51页/共107页第五十二页，共108页。2)=1（临界阻尼）情况(qngkung)210)()(2)(2tytyty )()(21tCCetyt0000)(;)(ytyytytttyytetyt001)(有阻尼体系自由振动(zhndng)微分方程的解第52页/共107页第五十三页，共108页。2)=1（临界阻尼）情况(qngkung)21tyytetyt001)(这条曲线(qxin)仍具有衰减性，但不具有波动性。临界阻尼常数cr为=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）mkmcr22rcc阻尼比。反映阻尼情况的基本参数。有阻尼体系自由振

29、动微分方程的解第53页/共107页第五十四页，共108页。内容(nirng)回顾 无阻尼单自由度体系 自由振动方程及其解 结构(jigu)自振周期和频率 有阻尼单自由度体系 自由振动方程 低阻尼体系的解 临界阻尼体系的解第54页/共107页第五十五页，共108页。强迫振动(zhndng)方程的建立受迫振动(zhndng)（强迫振动(zhndng)）：结构在动力荷载作用下的振动(zhndng)。弹性力ky、惯性力ym 和荷载P(t)之间的平衡方程为:)(tPkyym mtPyy)(2 单自由度体系强迫振动的微分方程第55页/共107页第五十六页，共108页。强迫振动方程(fngchng)的解简谐

30、荷载mtFyysin2 tAysin特解：tmFtAsinsin)(22)(22mFAtytmFystsin)1 (1sin)1 (22222FmFyst2第56页/共107页第五十七页，共108页。强迫振动方程(fngchng)的解简谐荷载最大静位移yst（是把荷载幅值当作静荷载作用时结构(jigu)所产生的位移）。tyystsin1122特解可写为：通解可写为：tytCtCystsin11cossin2221设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：0,12221CyCst第57页/共107页第五十八页，共108页。强迫振动方程(fngchng)的解简谐荷载)sin(sin1122ttyy

31、st按自振频率(pnl)振动按荷载频率振动过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）平稳阶段：tyystsin1122最大动位移（振幅）为：22max11styy第58页/共107页第五十九页，共108页。强迫振动方程(fngchng)的解简谐荷载22max11styy动力(dngl)系数为：重要的特性：f当/0时,1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。f当0 / 1，并且随/的增大而增大。f当/ 1时,。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75 / 1时,的绝对值随/的增大而减小。当很大时，荷载变化很快

32、，结构来不及反应。第59页/共107页第六十页，共108页。强迫(qing p)振动方程的解简谐荷载 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面(jimin)的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面(jimin)的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。 例1、已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3 ,P=20kN,=80s-1 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。解：1)求kEIl212148321EIlEIlEIl192519248333第60页/共107页第六十一页，共108页。强迫振动方程(

33、fngchng)的解简谐荷载1316.13451921smlEIm2)求552. 111223)求ymax， MmaxmEIlPPy35333max1075. 51090192451020552. 11925mkNlPM.04.31420552. 141)(41max第61页/共107页第六十二页，共108页。例2、一简支梁（I28b），惯性矩I=7480cm4。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数(xsh)和最大正应力。（梁长l=4m）解：1）求自振频率和荷载频

34、率 SQlEIg13434 .57400359807480101 . 24848stgSn13 .526050014. 326022）求动力(dngl)系数和最大正应力88. 54 .573 .5211112222WlPQWPlWQl4)(44max175.6MPa第62页/共107页第六十三页，共108页。例2、一简支梁（I22b），惯性矩I=3570cm4。在跨度中点有电动机重量Q=35kN，转速n=500r/min。由于具有偏心(pinxn)，转动时产生离心力P=10kN，P的竖向分量为Psint。忽略梁的质量，试求强迫振动的动力系数和最大正应力。（梁长l=4m）35. 17 .393

35、.5211112222WlPQWPlWQl4)(44max149.2MPa 必须特别注意，这种处理方法只适用(shyng)于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况。对于干扰力不作用于质点的单自由度体系，以及多自由度体系，均不能采用这一方法。本例采用较小的截面的梁既可避免共振，又能获得较好的经济效益。第63页/共107页第六十四页，共108页。强迫(qing p)振动方程的解一般荷载一般荷载作用下的动力(dngl)反应可利用瞬时冲量的动力(dngl)反应来推导。1、瞬时冲量的动力反应瞬时冲量S引起的振动可视为由初始条件引起的自由振动。由动量定理：tPSmv00mtPmSv000ytmStysin

36、)( tmStysin)()(sintmS第64页/共107页第六十五页，共108页。强迫振动(zhndng)方程的解一般荷载2、任意(rny)荷载P(t)的动力反应时刻的微分冲量对t瞬时(t )引起的动力反应:)(sin)(tmdPdy初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移公式:dtPmtyt)(sin)(1)(0Duhamel 积分第65页/共107页第六十六页，共108页。强迫振动方程的解一般(ybn)荷载初始静止状态的单自由度体系在任意荷载(hzi)作用下的位移公式:dtPmtyt)(sin)(1)(0Duhamel 积分初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移

37、公式:dtPmtvtytyt)(sin)(1sincos)(000第66页/共107页第六十七页，共108页。几种典型荷载(hzi)的动力反应1）突加荷载(hzi) 0,0, 0)(0tPttP当当dtPmtyt)(sin)(1)(0dtPmtyt)(sin1)(00)cos1 ()cos1 (20tytmPst质点围绕静力平衡位置作简谐振动2)(maxstyty第67页/共107页第六十八页，共108页。几种(j zhn)典型荷载的动力反应2）短时荷载(hzi) ututPttP, 00,0, 0)(0阶段(0tu)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 和速度为初始条件作自由振动。)cos1 (

38、)(uyuystuyuvstsin)()(sinsin)(cos)cos1 ()(utuyutuytystst)cos)(costutyst第68页/共107页第六十九页，共108页。几种典型荷载(hzi)的动力反应2）短时荷载(hzi) 或者直接由Duhamel积分作dtPmtyu)(sin1)(00)cos)(cos20tutmP)2(sin2sin2utuyst最大动反应1）当 u T/2 最大动位移发生在阶段)cos1 ()(tytyststyy2max2第69页/共107页第七十页，共108页。几种典型荷载的动力(dngl)反应2）当u T/2 最大动位移发生(fshng)在阶段)2

39、(sin2sin2)(utuytyst2sin2maxuyyst2sin2u21, 221,sin2TuTuTu当当第70页/共107页第七十一页，共108页。几种(j zhn)典型荷载的动力反应3）线性渐增荷载(hzi) rrrttPttttPtP当当,0,)(00这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:rrrstrrstttttttytttttyty当当,)(sinsin11,sin)(第71页/共107页第七十二页，共108页。几种典型荷载(hzi)的动力反应动力系数(xsh)的反应谱如下：动力系数介于1与2之间。如果升载很短，tr4T,则接近于1,即相当于静荷载情况。常

40、取外包虚线作为设计的依据。第72页/共107页第七十三页，共108页。有阻尼强迫振动(zhndng)方程)()()()(tPtkytyctym mkmc2)(1)()(2)(2tPmtytyty 引入：单自由度有阻尼(zn)体系的强迫振动方程： tytytyPf 即自由振动的位移响应解方程右端等于零的齐次tyf 因激励荷载的类型而异解方程右端不等于零的特tyP第73页/共107页第七十四页，共108页。有阻尼强迫(qing p)振动方程的解单独(dnd)由v0引起的自由振动：tveyrrtsin0瞬时冲量ds=Pdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=Pdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：

41、tmPdteyrrtsin第74页/共107页第七十五页，共108页。有阻尼强迫(qing p)振动方程的解将荷载P(t)的加载过程(guchng)看作一系列瞬时冲量：)(sin)()(temdPdyrtr总反应dtemPtyrttr)(sin)()()(0tyvtyerrrtsincos000第75页/共107页第七十六页，共108页。几种典型(dinxng)荷载的动力反应（1）突加荷载(hzi)P0)sin(cos1 )(20ttemPtyrrrt具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=P0/m2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。第76页/共10

42、7页第七十七页，共108页。几种(j zhn)典型荷载的动力反应（2）简谐荷载(hzi)P(t)=FsinttmFyyysin22 设特解为：y=Asin t +Bcos t222222222222224)(2,4)(mFBmFA齐次解加特解得到通解：sincos21tCtCeyrrt+Asin t +Bcos t 自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。第77页/共107页第七十八页，共108页。几种(j zhn)典型荷载的动力反应（2）简谐荷载(hzi)P(t)=Fsintsincos21tCtCeyrrt+Asin t +Bcos t 结论：

43、在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。y=Asin t +Bcos t =yPsin(t )22122222222)(1)(2arctan,41stPyBAystPyy2122222241第78页/共107页第七十九页，共108页。动力(dngl)系数与频率比=/和阻尼比有关几点注意：随增大曲线渐趋平缓， 特别(tbi)是在/=1附近的 峰值下降的最为显著。当接近 时， 增加很快， 对的数值影响也很大。在0.75 / 1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。第79页/共1

44、07页第八十页，共108页。max并不发生(fshng)在共振/=1时，而发生(fshng)在， 21,11max峰但因很小，可近似(jn s)地认为：221第80页/共107页第八十一页，共108页。内容(nirng)回顾 无阻尼单自由度体系 强迫振动(zhndng)方程及其一般解 简谐荷载作用下的解 一般荷载作用下的解 有阻尼单自由度体系 强迫振动(zhndng)方程及其一般解 简谐荷载作用下的解第81页/共107页第八十二页，共108页。自由振动(zhndng)方程的建立1、 刚度(n d)法K1和K2是质点m1和m2与结构之间的相互作用力第82页/共107页第八十三页，共108页。自由

45、(zyu)振动方程的建立1、 刚度(n d)法0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 两自由度体系自由振动(zhndng)微分方程结构所受的力K1、K2与结构的位移y1、y2之间应该满足刚度方程第83页/共107页第八十四页，共108页。自由振动(zhndng)方程的解0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym 设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty2121)()(YYtyty=常数(chngsh)1）在振动过程中，两个质点具有相同(xin tn)的频率和相同(x

46、in tn)的相位角；2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但其比值始终保持不变。振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。第84页/共107页第八十五页，共108页。0)(0)(2222212121211211YmkYkYkYmk当然(dngrn) Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令0)()(222221121211mkkkmkD特征方程频率(pnl)方程0)(211222221211kkmkmk自由(zyu)振动方程的解第85页/共107页第八十六页，共108页。0)(211222221211kkmkmk212112221122221112221

47、1122121mmkkkkmkmkmkmk1最小圆频率称为第一(dy)(基本)圆频率；2第二(d r)圆频率（1）主振型112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY第一(dy)振型/基本振型第二振型自由振动方程的解第86页/共107页第八十七页，共108页。112111122111CmkkYY212211122212CmkkYY多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持不变，此时(c sh)，多自由度体系实际上是像 一 个 单 自 由 度 体 系 在 振 动 。（2）按主振型振动(zhndng)的条件：初位移或初速度与此振型相对应；自由(zyu)振动方程的

48、解第87页/共107页第八十八页，共108页。（3）一般(ybn)振动)sin()sin()()sin()sin()(2222211212222122111111tYAtYAtytYAtYAty两自由度体系自由振动(zhndng)是两种频率及其主振型的组合振动(zhndng)多自由(zyu)度体系自由(zyu)振动的振型分解例：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2 ，试求刚架水平振动时的自由振动频率和主振型。自由振动方程的解第88页/共107页第八十九页，共108页。解：（1）求频率方程(fngchng)中的刚度系数k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2（2

49、）求频率(pnl)0)(222221221kmkmkk0)(211222221211kkmkmk自由振动(zhndng)方程的解第89页/共107页第九十页，共108页。mkmk61803. 238197. 02221mkmk61803. 161803. 021若有kkkmmm2121（3）求主振型618. 1138197. 02:121111221111kkkmkkYY618. 0161803. 22:22122kkkYY自由(zyu)振动方程的解第90页/共107页第九十一页，共108页。22222114)12(21mknnn若有2121knknmm0)() 1(22222222kmknm

50、kn（3）求主振型221221211211:mkkYY4121n222221212222:mkkYY4121n若 n=90则第一(dy)振型和第二振型分别为：11019可见当顶端质点的质量和刚度(n d)很小时，顶端水平侧移很大。自由振动(zhndng)方程的解第91页/共107页第九十二页，共108页。自由(zyu)振动方程的解（1）多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型；（2）多自由度体系自振频率的个数与自由度个数相等，自振频率可由特征方程求出；（3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式；（4）多自

51、由度体系的自振频率和主振型是体系本身的固有性质，只有体系本身的刚度和质量(zhling)分布有关，而与外荷载无关。第92页/共107页第九十三页，共108页。2、 柔度法在自由振动(zhndng)过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。两自由(zyu)度体系自由(zyu)振动微分方程自由(zyu)振动方程的解第93页/共107页第九十四页，共108页。设解为)sin()()sin()(2211tYtytYty此时(c sh)惯性力)sin()()sin()(2222212111tYmtymtYmtym 幅值222112YmYm122

52、22111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY主振型的位移(wiy)幅值等于主振型惯性力幅值作用下产生的静力位移(wiy)。自由振动(zhndng)方程的解第94页/共107页第九十五页，共108页。12222111121)()(YmYmY22222211122)()(YmYmY0)1(0)1(222221121221212111YmYmYmYm 当然( d n g r n ) 解 Y 1 = Y 2 = 0 ，为了求得不全为零的解，令01122221212122111mmmmD令21自由振动(zhndng)方程的解第95页/共107页第九十六页，共108页。0)(

53、)(2121122122112221112mmmmmm2121122211222211122211121)(4)()(21mmmmmm221111主振型22111212221221111212211111mmYYmmYY自由(zyu)振动方程的解第96页/共107页第九十七页，共108页。解：（1）计算(j sun)频率EIaEIaEIa6,4,32232112311（2）计算(j sun)振型61. 31277. 0122122111YYYY3231203. 3967. 0maEImaEI自由振动(zhndng)方程的解第97页/共107页第九十八页，共108页。主振型及主振型的正交性由功的

54、互等定理(dngl)：2122222111222122212121211211)()()()(YYmYYmYYmYYm整理(zhngl)得：0)(22212121112221YYmYYm21因 ，则存在：第98页/共107页第九十九页，共108页。主振型及主振型的正交性)51.15(02221212111YYmYYm两个主振型相互正交，因与质量有关，称为(chn wi)第一正交关系。上式分别(fnbi)乘以12、22，则得：0)()(0)()(2122222111222122212121211211YYmYYmYYmYYm第一主振型惯性力在第二(d r)主振型位移上所做的功等于零；第二(d r

55、)主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零。某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动。第99页/共107页第一百页，共108页。简谐荷载下的强迫(qing p)振动0)()()(0)()()(2221212221211111tyktyktymtyktyktym )()(21tPtPtPtPtPtPsin)(sin)(2211如在平稳(pngwn)阶段，各质点也作简谐振动：tYtytYtysin)(sin)(2211第100页/共107页第一百零一页，共108页。简谐荷载(hzi)下的强迫振动222222121121211211)()

56、(PYmkYkPYkYmk2222211212110mkkkmkD212222211PkmkPD121121122PkmkPD0222221121211mkkkmkD如果荷载频率与任一个自振频率1、 2重合，则D0=0, 当D1、D2不全为零时，则出现共振(gngzhn)现象。第101页/共107页第一百零二页，共108页。简谐荷载(hzi)下的强迫振动例：质量(zhling)集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2 , k21=k2 ,k22=k2 , k12=k2021222221011DPkmkPDDY02DPk0

57、222)(DmkP012112112022)(DPkmkPDDY2222212210kmkmkkD第102页/共107页第一百零三页，共108页。简谐荷载(hzi)下的强迫振动当m1=m2=m，k1=k2=k021222221011DPkmkPDDY02DmkP012112112022DPkmkPDDY0DPk22202kmkmkD第103页/共107页第一百零四页，共108页。简谐荷载下的强迫(qing p)振动tymymytymymyppsin)()(sin)()(22222211121122211111 pp21 、为荷载幅值在质点(zhdin)1、2处产生的静力位移在平稳阶段，各质点也

58、作简谐振动：tYtytYtysin)(sin)(2211第104页/共107页第一百零五页，共108页。简谐荷载下的强迫(qing p)振动) 1() 1(22222121122211210mmmmD) 1(22222122211mmDppppmmD22122111212) 1(在求得位移幅值后，因为位移、惯性力、动荷载同时到达幅值，动内力(nil)也在振幅位置达到幅值。因此，动内力(nil)幅值可以在各质点的惯性力幅值以及动荷载幅值共同作用下按静力分析方法求得。pMIMIMtM2211max)(第105页/共107页第一百零六页，共108页。思考题：（1）为什么说自振周期是结构的固有性质？它与哪些固有量有关？（2）为了计算自由振动时质点在任意时刻的位移(wiy)，除了要知道质点的初始位移(wiy)和初始速度之外，还想要知道些什么？（3）如果阻尼值变大，振动的周期将如何变化？第106页/共107页第一百零七页，共108页。感谢您的观看(gunkn)。第107页/共107页第一百零八页，共108页。