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1、高三数学指数函数、对数函数与幂函数苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：指数函数、对数函数与幂函数教学目标：1、理解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点。2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的图象、单调性与特殊点。3、了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3， 了解幂函数的图象变化情况。4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。教学重点：指、对数函数的图解与性质。教学难点：指、对数函数的性质的
2、运用。二. 知识点归纳1. 根式的运算性质：当n为任意正整数时，（）n=a当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=。根式的基本性质：，（a0）。2. 分数指数幂的运算性质： 3. 的图象和性质：a10a0时，y1，当x0时，0y0时，0y1当x1（6）x轴为渐近线4. 指数式与对数式的互化：。5. 重要公式：，。对数恒等式。6. 对数的运算法则如果，有7. 对数换底公式： （ a 0 ，a 1 ，m 0 ，m 1，N0）。8. 两个常用的推论：，。（ a，b 0且均不为1）。9. 对数函数的性质：a10a0（转化法）（3）af（x）=bg（x）f（x）logma=g（x）logmb（取对数
3、法）（4）logaf（x）=logbg（x）logaf（x）=logag（x）/logab（换底法）12. 指数不等式与对数不等式的类型：（1）af（x）b讨论a是否大于1（2）af（x）ag（x） ）讨论a是否大于1。（3）af（x）bg（x）f（x）logmag（x）logmb（取对数法m1）（4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）logag（x）/logab（换底法）13. y=xa（其中a为常数），当a0时图象过点（0，0）与（1，1）；在上是增函数当a0时，图象过点（1，1），在上是减函数。【典型例题】例1 计算：（1）；（2）；（3）。解：（1）原式 （2）原式 （3
4、）原式 例2 已知，求的值。解：， ， 又， 例3 已知，且，求的值。 解：由得：，即，；同理可得，由 得 ，例4 设，且，求的最小值。解：令 ， 由得，即，当时，例5 设、为正数，且满足。 （1）求证： （2）若，求、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，从而 例6 （1）若，则，从小到大依次为 ； （2）若，且，都是正数，则，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. （4）（全国2理4）以下四个数中的最大者是（A） （ln2）2（B） ln（ln2）（C） ln（D） ln2（5）（山东理4） 设，则使函数
5、的定义域为R且为奇函数的所有a值为（A） （B） （C） （D） 解：（1）由得，故 （2）令，则， ，；同理可得：，（3）取，知选（4） ， ln（ln2）0，（ln2）2 ln2，而ln=ln2ln2， 最大的数是ln2，选D。（5）答案：A 分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。例7 已知函数f（x），g（x），（1）证明f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间。（2）分别计算f（4）5f（2）g（2），f（9）5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明。解：（1）f（x）的定义域为（，0）（0，）关于
6、原点对称。又f（x）= =f（x），f（x）为奇函数。设0x1x2，则f（x1）f（x2），f（x）为（0，）增函数，又为奇函数，单调增区间为（，0），（0，）（2）计算得f（4）5f（2）g（2）0，f（9）5f（3）g（3）0由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f（x2）5f（x）g（x）0证明如下：说明：问题的结论是开放的，要我们去探求，利用从特殊到一般的方法得到结论，当然还要证明所得的结论是否正确。这是我们探求新问题常用的方法之一。例8 已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根。证明：（1）设，则，；，且，即，函数在上为增函数；另法：，函数在上为增函数；（2）假设
7、是方程的负数根，且，则，即， 当时，而由知 式不成立；当时，而式不成立综上所述，方程没有负数根例9已知函数（且）求证：（1）函数的图象在轴的一侧； （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于。证明：（1）由得：，当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧函数的图象在轴的一侧；（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，当时，由（1）知，又，；当时，由（1）知，又，函数图象上任意两点连线的斜率都大于【模拟试题】1. 已知集合，若，则，则运算可能是（ ）（A）加法 （B）减法 （C） 除法 （D）乘法2. 已知集合，则满足条件的映射的个数
8、是 （ ）（A）2 （B）4 （C）5 （D）73. 某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天（0时24时）体温的变化情况的图是 （ ）4. 定义两种运算：，则函数为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数5. 偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 （ ）（A）（B）（C）（D）6. 如图，指出函数y=ax;y=bx;y=cx;y=dx的图象，则a，b，c，d的大小关系是Aab1cdBba1dcC. 1abcdDab1dlog
9、y30，则下列不等式恒成立的是 （）Ay1/3 B3xy C. 31y 8已知函数f（x）=lg（axbx）（a，b为常数，a1b0），若x （1，+）时，f（x）0恒成立，则（）Aab1 Bab1 Cab1 Da=b+19如图是对数函数y=logax的图象，已知a取值，4/3，3/5，1/10，则相应于，的a值依次是 10. 已知y=loga（2ax）在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是 11. 已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C。试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_12. 设函数f（x）=lg，其中aR，如果当x（，1）时，f（x）有意
10、义，求a的取值范围。13. a为何值时，关于x的方程2lgxlg（x1）=lga无解？有一解？有两解？14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？15. 已知定义域为0，1的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x0，1，总有f（x）0；（2）f（1）=1（3）若，则有（）试求f（0）的值；（）试求函数f（x）的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x
11、，都有f（x）2x。16. 设、为常数，：把平面上任意一点（，）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？参考答案1. D2. D3. C4. A5. D6B 7D 8A9. ，4/3，3/5，1/10， 10. （1，2）11. ，（）12. a3/413. 0a4时，方程有两解14. 3.75，600，450 15. （I）令，依条件（3）可得f（0+0） f（0）+f（0），即f（0）0又由条件（1）得f（0） 0，则f（0）=0（）任取，可知
12、，则，即，故于是当0x1时，有f（x）f（1）=1因此，当x=1时，f（x）有最大值为1，（）证明：研究当时，f（x）12x当时，首先，f（2x） f（x）+f（x）=2f（x），显然，当时，成立假设当时，有成立，其中k1，2，那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，而对于任意，存在正整数n，使得，此时，当x=0时，f（0）=02x综上可知，满足条件的函数f（x），对x0，1，总有f（x） 2x成立16. （1）假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同一函数（2）当时，可得常数a0，b0，使由于为常数，设是常数从而（3）设，由此得（，）在映射F下，的原象是（m，n），则M1的原象是消去t得，即在映射F下，M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆
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