第7章---方差分析PPT课件

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1、ANOVA研究的目的？第1页/共90页 方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，又称“变异数分析”，是R. A. Fisher发明的，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。第2页/共90页 为纪念Fisher，方差分析又称 F 检验( (F Test)。用于推断多个总体均数有无差异 第3页/共90页 方差分析：用于多组均数 之间的显著性检验。 要求：各组观察值服从正态分布或近似正态分布，并且各组之间的方差具有齐性。第4页/共90页 把所有观察值之间的变异分解为几个部分。把描写观察值之间的变异的离均差平方和分解为某些因素的离均差平方和及随机抽样误差的离均差平方

2、和，进而计算其相应的均方差，构成F统计量。基本思想第5页/共90页 由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动原因可分成两类： 一类是不可控的随机因素， 另一类是研究中施加的对结果形成影响的可控因素第6页/共90页7.1 7.1 方差分析引论方差分析引论 7.2 7.2 单因素方差分析单因素方差分析7.3 7.3 双因素方差分析双因素方差分析学习内容学习内容第7页/共90页学习目标学习目标1. 解释方差分析的概念解释方差分析的概念2. 解释方差分析的基本思想和原理解释方差分析的基本思想和原理3. 掌握单因素方差分析的方法及应用掌握单因素方差分析的方法及应用4. 理解多重比较的意义理

3、解多重比较的意义5. 掌握双因素方差分析的方法及应用掌握双因素方差分析的方法及应用6. 掌握试验设计的基本原理和方法掌握试验设计的基本原理和方法第8页/共90页7.1 7.1 方差分析引论方差分析引论方差分析及其有关术语方差分析及其有关术语方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理方差分析的基本假定方差分析的基本假定问题的一般提法问题的一般提法第9页/共90页为什么不做两两比较？为什么不做两两比较？1.1.设有四个总体的均值分别为设有四个总体的均值分别为m m1 1 、 m m2 2、m m3 3 、 m m4 4 ，要检验四个总体的均值是否相等，每次检验两个要检验四个总体的均值是否相等

4、，每次检验两个的作法共需要进行的作法共需要进行6 6次不同的检验，每次检验犯第次不同的检验，每次检验犯第一类错误的概率为一类错误的概率为 ，连续作，连续作6 6次检验犯第次检验犯第类错类错误的概率增加到误的概率增加到1-(1-1-(1- ) )6 6=0.265=0.265，大于大于0.050.05。相。相应的置信水平会降低到应的置信水平会降低到0.950.956 6=0.735=0.7352.2.一般来说，随着增加个体显著性检验的次数，偶一般来说，随着增加个体显著性检验的次数，偶然因素导致差别的可能性也会增加，然因素导致差别的可能性也会增加，( (并非均值真并非均值真的存在差别的存在差别)

5、)3.3.方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排方差分析方法则是同时考虑所有的样本，因此排除了错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的除了错误累积的概率，从而避免拒绝一个真实的原假设原假设第10页/共90页方差分析及其有关术语方差分析及其有关术语第11页/共90页什么是方差分析什么是方差分析(ANOVA)?(ANOVA)?(analysis of variance)(analysis of variance) 1. 检验多个总体均值是否相等检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个

6、分类型自变量两个或多个 (k 个) 处理水平或分类一个数值型因变量3. 有单因素方差分析和双因素方差分析有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个分类的自变量双因素方差分析：涉及两个分类的自变量第12页/共90页什么是方差分析什么是方差分析? ? ( (例题分析例题分析) )消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业行业观测值观测值零售业零售业旅游业旅游业航空公司航空公司家电制造业家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758第13页/共90页什么是方差分析什么是方差分析? ? ( (例题分析例

7、题分析) )1.1. 分析分析4 4个行业之间的服务质量是否有显著个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断差异，也就是要判断“行业行业”对对“投诉次投诉次数数”是否有显著影响是否有显著影响2.2. 作出这种判断最终被归结为检验这四个行作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等业被投诉次数的均值是否相等3.3. 若它们的均值相等，则意味着若它们的均值相等，则意味着“行业行业”对对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着则意味着“行业行业”对投诉次数是有影响的

8、，对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异它们之间的服务质量有显著差异第14页/共90页方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1.1. 因素或因子因素或因子(factor)(factor)所要检验的对象分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因子2.2.水平或处理水平或处理( (treatment)treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业3.观察值观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数第15页/共90页方差分析中的有关术语方差分析中的有关术语1. 试验试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的试验2. 总体总体因素的每一个水平可以

9、看作是一个总体零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个总体3.样本数据样本数据被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样本数据第16页/共90页方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理第17页/共90页方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (图形分析图形分析散点图散点图) )不同行业被投诉次数的散点图不同行业被投诉次数的散点图020406080012345行业被投诉次数 零售业 旅游业 航空公司 家电制造第18页/共90页1. 从散点图上可以看出从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数有明显差异同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被

10、投诉的次数较低2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (图形分析图形分析) )第19页/共90页1. 散点图观察不能提供充分的证据证明不同散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异可能是由于抽样的随机性造成的2. 需要有更准确的方法来检验这种差异是否需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，

11、因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理第20页/共90页方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (两类误差两类误差) )1.随机误差随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 2.系统误差系统误差因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异

12、可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差第21页/共90页方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (误差平方和误差平方和SS)SS)1.1. 数据的误差用平方和数据的误差用平方和( (sum of squaressum of squares) )表示表示2.2. 组内平方和组内平方和(within groups)(within groups)因素的同一水平下数据误差的平方和比如，零售业被投诉次数的误差平方和只包含随机误差3.3. 组间平方和组间平方和(between groups)(between groups

13、)因素的不同水平之间数据误差的平方和比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和既包括随机误差，也包括系统误差第22页/共90页方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (均方均方MS)MS)1.1. 平方和除以相应的自由度平方和除以相应的自由度2.2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就应该很接近，它们的比值就会接近该很接近，它们的比值就会接近1 13.3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它若原假设不成立，组间均方会大于组内均方，它们之间的比值就会大于们之间的比值就会大于1 14.4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平

14、当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响之间存在着显著差异，即自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响第23页/共90页方差分析的基本假定方差分析的基本假定第24页/共90页方差分析的基本假定方差分析的基本假定1. 每个总体都应服从正态分布每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布2. 各个总体的方差必须相同各个总体的方差必须相同各组观

15、察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，4个行业被投诉次数的方差都相等3. 观察值是独立的观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立第25页/共90页方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定1.1. 在上述假定条件下，判断行业对投诉次数在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的同方差的4 4个正态总体的均值是否相等个正态总体的均值是否相等2.2. 如果如果4 4个总体的均值相等，可以期望个总体的均值相等，可以期望4 4个样个样本的均值也会很接近本的均值也会很接近4个样本的均值越接近，推断4个总体

16、均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分 第26页/共90页方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定 如果原假设成立，即如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m44个行业被投诉次数的均值都相等意味着每个样本都来自均值为m、方差为 2的同一正态总体 第27页/共90页方差分析中的基本假定方差分析中的基本假定若备择假设成立，即若备择假设成立，即H1 ： mi (i=1,2,3,4)不全相等不全相等至少有一个总体的均值是不同的4个样本分别来自均值不同的4个正态总体 第28页/共90页问题的一般提法问题的一般提法第29页/共90页问题的一般提法问题的一

17、般提法1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用m m1 , m m2, , m mk 表示2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设： H0 ： m m1 m m2 m mk H1 ： m m1 , m m2 , ，m mk 不全相等3. 设m m1为零售业被投诉次数的均值，m m2为旅游业被投诉次数的均值，m m3为航空公司被投诉次数的均值，m m4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0 ： m m1 m m2 m m3 m m4 H1 ： m m1 , m m2 , m m3 , m m4 不全相等第30页/共90页7.2 7.2 单因素方差分析单因素方差分析

18、数据结构数据结构分析步骤分析步骤关系强度的测量关系强度的测量方差分析中的多重比较方差分析中的多重比较第31页/共90页单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构(one-way analysis of variance)(one-way analysis of variance) 观察值观察值 ( j )因素因素(A) i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x21 xk1 x12 x22 xk2 : : : : : : : : x1nx2n xkn第32页/共90页第33页/共90页提出假设提出假设1. 一般提法一般提法H0 ：m1 = m2 = mk 自变量对因

19、变量没有显著影响 H1 ：m1 ，m2 ， ，mk不全相等自变量对因变量有显著影响 2.2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等都不相等 第34页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量构造统计量需要计算构造统计量需要计算水平的均值水平的均值全部观察值的总均值全部观察值的总均值误差平方和误差平方和均方均方( (MSMS) ) 第35页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算水平的均值计算水平的均值) )1.1. 假定从第假定从第i i个总体中抽取一个容量为个总体中

20、抽取一个容量为n ni i的的简单随机样本，第简单随机样本，第i i个总体的样本均值为个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个该样本的全部观察值总和除以观察值的个数数2.2. 计算公式为计算公式为 第36页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算全部观察值的总均值计算全部观察值的总均值) )1.1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数全部观察值的总和除以观察值的总个数2.2. 计算公式为计算公式为 第37页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (例题分析例题分析) )第38页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算总误差平方和计算总误差平方和 SS

21、TSST) )1.1. 全部观察值全部观察值 与总平均值与总平均值 的离差平方的离差平方和和2.2. 反映全部观察值的离散状况反映全部观察值的离散状况3.3. 其计算公式为其计算公式为第39页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算组间平方和计算组间平方和 SSASSA) )1.1. 各组平均值各组平均值 与总平均值与总平均值 的离差平方和的离差平方和2.2. 反映各总体的样本均值之间的差异程度反映各总体的样本均值之间的差异程度3.3. 该平方和既包括随机误差，也包括系统误该平方和既包括随机误差，也包括系统误差差4.4. 计算公式为计算公式为 第40页/共90页构造检验的统计量构造

22、检验的统计量( (计算组内平方和计算组内平方和 SSE SSE ) )1.1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和的离差平方和2.2. 反映每个样本各观察值的离散状况反映每个样本各观察值的离散状况3.3. 该平方和反映的是随机误差的大小该平方和反映的是随机误差的大小4.4. 计算公式为计算公式为 第41页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (三个平方和的关系三个平方和的关系) )总离差平方和总离差平方和( (SSTSST) )、误差项离差平方和、误差项离差平方和( (SSESSE) )、水平项离差平方和、水平项离差平方和 ( (SSA

23、SSA) ) 之间的之间的关系关系第42页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算均方计算均方MSMS) )1. 各误差平方和的大小与观察值的多少有关，各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是响，需要将其平均，这就是均方均方，也称为，也称为方差方差2. 由误差平方和除以相应的自由度求得由误差平方和除以相应的自由度求得3. 三个平方和对应的自由度分别是三个平方和对应的自由度分别是SST 的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数SSE 的

24、自由度为n-k第43页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算均方计算均方 MSMS) )1.1. 组间方差：组间方差：SSA的均方，记为MSA，计算公式为第44页/共90页构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算检验统计量计算检验统计量 F F ) )1.1. 将将MSAMSA和和MSEMSE进行对比，即得到所需要的进行对比，即得到所需要的检验统计量检验统计量F F2.2. 当当H H0 0为真时，二者的比值服从分子自由度为真时，二者的比值服从分子自由度为为k k-1-1、分母自由度为、分母自由度为 n n- -k k 的的 F F 分布，分布，即即 第45页/共90页构造检验

25、的统计量构造检验的统计量( (F F分布与拒绝域分布与拒绝域) )第46页/共90页统计决策统计决策 将统计量的值将统计量的值F F与给定的显著性水平与给定的显著性水平 的的临界值临界值F F 进行比较，作出对原假设进行比较，作出对原假设H H0 0的的决策决策根据给定的显著性水平，在F分布表中查找与第一自由度df1k-1、第二自由度df2=n-k 相应的临界值 F 若FF ，则拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素对观察值有显著影响若FF ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间的差异是显著的，即所检验的行因素对观察值有显著影响若FC F ，拒绝原假设H0 ，表明均值之间有显著差

26、异，即所检验的列因素对观察值有显著影响 第75页/共90页双因素方差分析表双因素方差分析表( (基本结构基本结构) )误差来误差来源源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值行因素行因素SSRk-1MSRMSRMSE列因素列因素SSCr-1MSCMSCMSE误差误差SSE(k-1)(r-1)MSE总和总和SSTkr-1第76页/共90页双因素方差分析双因素方差分析( (例题分析例题分析) )提出假设提出假设对品牌因素提出的假设为H0：m1=m2=m3=m4 (品牌对销售量无显著影响）H1：mi (i =1,2, , 4) 不全相等 (有显著影响)对地区

27、因素提出的假设为H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响)H1：mj (j =1,2,5) 不全相等 (有显著影响)第77页/共90页双因素方差分析双因素方差分析( (例题分析例题分析) )差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit 行行(品牌品牌)13004.634334.8518.10789.46E-053.4903 列列(地区地区)2011.74502.9252.100850.143673.2592 误差误差2872.712239.392 总和总和1788919第78页/共90页双因素方差分析双因素方差分析( (关系强度的测量关系强度的测量) )1.行平方和

28、(SSR)度量了品牌这个自变量对因变量(销售量)的影响效应2.列平方和(SSC)度量了地区这个自变量对因变量(销售量)的影响效应3.这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应4.联合效应与总平方和的比值定义为R25.其平方根R反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度 第79页/共90页双因素方差分析双因素方差分析( (关系强度的测量关系强度的测量) )例题分析例题分析品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的83.94%其他因素(残差变量)只解释了销售量差异的16.06%R=0.9162，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有较强的关系 第80页/共90页有交互作用

29、的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析( (可重复双因素分析可重复双因素分析) )第81页/共90页可重复双因素分析可重复双因素分析( (例题例题) )【例例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验共获得了通过试验共获得了2020个行车时间个行车时间( (单位：单位：min)min)的数据，的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作如下表。试分析路

30、段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响用对行车时间的影响 第82页/共90页交互作用的图示交互作用的图示(interaction)(interaction)第83页/共90页可重复双因素方差分析表可重复双因素方差分析表( (基本结构基本结构) )误差来源误差来源平方和平方和(SS)自由度自由度(df)均方均方(MS)F值值P值值F临界值临界值行因素行因素SSRk-1MSRFR列因素列因素SSCr-1MSCFC交互作用交互作用SSRC(k-1)(r-1)MSRCFRC误差误差SSEKr(m-1)MSE总和总和SSTn-1m为样本的行数为样本的行数第84页/共90页可重复双因素分析可重复

31、双因素分析( (平方和的计算平方和的计算) ) 设： 为对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个 水平的第l行的观察值 为行因素的第i个水平的样本均值 为列因素的第j个水平的样本均值 对应于行因素的第i个水平和列因素的第j个水 平组合的样本均值 为全部n个观察值的总均值 第85页/共90页可重复双因素分析可重复双因素分析( (平方和的计算平方和的计算) )1. 总平方和：总平方和：2. 行变量平方和：行变量平方和：3. 列变量平方和：列变量平方和：4. 交互作用平方和：交互作用平方和：5. 误差项平方和：误差项平方和：第86页/共90页可重复双因素分析可重复双因素分析(Excel(Excel检

32、验步骤检验步骤) )第1步：选择“工具”下拉菜单，并选择【数据分析】选项第2步：在分析工具中选择【方差分析：可重复双因素分 析】，然后选择【确定】第3步：当对话框出现时 在【输入区域】方框内键入数据区域(A1：C11) 在【】方框内键入0.05(可根据需要确定) 在【每一样本的行数】方框内键入重复试验次数(5) 在【输出选项】中选择输出区域 选择【确定】 第87页/共90页本章小结本章小结1.1. 方差分析方差分析(ANOVA)(ANOVA)的概念的概念2.2. 方差分析的思想和原理方差分析的思想和原理3.3. 方差分析中的基本假设方差分析中的基本假设4.4. 单因素方差分析单因素方差分析5.5. 双因素方差分析双因素方差分析第88页/共90页End of Chapter 7第89页/共90页感谢您的观看！第90页/共90页