空间中的垂直问题练习题(答案)

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1、空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题1给出下列三个命题：“直线、为异面直线”的充分非必要条件是“直线、不相交”；“直线垂直于直线”的充分非必要条件是“直线垂直直线在平面内的射影”；“直线垂直平面” 的必要非充分条件是“直线垂直于平面内的无数条直线”其中所有真命题的序号是 2如图，正方形ABCD，P是正方形平面外的一点，且PA平面ABCD则在PAB、PBC、PCD、PAD、PAC及PBD中，为直角三角形有_5_个3在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD平面PCD 4已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，且

2、的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：点在侧面上的射影是的垂心；三棱锥是一个正三棱锥；三棱锥的体积有最大值；三棱锥的体积有最小值.其中正确命题的序号为 .5如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b都垂直；（3）过P一定可作平面与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有_（2）_6给出下列命题：分别和两条异面直线ABCD同时相交的两条直线ACBD一定是异面直线同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行斜线b在面内的射影为c，直线ac，则ab有三个角为直角的四

3、边形是矩形，其中真命题是 7点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 8正四面体ABCD的棱长为1，棱AB/平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成图形面积的取值范围是 9直二面角的棱上有一点A，在平面、内各有一条射线AB，AC与成450，AB，则BAC= （或，两种情形）10.四棱锥的底面是矩形，面，为 的中点，为上一点，且面，则 .11已知边长为的正，点分别在边上，且，以为折痕，把折起至，使点在平面上的射影始终落在边上，记，则的取值范围为 【答案】【解析】设到的距离为，则与间距离为，的面积为 的取值范围为12三棱锥中，

4、点在内，且，则的度数是_13.如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最PABDC大值是 。【答案】14如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，且，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是 12 .二、解答题15 如图，正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，平面，且 （1）求证：平面；（2）求证：平面平面； 证明：（1）正方形ABCD中，又平面CDE， 平面CDE， 所以平面CDE （2）因为，且， 所以， 又 且， 所以， 又， 所以16.如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，ECCA2BD，M是EA的中点求证：（1）平面BD

5、M平面ECA（2）平面DEA平面ECA17.如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，(1)设是上的一点，证明：平面平面；ABCMPD(2)求四棱锥的体积(1) 证明：在中，由于，所以故又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面(2) 解：过作交于，由于平面平面，所以平面因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形因此在底面四边形中，所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高，所以四边形的面积为18.如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD，ABC=600，E是BC的中点如图2，将ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，

6、P是棱BC的中点(1)求证：AEBD； (2)求证：平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC?并说明理由ABCDE图1ABCDEFP图2证明：(1)连接，取中点，连接在等腰梯形中，AB=AD，E是BC的中点，与都是等边三角形 平面，平面平面，(2)连接交于点，连接，且，四边形是平行四边形。N是线段的中点。P是线段的中点， 平面 平面(3)与平面不垂直假设平面，则平面，平面，平面 ，这与矛盾与平面不垂直ABCC1B1A1FDEM19.如图，三棱柱中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱上，已知.(1)求证:平面ADF;(2)若点M在棱上，当为何值时，平面平面ADF?分析：（

7、1）要证明,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.要在平面中找到与平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过的平面与平面的交线,这里注意为的重心，（）,再利用比例关系证明从而证明结论.ABCC1B1A1FDEOM.取中点,可通过证明面,证明解：（1）连接交于，连接 因为CE，AD为ABC中线，所以O为ABC的重心，从而OF/C1E OF面ADF，平面，所以平面 （2）当BM=1时，平面平面 在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC 由于AB=AC，是中点，所以又平面B1BCC1平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC1 而CM平面B1BCC1

8、，于是ADCM 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以，所以CMDF DF与AD相交，所以CM平面 CM平面CAM，所以平面平面 当BM=1时，平面平面20已知正三角形所在的平面与直角梯形垂直，且NPCBADHM（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）在线段上是否存在一点，使得平面20【解析】（1）（2）由 即（或过作的垂线，求垂线段的长）（3）假设上存在点，使得平面.在平面内过点作交于,连接,则 又， 所以平面是平行四边形 ，所以 ，这与矛盾，所以假设不成立，即在线段上不存在一点，使得平面.21.如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD证明：连结MO，DB

9、，DBAC， DB平面，而平面 DB 设正方体棱长为，则， 在Rt中， OMDB=O， 平面MBD评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明22.如图2，是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC求证：BC平面PAC 证明：在平面PAC内作ADPC交PC于D因为平面PAC平面PBC，且两平面交于PC，平面PAC，且ADPC， 由面面垂直的性质，得AD平面PBC 又平面PBC，ADBC PA平面ABC，平面ABC，PABC ADPA=A，BC平面PAC 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，

10、使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明23.如图所示，ABCD为正方形，平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于求证：，证明：平面ABCD，平面SAB又平面SAB，平面AEFG，平面SBC同理可证评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂

11、直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化24.如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ， 又，平面CDF 平面CDF， 又， 平面ABE， ， 平面BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论25如图，是圆的直径，是圆周上一点，平面ABC若AEPC ，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC证明：AB是圆的直径，平面ABC，平面ABC，平面

12、APC平面PBC，平面APC平面PBCAEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC平面AEF，平面AEF平面PBC评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系26.如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ANBC; SC平面ANM分析:要证ANBC, 转证, BC平面SAB。 要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。证明: SA平面AB

13、CSABC又BCAB, 且ABSA = ABC平面SABAN平面SABANBC ANBC, ANSB, 且SBBC = BAN平面SBCSCC平面SBCANSC又AMSC, 且AMAN = ASC平面ANM27.在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC（1）求证：ABBC；（1）【证明】作AHSB于H，平面SAB平面SBC平面SAB平面SBC=SB，AH平面SBC，又SA平面ABC，SABC，而SA在平面SBC上的射影为SB，BCSB，又SASB=S，BC平面SABBCAB28.如图941，PA平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点（1

14、）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND平面PCD（1）【解】PA平面ABCD，CDAD，PDCD，故PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在RtPAD中，PA=AD，PDA=45（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，四边形ENMA是平行四边形，EAMNAEPD，AECD，AE平面PCD，从而MN平面PCD，MN平面MND，平面MND平面PCD【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN平面PCD较困难，转化为证明AE平面PCD就较简单了另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围29.

15、正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点（1）求证：平面MNF平面ENF（2）求二面角MEFN的平面角的正切值（1）【证明】M、N、E是中点，即MNEN，又NF平面A1C1，MNNF，从而MN平面ENFMN 平面MNF，平面MNF平面ENF（2）【解】过N作NHEF于H，连结MHMN平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，由三垂线定理得MHEF，MHN是二面角MEFN的平面角在RtMNH中，求得MN=a，NH=a，tanMHN=，即二面角MEFN的平面角的正切值为30.，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为A

16、B的中点，且PA=AB（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离（1）【证明】PA平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，又四边形ABCD为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面PAD，PDA为二面角PCDB的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=45，取RtPAD斜边PD的中点F，则AFPD，AF 面PAD CDAF，又PDCD=DAF平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF CD又AE CD，GF AE四边形AGEF为平行四边形AFEG，EG平面PDC又EG 平面PEC，平面PEC平面PCD（2）【解】由（1）知AF平面PEC，平面PCD平面P

17、EC，过F作FHPC于H，则FH平面PECFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离在PFH与 PCD中，P为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCD，设AD=2，PF=，PC=，FH=A到平面PEC的距离为31如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径BCAC；又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC 平面PBC，平面PAC平面PBC（2）【解】平面PAC平面A

18、BCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD32ABCABC是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB，CC上的一点，BDa，ECa（1）求证：平面ADE平面ACCA；（2）求截面ADE的面积（1）【证明】分别取AC、AC的中点M、N，连结MN，则MNAABB，B、M、N、B共面，M为AC中点，BC=BA，BMAC，又BMAA且AAAC=ABM平面AACC设MN交AE于P，CEAC，PNNA又DBa，PNBDPNBD， PNBD是矩形，于是PDBN，BNBM，PDBMBM平面ACCA，PD平面ACCA，而PD平面ADE，平面ADE平面ACCA（2）【解】PD平面ACCA，PDAE，而PDBMa，AEaSADEAEPD4