复习2：离散型随机变量的分布列(有答案)

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1、题目 (选修)第一章概率与统计离散型随机变量的分布列知识点归纳 1随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，=a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量 3连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 5 离散型随机变量的分布列: 6 离散型随机变量分布列的两个性质： )；P1+P2+=17 求分布列:(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (

2、2)由古典概型、几何概型（互斥事件、独立事件）的概率求出离散型随机变量分布列 互斥事件:不可能同时发生的两个事件一般地：如果事件中的任何两个 都是互斥的，那么就说事件那么 对立事件:必然有一个发生的互斥事件和事件，积事件（3）由条件概率、独立重复事件（二项分布）求出离散型随机变量分布列。条件概率：设A和B为两个事件，P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率 读作A 发生的条件下 B 发生的概率定义为 .相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有

3、影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若与是相互独立事件，则与，与，与也相互独立 对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：8.离散型随机变量的期望与方差一般地,若离散型随机变量的概率分布列为 P 则称为的数学期望或平均数.或均值.为的均方差.简称方差.叫标准差.性质: (1) (2) (3) 9.两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布10.二项分布 在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量.若在一次试验中某事件发生的概率是P,则在次独立重复试验中这个事件恰好发生次

4、的概率是称随机变量服从二项分布,记作B(n,p),01knP11几何分布：一般地,在含有M件次品中的N件产品中,任取件,其中恰有X件次品数,则事件发生的概率为其中称分布列12：正态分布：正态分布有两个参数，即均数和标准差，可记作N（，2）：均数决定正态曲线的中心位置；标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，曲线越陡峭，数据分布越集中；越大，曲线越扁，平数据分布越分散。时，正态分布就成为标准正态分布正态分布有两个参数，即均数和标准差，可记作N（，2）：均数决定正态曲线的中心位置；标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。越小，曲线越陡峭，数据分布越集中；越大，曲线越扁，平数据分布越分散。几个重要的面

5、积比例轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间（-，+）内的面积为68.268949%。 例：某人参加射击，击中目标的概率是设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；若他连续射击6次，设为他第一次击中目标的次数，求的分布列；若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列解：随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，则故的分布列为：0123456P设表示他前次未击中目标，而在第次射击时击中目标，则的取值为全体正整数1,2,3,则的分布列为1234P设表示前次未击中目标，而第次

6、击中目标，的取值为0,1,2,3,4,5，当时，表示射击6次均未击中目标则而的分布列为0123456P设，表示前次未击中，而第次击中，；而表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中的分布列为：123456P题型1.由统计数据求离散型随机变量的分布列题1. (2011北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望解(1)分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4416，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y17

7、) P(Y18) P(Y19) P(Y20) P(Y21)则随机变量Y的分布列是：Y1718192021P(2)由(1)知E(Y)19，设这名同学获得钱数为X元，则X10Y，则E(X)10E(Y)190.题：(2011福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)6，求a，b的值；(2)为分

8、析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由注：(1)产品的“性价比”；(2)“性价比”大的产品更具可购买性审题视点 (1)利用分布列的性质P1P2P3P41及E(X1)6求a，b值(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断解(1)因为E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.

9、2.又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为1.2

10、.据此，乙厂的产品更具可购买性题2. 【2012高考真题广东理17】（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,5050,6060,7070,8080,9090,100（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望【答案】本题是在概率与统计的交汇处命题，考查了用样本估计总体等统计知识以及离散型随机变量的分布列及期望，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，难度中等。题型2 由古典概型求离散型随机变量的分布列题3. （2012年韶关二模）有一个345的长方体

11、, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个111的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为. （）求的概率；（）求的分布列和数学期望.（）60个111的小正方体中，没有涂上颜色的有6个， （3分）（）由（1）可知； （7分）分布列0123p （10分） E=0+1+2+3= （12分）题4. 【2012高考真题浙江理19】已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和()求X的分布列；()求X的数学期望E(X)【答案】本题主要考察分布列

12、，数学期望等知识点。() X的可能取值有：3，4，5，6 ； ； 故，所求X的分布列为 () 所求X的数学期望E(X)为：E(X)题型3.由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列题5. 【2012高考真题重庆理17】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一票.约定甲先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.（） 求甲获胜的概率；（）求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望【答案】 题6. 【2012高考真题全国卷理19】乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依

13、次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.【答案】解：记为事件“第i次发球，甲胜”，i=1，2，3，则。（1）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为比”为，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得。即开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率为0.352。（2）由题意。；=0.408；所以。题型4.两点分布题7. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年

14、后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_解析设该公司一年后估计可获得的钱数为X元，则随机变量X的取值分别为50 00012%6 000(元)，50 00050%25 000(元)由已知条件随机变量X的概率分布列是X6 00025 000P因此E(X)6 000(25 000)4 760答案4 760题型4.二项分布题8. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥

15、体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的。假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。（1）求蜜蜂落入第二实验区的概率；（2）若其中有10只蜜蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率；（3）记为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量的数学期望。解：（1）记“蜜蜂落入第一实验区”为事件, “蜜蜂落入第二实验区”为事件.1分依题意， 3分 蜜蜂落入第二实验区的概率为。 4分（2）记“恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区”为事件，则 5分 恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率. 8分（3）因为蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位

16、置相互之间是不受影响的，所以变量满足二项分布，即 10分随机变量X的数学期望=40=5 12分例：（2008湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.（1）求的概率分布、期望和方差；（2）若=a +b,E()=1,D()=11,试求a,b的值.解 （1）的概率分布为 01234PE()=0+1+2+3+4=1.5.D()=(0-1.5)2+(1-1.5)2+(2-1.5)2+(3-1.5)2+(4-1.5)2=2.75.(2)由D()=a2V(),得a22.75=11,即a=2.又E()=aE()

17、+b,所以当a=2时,由1=21.5+b,得b=-2.当a=-2时,由1=-21.5+b,得b=4.或即为所求.题9. （2012年茂名二模）在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮.某单位计划在小区内种植四棵风景树，受本地地理环境的影响，两棵树的成活的概率均为，另外两棵树为进口树种，其成活概率都为，设表示最终成活的树的数量.（1）若出现有且只有一颗成活的概率与都成活的概率相等，求的值；（2）求的分布列（用表示）；（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求的取值范围.解：（1）由题意，得，. 2分（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. 3分 4分 5分 6分 7分

18、 8分得的分布列为： 9分01234（3）由，显然, 10分 11分 12分由上述不等式解得的取值范围是.13分练习：1.(2011浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的记X为该毕业生得到面试的公司个数若P(X0)，则随机变量X的数学期望E(X)_.审题视点 分别求出随机变量X取每一个值的概率，然后求其期望解析由已知条件P(X0) 即(1P)2，解得P，随机变量X的取值分别为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)222，P(X2)22，P(X3)2.E(X)01

19、23.答案2. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率， （I）记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E； （II）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率3. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率审题视点 对变量的取值要做到不重不漏，计算概率要准确解(1)设袋中白球共有x个，根据已知条件

20、，即x2x60，解得x3，或x2(舍去)(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2，3,4,5.因此，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5).则随机变量X的分布列为：X12345P (3)甲取到白球的概率为P.4. (2011江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元令X表示此人选对A饮

21、料的杯数假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望解(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(Xi)(i0,1,2,3,4)，则X01234P(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100，2 800,3 500，则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，E(Y)3 5002 8002 1002 280，所以此员工月工资的期望为2 280元5. 【2012高考真题湖南理17某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示

22、.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）【答案】（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 的分布为 X11.522.53PX的数学期望为 .

23、（）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 .由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 .故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.6. 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数的分布列分析：随机变量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析解：（1）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列为012P（2）P(=k)=C083k02k（k=0，1，2，3），所以的分布列为0123PC083C08202C08022C023小结：应按下述三个步骤进行：明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证3离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和4处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量5求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提