理学一阶电路学习教案

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1、会计学1理学理学(lxu)一阶电路一阶电路第一页，共181页。第1页/共181页第二页，共181页。 动态元件的电流与电压的约束关系是导数与积分关系，因此根据KCL、KVL和元件的VAR所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程(wi fn fn chn)或微分积分方程。如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那么动态电路方程是线性常系数微分方程(wi fn fn chn)。 如果电路中只有一个动态元件，则所得的是一阶微分方程(wi fn fn chn)，相应的电路称为一阶电路 。一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的将是n阶微分方程(wi fn fn chn)，相应的

2、电路可称为n阶电路。 一阶电路一阶电路(dinl)的定义的定义：第2页/共181页第三页，共181页。* *将一阶电路分为电阻网络将一阶电路分为电阻网络 N1 N1 和动态元件两部分。和动态元件两部分。* *将将 N1 N1 用戴维南定理用戴维南定理(dngl)(dngl)化简，得简单一阶电路。化简，得简单一阶电路。* *求解简单一阶电路，得求解简单一阶电路，得 uc(t) uc(t) 或或 iL(t) iL(t) 。* *回到原电路，将电容用一电压源（其值为回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc uc ）置换，）置换，或将电感用一电流源（其值为或将电感用一电流源（其值为 iL iL ）置

3、换，求出电路其）置换，求出电路其余变量。余变量。N1abL或C第3页/共181页第四页，共181页。 图图(a)(a)和和(b)(b)都是一阶电路。都是一阶电路。 如果我们要研究图如果我们要研究图(a)(a)中开关中开关(kigun)S(kigun)S闭合闭合( (在在t=0t=0时时) )后电容电压后电容电压uCuC， 或者研究图或者研究图(b)(b)中开关中开关(kigun)S(kigun)S断开断开( (在在t=0t=0时时) )后电感电流后电感电流iLiL，就要列写出，就要列写出t0t0时，即开时，即开关关(kigun)(kigun)闭合后闭合后( (图图(a)(a)或开关或开关(ki

4、gun)(kigun)断开后断开后( (图图(b)(b)的电路的电路方程。方程。 第4页/共181页第五页，共181页。对于图对于图(a)(a)的电路，的电路， 设设t=0t=0时开关闭合，若选电容电压时开关闭合，若选电容电压(diny)uC (diny)uC 为变量，在换路后为变量，在换路后 ( (即即t0)t0)， 由由KCLKCL有有 iC + iR = iS iC + iR = iS 由由iC= C iC= C 和和iR = iR = ，得换路后电路方程为，得换路后电路方程为dtducRuc1ccSduCuidtR或写为或写为11ccSduuidtc式中式中=RC=RC， 它具有时间的

5、量纲它具有时间的量纲 称为称为(chn wi)(chn wi)时间常数，简称时常数。时间常数，简称时常数。 第5页/共181页第六页，共181页。 对于图(b)的电路，设t=0时开关断开，若选电感(din n)电流iL为变量，根据KVL，可写出换路后(t0)的电路方程为12()LLsdiLRR iudtsLLuLidtdi11式中式中= L / (R1+R2) = L / (R1+R2) ， 它具有时间的量纲它具有时间的量纲(lin n) (lin n) 称为时间称为时间常数常数. .第6页/共181页第七页，共181页。11ccSduuidtcsLLuLidtdi11式中式中=RC=RC式中

6、式中= L / (R= L / (R1 1+R+R2 2) ) 上述的微分方程又称为状态方程。 电压和电阻的串联可以与电流与电阻的并联互相变换(binhun)，由戴维南定理或诺顿定理等效电路列出状态方程。dxAxBWdt第7页/共181页第八页，共181页。)1(0 Axdtdx)2()(00Xtx其中其中 x(t) x(t) 为待求变量为待求变量(binling)(binling)，A A 及及X0 X0 均为常数。均为常数。方程和初始条件方程和初始条件补充第8页/共181页第九页，共181页。设设)3()(tseKtx则则)4()(tsesKdttxd将（将（3 3）、（）、（4 4）代入

7、（）代入（1 1），得），得)5(0)( AseKts)6(0 As（6 6）式为微分方程）式为微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的特征方程，其的特征方程，其根称为微分方程根称为微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的特征根或固有频的特征根或固有频率。可求得率。可求得)7()(,tAeKtxAs求通解求通解（满足（满足（1 1）式且含有一个待定常数的解。）式且含有一个待定常数的解。）第9页/共181页第十页，共181页。确定待定常数确定待定常数K K将初始条件（将初始条件（2 2）式代入通解（）式代入通解（3 3）式，得）式，得000)(

8、XeKtxts即即00tseXK例：例：求解方程求解方程,05xdtdx2)0(x解：解： 特征方程特征方程05 s特征根特征根5s通解通解teKtx5)(代入初始条件，得代入初始条件，得2K原问题的解为原问题的解为tetx52)(第10页/共181页第十一页，共181页。)12(fBxAdtdx)22()(00 Xtx其中其中(qzhng) x(t) (qzhng) x(t) 为待求变量，为待求变量，f (t) f (t) 为为输入函数，输入函数，A A、B B 及及X0 X0 均为常数。均为常数。方程和初始条件方程和初始条件解的结构解的结构: :（2 21 1）式的通解由两部分组成）式的通

9、解由两部分组成)32()()()(txtxtxph其中其中 x xh h( (t t) ) 为（为（2 21 1）式对应齐次方程的通解）式对应齐次方程的通解，x xp p( (t t) ) 为（为（2 21 1）式的一个特解。）式的一个特解。一阶非齐次方程的求解一阶非齐次方程的求解第11页/共181页第十二页，共181页。求求 x xh h( (t t) ) 前已求得前已求得tsheKtx)(求求 xp(t) xp(t) 特解特解 xp(t) xp(t) 的的 形式形式(xngsh)(xngsh)与输入函数与输入函数 f (t) f (t) 的形式的形式(xngsh)(xngsh)：第12页/

10、共181页第十三页，共181页。确定待定常数确定待定常数K K 求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解式，可确定待定常数K，从而(cng r)得到原问题的解。,18122xdtdx例：例：求解方程求解方程8)0(x解：解：特征方程特征方程0122s特征根特征根6stheKtx6)(设设Qtxp)(求得求得5.11218Q通解通解5.1)(6teKtx代入初始条件，得代入初始条件，得5.65.18K原问题的解为原问题的解为5.15.6)(6 tetx第13页/共181页第十四页，共181页。)12(fBxAdtdx)22()(00 Xtx其解为：( )AdtAdtx teB f

11、 edtC第14页/共181页第十五页，共181页。第15页/共181页第十六页，共181页。6.2 6.2 零状态零状态(zhungti)(zhungti)响应响应 若电路原始状态为零，则电路中响应称为零状态响应，零状态响应仅由电源(dinyun)产生。本节讨论由恒定电源产生的一阶电路的零状态响应。 一阶RC电路的零状态响应 一阶RL电路的零状态响应第16页/共181页第十七页，共181页。电路的初始状态为电路的初始状态为0 0响应响应(xingyng)(xingyng)的原因：电路的输的原因：电路的输入入(US(US、IS)IS)电路的零状态电路的零状态(zhungti)(zhungti)

12、响应响应cNRIscR0C+uc以串联以串联(chunlin)电路为例电路为例Roc+Uoc+uci第17页/共181页第十八页，共181页。SsUu 0)0(CuScUuRitdudcic2. 2. 数学分析数学分析换路后电路换路后电路(dinl)(dinl)微微分方程：分方程：SccUudtduRc化简可得：化简可得：0)0()0(ccuu初始条件：初始条件：1. 1. 定性分析定性分析(dngxngfnx(dngxngfnx)iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+第18页/共181页第十九页，共181页。方程方程(fngchng)：非齐次方程非齐次方程(fngchng)特解

13、特解齐次齐次方程方程(fngchng)通解通解非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程( )(0)0ccscduRCutUdtu可求得：可求得：( )ccpchutuuiS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0+第19页/共181页第二十页，共181页。与输入激励的变化规律有关与输入激励的变化规律有关(yugun)，为电路的稳态解，为电路的稳态解tRCchuAe变化规律由电路变化规律由电路(dinl)参数和结构决定参数和结构决定的通解的通解CCd0duRCutScpuU通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）chu特解（强制分量）特解（强制分量）cpuCCSdduRCuUt

14、的特解的特解第20页/共181页第二十一页，共181页。全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= -US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 uC (0+)=0，求定积分，求定积分(jfn)(jfn)常数常数 A ACS( )tRCcpchutuuUAe) 0( )1 ( S SSCteUeUUuRCtRCt从以上从以上(yshng)式子可式子可以得出：以得出：CSddtRCuUiCetR第21页/共181页第二十二页，共181页。-USuchucpUStiSUR0tuC0 电压、电流电压、电流(dinli)(dinli)是随时间按同一指数规律变化的函是随时间按同一指数规律变化的函数；

15、电容电压由两部分构成：数；电容电压由两部分构成：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量稳态分量(fn ling)（强（强制分量制分量(fn ling)）暂态分量暂态分量(fn ling)（自（自由分量由分量(fn ling)）表明+第22页/共181页第二十三页，共181页。tU0uC0I0ti0令令 =RC , =RC , 称称为一阶电路为一阶电路(dinl)(dinl)的时间的时间常数常数 RC 库安秒欧法欧欧秒伏伏 电压、电流是随时间按同一指数电压、电流是随时间按同一指数(zhsh)(zhsh)规律衰减的规律衰减的函数；函数；连续连续函数函数跃变跃变 响应与初始状态成线性关系，其衰减响应与初始

16、状态成线性关系，其衰减(shui jin)(shui jin)快慢与快慢与RCRC有关有关; ;表明第23页/共181页第二十四页，共181页。时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡的大小反映了电路过渡(gud)(gud)过程时间的长短过程时间的长短 = RC 大大过渡过渡(gud)过程时间长过程时间长 小小过渡过渡(gud)(gud)过程时间短过程时间短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（ C一定一定） i=u/R 充放电电流小充放电电流小放电时间长放电时间长U0tuc0 小 大C 大大（R一定一定） W=Cu2/2 储能大储能大11pRC 物理含义物理含义第24页/共181页第二十五页，

17、共181页。a. :电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程(gngchng)上认为, 经过 35 , 过渡过程结束。U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t0 2 3 5 0tcuU eU0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 注意第25页/共181页第二十六页，共181页。 t2 t1 t1时刻时刻(shk)曲线的斜率等于曲线的斜率等于11C0C1C112d( )01( )dtttuUuteutttt U0tuc0t1t2C2C1( )0.368( )utut切距的长度切距的长度(chngd) C0tRCuU eb. 时间常

18、数 的几何(j h)意义：第26页/共181页第二十七页，共181页。-USuCuC“UStiSUR0tuC0 电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电容(dinrng)(dinrng)电压由两部分构成：电压由两部分构成：稳态分量稳态分量(fn ling)（强（强制分量制分量(fn ling)）暂态分量暂态分量(fn ling)（自（自由分量由分量(fn ling)）小结+第27页/共181页第二十八页，共181页。 响应变化的快慢，由时间常数响应变化的快慢，由时间常数RCRC决定决定(judng)(judng)； 大，充电慢，大，充电慢，

19、 小充电就快。小充电就快。 响应响应(xingyng)(xingyng)与外加激励成线性与外加激励成线性关系；关系； 能量能量(nngling)(nngling)关系关系2S12CU电容储存能量：电容储存能量：电源提供能量：电源提供能量：2SSS0dU i tU qCU2S12CU电阻消耗能量：电阻消耗能量：2S002d()dRCtUi R tR tRe 电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。能量储存在电容中。表明RC+-US第28页/共181页第二十九页，共181页。 RL电路(dinl)的零状态响应0)0()(LsLL

20、iILRtiLRdtdi0t RL eieItitltSl),1)()1 ()(求出电感电流后再去求其它求出电感电流后再去求其它(qt)(qt)支路上的电压和电支路上的电压和电流。流。 ei eItitRtSR)1)()(讨论讨论(toln)(toln)与与RCRC电路相同。电路相同。IsRL+uLiLiR第29页/共181页第三十页，共181页。LS( )Riuu tSd( )diRiLu tt应用应用(yngyng)KVL和电感和电感的的VCR得：得：LddiuLt (t 0)+uLUsRi+- -变换变换(binhun)(binhun)为为RLRL电路电路( )(1)( )(1),ttS

21、llULi teie t0RRtLSdiuLU edt连续连续(linx)不连续不连续第30页/共181页第三十一页，共181页。SL(1)RtLUieRtiLSUR0LLSddRtLiuLU etuLUSt0第31页/共181页第三十二页，共181页。例例t=0t=0时时, ,开关开关S S闭合，已知闭合，已知 uC(0 uC(0)=0)=0，求，求(1)(1)电容电容(dinrng)(dinrng)电电压和电流压和电流,(2) uC,(2) uC80V80V时的充电时间时的充电时间t t 。解解:(1)(1)这是一个这是一个(y )RC(y )RC电路电路零状态响应问题，有：零状态响应问题

22、，有： 200CS(1) 100(1)V (0)t-tRCuUe-et53500 105 10 sRC 200CS0.2AdttRCuUiCeetRd(2)(2)设经过设经过(jnggu)t1(jnggu)t1秒，秒，uCuC80V80V1200180100(1)8 045 s-t-et. m50010F+-100VS+uCi第32页/共181页第三十三页，共181页。例例t=0时,开关(kigun)S打开，求t 0后iL、uL的变化规律。解解:这是这是RLRL电路电路(dinl)(dinl)零状态响应问题，先化简电路零状态响应问题，先化简电路(dinl)(dinl)，有：，有：eq80200

23、/ /300200Req/2/ 2000.01sL Rt 0L( )10Ai 100L( )10(1)Atite100100Leq( )102000VttutR eeiLS+uL2HR8010A200300iL+uL2H10AReq第33页/共181页第三十四页，共181页。例例t=0开关(kigun)k打开，求t 0后iL、uL及电流源的电压。解解:这是这是RLRL电路零状态电路零状态(zhungti)(zhungti)响应问题，先化简电路，有响应问题，先化简电路，有：eq101020R02 1020VU eq/2/ 200.1sL RiL+uL2HUoReq+t 00eq( )/1ALiU

24、R 10( )(1)AtLite10100( )20VttLutU ee10S510(2010)VtLLuIiueiLK+uL2H102A105u第34页/共181页第三十五页，共181页。作业作业(zuy)： P233: 6-1、6-4 P234: 6-6、6-8 第35页/共181页第三十六页，共181页。第36页/共181页第三十七页，共181页。6.3 6.3 阶跃响应阶跃响应(xingyng)(xingyng)和冲和冲激响应激响应(xingyng)(xingyng)阶跃响应阶跃响应(xingyng)冲激响应冲激响应(xingyng)第37页/共181页第三十八页，共181页。 阶跃响

25、应阶跃响应(xingyng)(step (xingyng)(step response)response)1 1、单位、单位(dnwi)(dnwi)阶跃阶跃(unit-step)(unit-step)信号：信号：0001)ttt（2 2、单位、单位(dnwi)(dnwi)延时延时(delayed)(delayed)阶跃阶跃信号：信号：00001)tttttt（10t0 (tt0)10 (t)一一. . 阶跃函数阶跃函数(step function)(step function)第38页/共181页第三十九页，共181页。3 3、阶跃、阶跃(unit-step)(unit-step)信号信号(x

26、nho)(xnho)：00, 0,)ttAt（ 4、延时、延时(delayed)阶跃信号阶跃信号(xnho)：000, 0,)ttttAtt（0AA (t)AA (t)0AA (t+t0)-t0第39页/共181页第四十页，共181页。t = 0 合闸合闸 i(t) = Is)(t 在电路中模拟在电路中模拟(mn)(mn)开关的动作开关的动作t = 0 合闸合闸 u(t) = E)(t单位单位(dnwi)(dnwi)阶跃函数的阶跃函数的作用：作用：SUSu(t)S( )Utu(t)Is( )i tk( )SItu(t)第40页/共181页第四十一页，共181页。 起始起始(q sh)一个函数一

27、个函数tf (t)000sin() ()ttttt0 延迟延迟(ynch)(ynch)一个一个函数函数tf(t)0t0)()sin(tt0sin( ) ()ttt第41页/共181页第四十二页，共181页。任意任意(rny)(rny)信号信号f(t)f(t)的截取：的截取：tf(t)0t001sin( ) ()()tttttt1第42页/共181页第四十三页，共181页。用单位阶跃函数表示分段常量用单位阶跃函数表示分段常量(chngling)(chngling)信号信号0( )( )()f tttt(t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0)0000100)(ttttttf第43

28、页/共181页第四十四页，共181页。( )2 (1)(3)(4)f tttt1t1 f(t)02434043131210)(tttttf第44页/共181页第四十五页，共181页。( ) ( )(1)(1)f ttttt1t1 f(t)0( )(1) (1)tttt(1) (1)tt( )tt( )( )(1) (3)(4)f ttttt1t1 f(t)0243第45页/共181页第四十六页，共181页。(1) ( ) ( )u ttt1 02已知电压已知电压(diny)u(t)(diny)u(t)的波的波形如图，试画出下列电压形如图，试画出下列电压(diny)(diny)的波形。的波形。(

29、4) (2) (1)u tt(3) (1) (1)u tt(2) (1) ( )u ttt1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021第46页/共181页第四十七页，共181页。1. 1. 单位阶跃响应：指线性时不变电路在单位阶跃单位阶跃响应：指线性时不变电路在单位阶跃电源电源(dinyun)(dinyun)(t)(t)作用下的零状态响应，用作用下的零状态响应，用s(t)s(t)或或g(t)g(t)表示表示2. 2. 线性时不变性：线性时不变性： 若若 (t)s(t) (t)s(t) ，则，则 A A(t)As(t)(t)As(t) A A(t-t0)As(t-t0)(t-t0)As

30、(t-t0) f ( t ) f ( t ) A A( t ) + B( t ) + B( t - t 0 ) y ( t )( t - t 0 ) y ( t ) As(t)+Bs(t-t0)As(t)+Bs(t-t0)二二. . 阶跃响应阶跃响应(xingyng)(xingyng)第47页/共181页第四十八页，共181页。时延不变性：若激励时延不变性：若激励f(t)f(t)延迟延迟t0t0接入，其零状态接入，其零状态 响应响应(xingyng)(xingyng)也延迟也延迟t0t0时间，且波形保持不变时间，且波形保持不变，如图所示。，如图所示。第48页/共181页第四十九页，共181页。

31、 ( )tRCiet和和 0tRCiet的区的区别别注意 ( )tRCiet 0tRCiett01it01i第49页/共181页第五十页，共181页。tiC0激励激励(jl)(jl)在在 t = t0 t = t0 时加入时加入，则响应从则响应从t =t0t =t0开始。开始。t- t0 1RCCieR( t - t0 ) 01()RCettR- t不要不要(byo)写为：写为：iC (t -t0)C +uCR1Rt0注意第50页/共181页第五十一页，共181页。3. 3. 阶跃响应的求法：由于单位阶跃函数作用阶跃响应的求法：由于单位阶跃函数作用(zuyng)(zuyng)于电路时，相当于单

32、位直流源接入电于电路时，相当于单位直流源接入电路，所以求阶跃响应就是求单位直流源路，所以求阶跃响应就是求单位直流源(1V(1V或或1A)1A)接入电路时的零状态响应。接入电路时的零状态响应。第51页/共181页第五十二页，共181页。例例 图图(a)(a)所示电路所示电路(dinl)(dinl)，若以电流，若以电流iLiL为输出，求其阶跃响为输出，求其阶跃响应应s(t)s(t)解解 根据阶跃响应的定义，令根据阶跃响应的定义，令us=(t)us=(t)，它相当于，它相当于1V1V电压源在电压源在t=0t=0时接入电路时接入电路(dinl)(dinl)，如图，如图(b)(b)所示，而且电路所示，而

33、且电路(dinl)(dinl)的的初始状态初始状态iL(0+)=iL(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=0。第52页/共181页第五十三页，共181页。由图由图(b)(b)可知，可知，iLiL的稳态值和该电路的时间常数的稳态值和该电路的时间常数(sh (sh jin chn sh)jin chn sh)分别为分别为 AtetitssRLARUitLsL)()1 (21)()(2115 . 021)(21第53页/共181页第五十四页，共181页。4. 4. 分段分段(fn dun)(fn dun)常量信号响应的求法：常量信号响应的求法： 时延不变性：将分段时延不变性：将分段(fn dun)

34、(fn dun)常量信号用常量信号用阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线阶跃函数表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应性性质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应分段分段(fn dun)(fn dun)常量信号激励作用下电路的零状态响常量信号激励作用下电路的零状态响应。应。 f(t) f(t)A A(t)+B(t)+B(t-t0) (t-t0) y(t)As(t)+Bs(t-t0)第54页/共181页第五十五页，共181页。例例 图图(a)(a)所示电路，其激励所示电路，其激励isis的波形如图的波形如图(b)(b)所示。若以所示。若以

35、uCuC为输为输出出(shch)(shch)，求其零状态响应。，求其零状态响应。解解 激励激励isis可表示为可表示为 Atttis)2(2)(2)(根据根据(gnj)电路的线性和延时不变性，其对应的零状态响电路的线性和延时不变性，其对应的零状态响应为应为VtststuC)2(2)(2)(zs第55页/共181页第五十六页，共181页。sRCVuC22 .010616)(Vtetst)()1 (6)(21故阶跃响应故阶跃响应(xingyng)为为 零状态零状态(zhungti)响应为响应为 )2()1 (12)()1 (12)(222zstetetuttC)2(2)(2)(zstststuC第

36、56页/共181页第五十七页，共181页。10 ( ) 10 (0.5)Sutt求图示电路求图示电路(dinl)(dinl)中电流中电流 iC(tiC(t）例例10k10kus+-ic100FuC(0-)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0-)=0等效等效第57页/共181页第五十八页，共181页。)5 . 0(10)(10ttuS应用应用(yngyng)叠叠加定理加定理5 ( ) t5k+-ic100F5 (0.5)t5k+-ic100F( ) t5k+-ic100F63100 105 100.5sRC 2Cd1 ( ) mAd5tCuiCett 2t(

37、)(1) ( )Cutet阶跃响应阶跃响应(xingyng)为：为：第58页/共181页第五十九页，共181页。由齐次性和叠加性得实际由齐次性和叠加性得实际(shj)响应为：响应为：22(0.5)115( )(0.5)55ttCietet22(0.5)( )(0.5)mAttetet5 ( ) t5k+-ic100F5 (0.5)t5k+-ic100F第59页/共181页第六十页，共181页。22(0.5)( )(0.5)ttCietet00.5 ( )1 (0.5)0ttt 2Ctie22(0.5)2(0.5)1C2(0.5)(1) 0.632ttttieeeee 0.5s ( )1 (0.

38、5)1ttt分段分段(fn dun)表示为：表示为：第60页/共181页第六十一页，共181页。分段分段(fn dun)表示为：表示为：2 C-2( -0.5) mA (00.5s)( )-0.632 mA (0.5s)ttetitet t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.36822(0.5) ( )(0.5) 0.632(0.5)tCtiettet第61页/共181页第六十二页，共181页。一阶电路一阶电路(dinl)(dinl)的冲激响应的冲激响应1. 1. 单位单位(dnwi)(dnwi)冲激函冲激函数数l 定义定义(dngy(dngy) )( )0 (0)tt( )d

39、1ttt(t)10单位脉冲函单位脉冲函数的极限数的极限 / 21/ tp(t)- / 210 0lim( )( )p tt1( ) ()()22p ttt第62页/共181页第六十三页，共181页。l 单位单位(dnwi)(dnwi)冲激函数冲激函数的延迟的延迟000()0 ()()d1tttttttt (t-t0)t00（1）l 单位单位(dnwi)(dnwi)冲激函冲激函数的性质数的性质 冲激函数对时间的积分冲激函数对时间的积分(jfn)等于阶跃函数等于阶跃函数0 0( )d ( )1 0ttttttd ( )( )d ttt第63页/共181页第六十四页，共181页。 冲激函数的冲激函数

40、的筛分筛分(shi fn)(shi fn)性性 ( ) ( )d(0) ( )d(0)f tttfttf00( ) ()d( )f ttttf t同理同理 (sin) ()d6 tttt1 sin1.026626例例t(t)10f(t)f(0) f(t) f(t)在在 t0 t0 处连续处连续(linx)(linx)f(0)(t)注意第64页/共181页第六十五页，共181页。d( )dccuuCttRuc不是(b shi)冲激函数 , 否则KCL不成立分二个时间段考虑分二个时间段考虑(kol)(kol)冲激冲激响应响应电容电容(dinrng)充电，充电，方程为方程为(1) t 在在 0 0+

41、间间例例2. 2. 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应激励为单位冲激函数时，电路中产生的激励为单位冲激函数时，电路中产生的零状态响应。零状态响应。冲激响应冲激响应求单位冲激电流激励下的求单位冲激电流激励下的RC电路的零状态响应。电路的零状态响应。解解:注意uC(0)=0iCR(t)C+-uC第65页/共181页第六十六页，共181页。1(0 )(0 )CCuuC电容中的冲激电流电容中的冲激电流(dinli)使电容电压发生跃变。使电容电压发生跃变。000CC000ddd( )d1duuCtttttR0CC(0 )(0 )1C uu结论(2) t 0+ 为零输入(shr)响应（RC放电）iCRC

42、+uCCu1)0(C C10tRCuetC CC10tRCuietRRC 第66页/共181页第六十七页，共181页。uCt01C C C1( )1( )( )tRCtRCuetCitetRCiCt11RC0第67页/共181页第六十八页，共181页。d( )dLLiRiLtt例例求单位冲激求单位冲激(chn j)(chn j)电压激励下的电压激励下的RLRL电路的电路的零状态响应。零状态响应。分二个时间段考虑分二个时间段考虑(kol)(kol)冲冲激响应激响应解解:L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是(b shi)冲激函数 , 否则KVL不成立。注意000000dd( )d1LLd

43、iRitLtttdt0(0 )-(0 ) =1-LLL ii+1(0 )(0 )LLiiL(1) t 在在 0 0+间间方程为方程为第68页/共181页第六十九页，共181页。电感上的冲激电压使电感电流电感上的冲激电压使电感电流(dinli)发生跃变。发生跃变。结论(2) t 0+ RL放电(fng din)LiLR+-uLLR1(0 )LiL 10tLietL 0tLLRui RetL 1(0 )(0 )LLiiL第69页/共181页第七十页，共181页。 1( )tLietL ( )( )tLRutetLiLt01LuLt1LR0第70页/共181页第七十一页，共181页。零状态零状态R(

44、t)(te3. 3. 单位单位(dnwi)(dnwi)阶跃响应和单位阶跃响应和单位(dnwi)(dnwi)冲激响应关系冲激响应关系单位单位(dnwi)阶跃响应阶跃响应单位单位(dnwi)冲激响应冲激响应h(t)s(t)单位冲激单位冲激 (t)单位阶跃单位阶跃 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激励激励响应响应第71页/共181页第七十二页，共181页。( )( )Si tt先求单位先求单位(dnwi)(dnwi)阶跃响阶跃响应：应：求求:is (t):is (t)为单位冲激为单位冲激(chn j)(chn j)时电路响应时电路响应uC(t)uC(t)和和iC (t).iC (t).

45、例例解解:( )(1) ( )tRCCutRetuC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 C( )tRCiet再求单位再求单位(dnwi)(dnwi)冲激响应冲激响应, ,令令：S( )( )i tt令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC第72页/共181页第七十三页，共181页。 d(1) ( )dtRCCuRett(1) ( )tRCRet1( )tRCetC1( )tRCetC)()0()()(tfttf0 Cd( )dtRCiett 1( )( )ttRCRCetetRC 1( )( )tRCtetRC第73页/共181页第七十四页，共181页。u

46、CRt0iC1t0uCt01C冲激响应冲激响应阶跃响应阶跃响应(xingyng)iCt11RC0第74页/共181页第七十五页，共181页。作业作业(zuy)： P236: 6-13、6-15 P234: 6-16、6-17 第75页/共181页第七十六页，共181页。第76页/共181页第七十七页，共181页。 有源（独立源）一阶电路，当电路中电容或电有源（独立源）一阶电路，当电路中电容或电感无初始感无初始(ch sh)(ch sh)贮能时（即电路的初始贮能时（即电路的初始(ch (ch sh)sh)状态为零），此时响应的原因是由激励决定的状态为零），此时响应的原因是由激励决定的，称为零状态

47、响应。，称为零状态响应。 ucUSRC(t=0)(t=t1)+-123第77页/共181页第七十八页，共181页。 无源（独立源）一阶电路，产生响应的原因是无源（独立源）一阶电路，产生响应的原因是电路的初始电路的初始(ch sh)(ch sh)贮能，这种响应称为一阶电贮能，这种响应称为一阶电路的零输入响应。路的零输入响应。 ucUSRC(t=0)(t=t1)+-123第78页/共181页第七十九页，共181页。cN0cR零输入零输入(shr(shr) 响应响应Uc(0 -)=Uo重点：重点：1 1、掌握零输入响应的概念、掌握零输入响应的概念2 2、掌握一阶电路、掌握一阶电路(dinl)(din

48、l)零输入响应零输入响应的特点的特点3 3、掌握一阶电路、掌握一阶电路(dinl)(dinl)零输入响应零输入响应的求法的求法第79页/共181页第八十页，共181页。第80页/共181页第八十一页，共181页。原始状态原始状态电容电压和电感电流为电路的状态变量。电容电压和电感电流为电路的状态变量。 t t0- 0- 时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。态，它们反映了换路前电路所储存的能量。第81页/共181页第八十二页，共181页。 t t0+0+时刻的电容电压和电感电流值为电路的初始状态。时刻的电容电压和电感

49、电流值为电路的初始状态。初始状初始状态态 求解电路微分方程所需求解电路微分方程所需t t0+0+时刻各电流电压值。时刻各电流电压值。初始条件初始条件第82页/共181页第八十三页，共181页。t = 0与t = 0的概念(ginin):认为换路在认为换路在t=0t=0时刻时刻(shk)(shk)进行进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间电路电路(dinl)(dinl)的初始的初始条件条件: :00(0 )lim( )ttff t00(0 )lim( )ttff t初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数的及其各阶导数的值。值。注意0f(t)(0 )(0

50、 )ff00(0 )(0 )fft第83页/共181页第八十四页，共181页。电路电路(dinl)(dinl)的换路定的换路定则则证：由于有限电流证：由于有限电流i ic c在无穷小区间内的积零，因在无穷小区间内的积零，因此此)()(1)()(00000tudiCtutuCttCC)()(,)()(0000tqtqtutuCCCC电容的换路定则电容的换路定则若换路瞬间电容电流若换路瞬间电容电流 i ic c 为有限值，则为有限值，则第84页/共181页第八十五页，共181页。电感的换路定则电感的换路定则若换路瞬间电感电压若换路瞬间电感电压 u uL L 为有限值，为有限值，则则)()(,)()

51、(0000tttitiLLLL第85页/共181页第八十六页，共181页。L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)换路定律换路定律(dngl):(dngl): 电容电流和电感电压为有限电容电流和电感电压为有限(yuxin)(yuxin)值是换值是换路定律成立的条件。路定律成立的条件。 换路瞬间，若电感电压保换路瞬间，若电感电压保持持(boch)(boch)为有限值，则电感为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持电流（磁链）换路前后保持(boch)(boch)不变。不变。 换路瞬间，若电容电流保持为换路瞬间，若电容电流保

52、持为有限值，则电容电压（电荷）换路有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。前后保持不变。 换路定律反映了能量不能跃变。换路定律反映了能量不能跃变。注意第86页/共181页第八十七页，共181页。根据换路前的电路求出原始状态根据换路前的电路求出原始状态 u uc c( (t t0 0- -) ) 和和 i iL L( (t t0 0- -) )。 初始状态与初始条件的确定初始状态与初始条件的确定(qudng)(qudng)对对 t t0 0 等效电路求解，求出所需初始电流和电压。等效电路求解，求出所需初始电流和电压。根据下述方法画出根据下述方法画出 t t0 0 时刻的等效电路：时刻的等效电

53、路：每一电感用一电流源替换，其值为每一电感用一电流源替换，其值为 i iL L( (t t0 0) )；每一电容用一电压源替换，其值为每一电容用一电压源替换，其值为 u uc c( (t t0 0) )；若独立源为时间函数，则取若独立源为时间函数，则取 t t0 0 时刻的函数值。时刻的函数值。依据换路定则确定初始状态依据换路定则确定初始状态 u uc c( (t t0 0) ) 和和 i iL L( (t t0 0) )。第87页/共181页第八十八页，共181页。例例: : 电路电路(dinl)(dinl)如图，已知电路如图，已知电路(dinl)(dinl)换路换路前已达稳态，求前已达稳态

54、，求 uc(0 uc(0) ) 和和 ic(0 ic(0) )。uc5ViC(t=0)+-25K100K100K12第88页/共181页第八十九页，共181页。解：解：)(4510025100)0(VKKKuC 根据(gnj)换路定则，可得VuuCC4)0()0(4V100K100KiC(0+) 由由0 0等效电路可求得等效电路可求得)(08. 0)504()0(mAKiC 由由0 0等效电路可求得等效电路可求得uc5ViC(t=0)+-25K100K100K第89页/共181页第九十页，共181页。例：电路例：电路(dinl)(dinl)如图，已知电路如图，已知电路(dinl)(dinl)换

55、路前已达稳态，换路前已达稳态， 求求 uL(0 uL(0) ) 、i (0i (0) )、 i1(0 i1(0) ) 和和iL(0iL(0) )。 110V4(t=0)uL+-ii1iL12第90页/共181页第九十一页，共181页。110V4(t=0)uL+-ii1iL解：解：)(24110)0(AiL根据根据(gnj)换路定则，换路定则，可得可得AiiLL2)0()0(110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)由由0 0等效电路可求得等效电路可求得Ai10)0(Ai8)0(1VuL8)0(12第91页/共181页第九十二页，共181页。iL(0+) = iL(0) = iSuC

56、(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)(0 )0SCsRiiiR例例: :解解:由由0 0电路电路(dinl)(dinl)得：得：由由0+0+电路电路(dinl)(dinl)得：得：S(t=0)+ +uLiLC+ +uCLRiSiCRiS0电路电路uL+iCRiSRiS+第92页/共181页第九十三页，共181页。(0 )(0 )2 1224VCCuu(0 )(0 )48/ 412ALLii例例: :求求k k闭合瞬间各支路电流和电感闭合瞬间各支路电流和电感(din n)(din n)电压电压解解: :(0 )(4824)/38ACi

57、(0 )12820Ai(0 )482 1224VLu 由由0 0电路电路(dinl)(dinl)得：得：由由0+0+电路电路(dinl)(dinl)得得：iL+uL- -LS2 +- -48V3 2 CiL2 +- -48V3 2 +uC12A24V+- -48V3 2 +- -iiC+- -uL第93页/共181页第九十四页，共181页。求初始值的步骤求初始值的步骤(bzhu):(bzhu):1.1.由换路前电路（稳定由换路前电路（稳定(wndng)(wndng)状态）求状态）求uC(0uC(0) )和和iL(0iL(0) )；2.2.由换路定律由换路定律(dngl)(dngl)得得 uC(

58、0+) uC(0+) 和和 iL(0+) iL(0+)。3.3.画画0+等效电路。等效电路。4.4.由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b. b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。流方向相同）。小结第94页/共181页第九十五页，共181页。 一阶一阶RCRC电路的零输入电路的零输入(shr)(shr)响应响应 响应的原因是响应的原因是uc(0-) uc(0-) +UsRsRC+uc(t)K1K2t

59、= 0 0t= 0 0i(t)t 0C+Ruc(t)uc (0 )U0i (t)+uR(t)1 1、物理、物理(wl)(wl)过过程程第95页/共181页第九十六页，共181页。解得：解得： 0t eututcc)0()(式中：式中： RCRC， 为电路为电路(dinl)(dinl)的时间常数，具有时间的量纲的时间常数，具有时间的量纲。 R R为电容为电容C C两端看进去的等效电阻两端看进去的等效电阻0)0(0)()(UutudttduRCccc2 2、数学、数学(shxu)(shxu)推导推导: :C+Ruc(t)uc (0 )U0i (t)+uR(t)可求得特征根：可求得特征根：RCs1通

60、解通解：Rctckeu代入初始条件，代入初始条件，得得0Uk 第96页/共181页第九十七页，共181页。 （1 1）uc(t)uc(t)只与电容电压初始值只与电容电压初始值uc(0+)uc(0+)及电路的及电路的特性有关（即与特性有关（即与s s或或有关：有关：S S称为电路的固有频率称为电路的固有频率, ,反映反映(fnyng)(fnyng)了电路的特性）了电路的特性）（2 2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性。）响应与初始状态成线性，称为零输入线性。 （3 3）时间常数决定了响应衰减的快慢，）时间常数决定了响应衰减的快慢，越大，越大，响应衰减的越慢，响应衰减的越慢，越小，响应衰减的越

61、快。越小，响应衰减的越快。0t eututcc)0()(3 3、对、对uc(t)uc(t)的讨论的讨论(toln)(toln)：第97页/共181页第九十八页，共181页。020010135. 0)2(,368. 0)(UeUuUeUuCC040030018. 0)4(,05. 0)3(UeUuUeUuCC工程上一般取过渡过程时间为工程上一般取过渡过程时间为 或或 。 43*时间常数时间常数 与与R、C成正比，成正比， 决定过渡过程时间。决定过渡过程时间。*在换路最初，电流(dinli)和电压均有最快的变化速度。第98页/共181页第九十九页，共181页。 （4 4）从波形可知，已知）从波形可

62、知，已知uc(0)uc(0)、 uc( uc() )及时间常数及时间常数,则则uc(t)uc(t)可唯一可唯一(wi y)(wi y)确确定定,uc(0),uc(0)、uc(uc() )、称为三要素。称为三要素。U0uc(t)t4 暂态暂态过程过程稳态稳态过程过程0第99页/共181页第一百页，共181页。C+Ruc(t)uc (0 )U0i (t)+uR(t)( )(0 )ti tie t0电阻上的电流为：电阻上的电流为：i(0+)i(0+)i(t)t4 暂态过程暂态过程稳态过程稳态过程0第100页/共181页第一百零一页，共181页。对于对于(duy)RC(duy)RC电路，任何支路上的零

63、输入响应形式为电路，任何支路上的零输入响应形式为： RC 0t eftft,)0 ()(0t eututRR)0()(电阻电阻(dinz)上的电压上的电压为：为：第101页/共181页第一百零二页，共181页。* * 电路中的电流和电压响应与电路中的电流和电压响应与U0U0成正比，这是线性动态成正比，这是线性动态电路的零输入电路的零输入(shr)(shr)比例性。比例性。* * 整个过程整个过程(guchng)(guchng)电阻消耗的电能等于电容的电阻消耗的电能等于电容的原始储能。原始储能。02022002)21()/(CUdtReRUdtRiwRCtR第102页/共181页第一百零三页，共

64、181页。 一阶一阶RL电路和零输入电路和零输入(shr)响应响应 响应的原因是响应的原因是iL(0-) 0)0(0)()(IitRidttdiLlllt0t0R RIst=0L+- -+-uRuLiLL- -+- -uRuLiLR R+i iL L(0(0+ +) )=I0( )(0 )tllL i tie t0 R解得：解得：第103页/共181页第一百零四页，共181页。 R为动态元件两端看进去为动态元件两端看进去(jn q)的等的等效电阻效电阻, 是是t0以后的时间常数。以后的时间常数。RCRL0t eftf t )0()(或 所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零所以，对于一阶

65、电路，任何支路上电压和电流的零输入响应都有如下形式：输入响应都有如下形式：RL 0t eutu tll)0()(电感电感(din n)(din n)上的电压为：上的电压为：L- -+- -uRuLiLR R+i iL L(0(0+ +) )=I0第104页/共181页第一百零五页，共181页。 /0( )tLL RLiutLRI et dd /0( )0tL RLi tI ettI0iL0连续连续函数函数跃变跃变 电压电压(diny)(diny)、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；表明-RI0uLt0iL+uLR第105页/共181页第一百零六页，共

66、181页。 响应与初始状态成线性关系，其衰减响应与初始状态成线性关系，其衰减(shui jin)(shui jin)快慢快慢与与L/RL/R有关有关; ; LR亨韦伏 秒秒欧安 欧安 欧令令 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 = L/R时间常数时间常数 的大小反映了电路的大小反映了电路(dinl)(dinl)过渡过程时间的过渡过程时间的长短长短L大 W=LiL2/2 起始能量(nngling)大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量(nngling)小放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定：第106页/共181页第一百零七页，共181页。 能量能量(nngling)(nngling)关系关系20RWi R td电感不断释放电感不断释放(shfng)(shfng)能量被电阻吸能量被电阻吸收收, , 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设 iL(0+)=I0电感放出电感放出(fn (fn ch)ch)能量：能量： 2012LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： 2/0