科学计算与数学建模第二章PPT课件

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1、 求未知函数近似表达式的插值法2 求插值多项式的Lagrange法3 求插值多项式的Newton法45 求插值多项式的改进算法6 求函数近似表达式的拟合法1 城市供水量的预测问题第2章 城市供水量的预测模型 插值与拟合算法7 城市供水量预测的简单方法 第1页/共153页2.1 城市供水量的预测问题 为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量为了节约能源和水源，某供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市便安排未来（该时间段）的生产调度计划。现有某城市7 7年用水

2、量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量年用水量的历史记录，记录中给出了日期、每日用水量（吨（吨/ /日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预日）。如何充分地利用这些数据建立数学模型，预测测20072007年年1 1月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和月份城市的用水量，以制定相应的供水计划和生产调度计划。生产调度计划。表某城市7年日常用水量历史记录（万吨/日）日期日期2000010120000101200001022000010220061230200612302006123120061231日用水量日用水量122.1790122.1790128.2410128.2410150.40

3、168150.40168148.2064148.2064第2页/共153页表2000-2006年1月城市的总用水量（万吨/日）年份年份20002000200120012002200220032003200420042005200520062006用水量用水量4032403241414186418602540254429642969866986643744374852852443544352344234445054505427442744517451769936993利用这些数据，可以采用时间序列、灰色预测等方法建立数学模型来预测2007年1月份该城市的用水量。如果能建立该城市的日用水量随时间变

4、化的函数关系，则用该函数来进行预测非常方便。但是这一函数关系的解析表达式是没办法求出来的，那么能否根据历史数据求出该函数的近似函数呢？根据未知函数的已有数据信息求出其近似函数的常用方法有插值法和数据拟合。本章将介绍插值法和数据拟合，并用这两种方法给出该城市供水量进行预测。第3页/共153页2.2 求未知函数近似表达式的插值法 一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的一般地，在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，函数在区间上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到该函数在有限个点上的函数值（即只能通过实验和观测得到该

5、函数在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数的性态，甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些甚至直接求出其它一些点上的函数值是非常困难的。在有些情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当情况下，虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得复杂，使用起来很不方便。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数作为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、

6、然而为的近似。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和却是目前常用的方法，它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。第4页/共153页 设函数 在区间 上连续，且在 个不同的点 上分别取值 ，在一个性质优良、便于计算的函数类 中，求一简单函数 ，使 为函数在节点 处的插值函数。求插值函数 的方法称为插值法。插值函数 类 的取法不同，所求得的插值函数 逼近 的效果就不同，它的选择取决于使用上的需要。常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多

7、项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。( )yf x,a b1n 01,naxxxb01,nyyy( )P x 0,1,iiP xy inixx( )f x , a b01,x xx( )f x( )P x01,nxxx( )P x( )P x( )fx第5页/共153页 在多项式插值中，求一次数不超过在多项式插值中，求一次数不超过 的代数多项式的代数多项式 使使 ( () ) 其中其中 多项多项称称为函数为函数 的的 次插值值多项式。次插值值多项式。 次插值多项式次插值多项式 的几何意义：过曲线的几何意义：过曲线 上的上的 个个点点 n 01nnnP xaaxa x 0,1,n

8、iiPxy in01,naaa( )f xnn nP x( )yf x1n ( , )(0,1, )iix y inn( )nyP x( )yf x图第6页/共153页 nP x 由线性代数知，线性方程组的系数行列式是由线性代数知，线性方程组的系数行列式是 阶范德蒙（阶范德蒙（VandermondeVandermonde）行列式，且）行列式，且0,1,ia in010000111101nnnnnnnnnaa xa xyaa xa xyaa xa xy （）1n 200021111102111nnniijijnnnnxxxxxxVxxxxx第7页/共153页 0,1,nx xx,a b0ijx

9、x 0, 1,nx xx第8页/共153页 2.3 求插值多项式的Lagrange法ia第9页/共153页 先考虑一下简单的插值问题：对节点先考虑一下简单的插值问题：对节点 中任意一中任意一点点 做一做一 次多项式次多项式 使它在该点上取值为使它在该点上取值为1,1,而在其余而在其余点点 上取值为零上取值为零, , 即即 表明表明 个点个点 都是都是 次多项式次多项式 的零点，故可的零点，故可设设 其中其中 为待定系数，由条件为待定系数，由条件 可得可得 0,1,ix in0kxknn( )klx0,1,1,1,ix ikkn 1()0kiiklxikn0,1,1,1,ix ikkn n( )

10、kl x0111( )()()()()()kkkknlxAxxxxxxxxxxkA( ) 1kl x 0111()()()()kkkkkkknAxxxxxxxx第10页/共153页 次插插多项式次插插多项式 。容易看出，这组多项式仅与。容易看出，这组多项式仅与节点的取法有关，称它们为在节点的取法有关，称它们为在 个节点上的个节点上的 次基次基本插值多项式或本插值多项式或 次插值基函数。次插值基函数。011011()()()()( )()()()()kknkkkkkkknx xx xx xx xl xxxxxxxxx （）0kxknn1nn01( ),( ),( )nlxlxlx1nnn第11页

11、/共153页 事实上，由于每个插值基函数事实上，由于每个插值基函数 n0 01 1( )( )( )n ny lxy lxy lx( )(0,1, )klx knnnix0,1,iy in()niPxnnPx001 1()()()nny lxy lxy lx0110011()()()()()()()()nkknkkkkkkkknxxxxxxxxyxxxxxxxx（） nL x 第12页/共153页 即即 这是一个线性函数，用线性函数这是一个线性函数，用线性函数 近似代替函近似代替函数数 ，在几何上就是通过曲线，在几何上就是通过曲线 上两点上两点 011010110( )xxxxL xyyxxx

12、x1010010( )()yyLxyxxxx1( )L x( )f x( )yf x0011( ,),( ,)x yx y1( )yL x( )yf x第13页/共153页 这是一个二次函数这是一个二次函数 ，用二次函数近似代替函数，用二次函数近似代替函数 ，在几何上就是通过曲线在几何上就是通过曲线 上的三点上的三点 作一抛物线作一抛物线 2n 1202012012010210122021xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx（）图2( )L x( )f x( )yf x001122(,),(,),(,)xyx yxy2( )yLx( )yf x第14页/共153页 故用线

13、性插值求得的近似值为：故用线性插值求得的近似值为：10010, 12111, 144121150100 x 1121x 010y 111y 1121100( )1011100 121121 100 xxL x图1115 121115 100115(115)101110.714100 121121 100L第15页/共153页 2115 121 115 144115 100 115 1441151151011100 121 144 121121 100 121 144115 100 115 12112144 100 144 12110.732L11510.732800( )nnjnkkjkjjk

14、xxLxyxx（）第16页/共153页 然后再通过外循环，即令然后再通过外循环，即令 从从0 0到到 ，累加得出插值结果，累加得出插值结果图0( )njkjkjjkxxlxxx( )nL xkj()n jkkn( )nLx第17页/共153页 在插值区间在插值区间 上用插值多项式上用插值多项式 近似代近似代替替 ，除了在插值节点，除了在插值节点 上没有误差以外，在其他点上一上没有误差以外，在其他点上一般有存在误差的。若记般有存在误差的。若记 则则 就是用就是用 近似代替近似代替 时所产生的截断误差，称时所产生的截断误差，称为插值多项式为插值多项式 的余项。的余项。 设设 在区间在区间 上有直到

15、上有直到 阶导数阶导数, , 为区间为区间 上上 个互异的节点，个互异的节点， 为满足条件为满足条件: : 的的 次插值多项式，则对于任何次插值多项式，则对于任何 有有 , a b()nPx()fxix( )( )( )nnR xf xP x( )nR x( )nP x( )f x( )nPx( )f x , a b1n 01,nxxx , a b1n( )nPx( )( )(0,1, )niiP xf x inn,xa b(1 )1()()()(1) !nnnfRxxn（）第18页/共153页其中其中 且依赖于且依赖于证明证明 由插值条件由插值条件 知知 ，即插值节点都是即插值节点都是 的零

16、点的零点, ,故可设故可设 其中其中 为待定函数。下面求为待定函数。下面求 。对区间。对区间 上异上异于于 的任意一点的任意一点 作辅助函数：作辅助函数： 不难看出具有如下特点不难看出具有如下特点（1 1）（2 2）在）在 上有直到上有直到 阶导数，且阶导数，且10( )() ,(a,b)nniixxxx()()niiP xf x( )0(0,1, )niR xin( )nR x1()()()nnRxKxx( )K x()Kx , a bixixx1( )( )( )( )( )nnF tf tP tK xt( )()0(0,1, )iF xF xin (1)(1)( )( )( )(1)!n

17、nFtftK x n , a b1n （）第19页/共153页 个互异的零点，根据罗尔个互异的零点，根据罗尔(Rolle)(Rolle)定理，在定理，在 的两个零点之间的两个零点之间， 至少有一个零点，因此，至少有一个零点，因此， 在在 内至少有内至少有 个互异的零点，对个互异的零点，对 再应用罗尔定理，推得再应用罗尔定理，推得 在在 内至少有内至少有 个互异的零点。继续上述讨论，个互异的零点。继续上述讨论，可推得可推得 在在 ( )F t , a b2n( )F t( )F t( )F t( , )a b1n( )F t( )Ft(,)a bn(1)( )nFt( , )a b(1)( )0

18、nF(1)()()(1)!0nfKxn(1 )()()(1) !nfKxnixx第20页/共153页 近似值，试估计它们的截断误差。近似值，试估计它们的截断误差。 现在现在 ， ， ，故，故 115( )f xx123/201011( )( )( )21()(),8R xfxxxxxx x 0100 x 1121x 115x 3/21100,12131(115)(115100)(115121)max81156 100.011258R第21页/共153页当用抛物插值求当用抛物插值求 的近似值时，其截断误差为的近似值时，其截断误差为 现在现在 ， ， 代入，即得代入，即得0100 x 1121x

19、115x521(115)(115100)(115121)(115144)100.001716R( )f xx2352012021( )( )( )3!1()()(),16Rxfxxxxxxxxx 第22页/共153页 设设 且且 为已知，若将用为已知，若将用 假设假设 在区间在区间 中变化不大，将上面两式相中变化不大，将上面两式相除，即得近似式除，即得近似式012xxxx( ) (0,1,2)if xi 01,xx( )yf x1y02,xx( )yf x2y110110122022021()()(),21()()(),2yyfxxxxxxyyfxxxxxx( )f x02,xx第23页/共1

20、53页 即即 来估计插值，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，来估计插值，这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。称为事后估计法。1122yyxxyyxx112121()xxyyyyxx（）21yy第24页/共153页 做节点，可算得做节点，可算得 的另一近似值的另一近似值 。 的误差为：的误差为：01100,121xx115110.714y 02100,144xx115210.682y1115121115(10.68210.714)0.00835144121y1y第25页/共153页2.4 求插值多项式的Newton法 由线性代数可知，任何一个不高于由线性代数可知，任何一个不

21、高于 次的多项式，都可表示成次的多项式，都可表示成函数函数 的线性组合，即可将满足插值条件的线性组合，即可将满足插值条件 的的 次多项式写成形式次多项式写成形式 其中其中 为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿顿NewtonNewton插值多项式，我们把它记成插值多项式，我们把它记成 , ,即即 因此，牛顿插值多项式因此，牛顿插值多项式 是插值多项式是插值多项式 的另的另一种表示形式一种表示形式, ,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增增加一个节点时整个计算机工作必须重新开始加一个节点时整个计算机工作必须重新开

22、始”n0010111,()(),()()()nxxxxxxxxxxxx()(0,1,)iiP xyinn010201011()()()()()()nnaa xxaxxxxaxxxxxx0,1,ka kn( )nNx 01021011nonnN xaa x xa x xx xa x xx xx x nNx（）nPx第26页/共153页 设函数设函数 在等距节点在等距节点 处的函数值处的函数值 为已知，其中为已知，其中 是正常数，称为步长，称两个相邻点是正常数，称为步长，称两个相邻点 和和 处函数值之差处函数值之差 为函数为函数 在点在点 处以处以 为步长的一阶向为步长的一阶向前差分前差分简称一阶

23、差分简称一阶差分，记，记 ，即，即 于是，函数于是，函数 在各节点处的一阶差分依次为在各节点处的一阶差分依次为 又称一阶差分的差分又称一阶差分的差分 为二阶差分。为二阶差分。一般地，定义函数一般地，定义函数 在点在点 处的处的 阶差分为：阶差分为： ( )f x00,1,kxxkh kn kkf xyhkx1kx1kkyy( )f xkxhky1kkkyyy( )f x01012111,nnnyyyyyyyyy21kkkkyyyy ( )f xkxm111mmmkkkyyy 第27页/共153页 在等距节点在等距节点 即可得即可得 。 kxkyky2ky3ky4ky0 x2x3x4x1x0y1

24、y2y3y4y0y1y2y3y20y21y22y30y31yiy 0(0,1,)kxxkh kn00nNxy00ay第28页/共153页 再由插值条件再由插值条件 可得：可得： 由插值条件由插值条件 可得：可得： 一般地，由插值条件一般地，由插值条件 可得可得: : 于是，满足插值条件的插值多项式为：于是，满足插值条件的插值多项式为： 11nNxy100110yyyaxxh0202202100222021222!yxxyyyyyyhaxxxxhhh(1,2,)!kokkyaknkh22nNxynkkNxy 2000000101122!nnnnyyyN xyx xx xx xx xx xx xh

25、hn h第29页/共153页 令令 并注意到并注意到 则可简化为则可简化为 这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前这个用向前差分表示的插值多项式，称为牛顿向前插值公式，简称前插公式。它适用于计算表头插公式。它适用于计算表头 附近的函数值。附近的函数值。 0(0)xxth t0kxxkh2000001112!nnt tt ttnNxthyt yyyn （）0 x 11001,(,)1 !nnnnt ttnRxthhfxxn （）第30页/共153页sin(0.12)表xs in xy2y3y0.10.20.30.40.50.60.295520.198670.099830.4

26、79430.389420.564640.098840.096850.093900.090010.08521-0.00389-0.00295-0.00094-0.00096-0.00480-0.00091-0.00199第31页/共153页 处的函数值和各阶差分。若用线性插值求处的函数值和各阶差分。若用线性插值求 用二次插值得：用二次插值得：00.1x 00.120.10.20.1xxth23000,yyysin x00.1x sin(0.12)1sin(0.12)(0.12)0.099830.20.099840.11960N21sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1)0.09983

27、0.2 0.09884( 0.00199)2(0.12)0.000160.11976NN 第32页/共153页 用三次插值得：用三次插值得： 因因 与与 32sin(0.12)(0.12)0.2 (0.2 1) (0.22)(0.12)( 0.00096)60.11971NN 430.2 (0.2 1) (0.22) (0.23)(0.12)(0.1)sin(0.4)0.00000224R3(0.12)N2(0.12)N40y3(0.12)0.11971Nsin(0.12)第33页/共153页 在等距节点在等距节点 下，除了向前差分下，除了向前差分外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分

28、别如下：外，还可引入向后差分和中心差分，其定义和记号分别如下： 在点在点 处以处以 为步长的一阶向后差分和为步长的一阶向后差分和 阶向后差分分阶向后差分分别为：别为： 在点在点 处以处以 为步长的一阶中心差分和为步长的一阶中心差分和 阶中心差分分阶中心差分分别为：别为：0(0,1, )kxxkh kn( )y f xkxhm1111(2,3, )kkkmmmkkkyyyyyymkxhm1122111122(2,3,)kkkmmmkkkyyyyyym第34页/共153页 根据插值条件根据插值条件 得到一个用向后差分表示的插值多项式：得到一个用向后差分表示的插值多项式：1122,22kkkkhhy

29、fxyfx10,nnxxx 012111nnnnnnnN xbb x xb x xx xb x xx xx x (,1,1,0)niiNxy in n 第35页/共153页 21112!nnnnnnnt tt ttnNxthyt yyyn （）nx 1101(,)1 !nnnnnt ttnRxthhfxxn（）sin(0.58)第36页/共153页 的近似值。的近似值。“”线标出的各数依次给出了线标出的各数依次给出了 在在 处的处的函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故函数值和向后差分值。因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算，且用三次插值进行计算，且 50.6x sin(0

30、.58)5xsin x50.6x 50.58 0.60.20.1xxth第37页/共153页 3( 0.2) ( 0.2 1)sin(0.58)(0.58)0.56464( 0.2) 0.08521( 0.00480)2( 0.2) ( 0.2 1) ( 0.22)( 0.00091)60.54802N 0.6,0.5,0.4,0.3x 30.2 ( 0.2 1) ( 0.22) ( 0.2 3)4(0.58)(0.1)sin(0.6)0.00000224R 第38页/共153页 当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化当插值节点非等距分布时，就不能引入差分来简化牛顿插值多项式，此时可用差

31、商这个新概念来解决。牛顿插值多项式，此时可用差商这个新概念来解决。 设函数设函数 在一串互异的点在一串互异的点 上的上的值依次为值依次为 我们称函数值之差我们称函数值之差 与自变量之差与自变量之差 的比值的比值 为函数为函数 关于关于 点的一阶差商，记作点的一阶差商，记作( )f x012,iiixxx012()( )()iiif xf xf x 、10()()iif xf x10iixx1010()()iiiifxfxxx( )fx10,iixx01,iif xx第39页/共153页 为函数为函数 关于点关于点 的二阶差商（简称二阶差的二阶差商（简称二阶差商），记作商），记作 ， 一般地，可

32、通过函数一般地，可通过函数 的的 阶差商定义的阶差商定义的 阶阶差商如下：差商如下：102101121021()()()(),fxfxfxfxf xxf xxxxxx120120,iiiiiifxxfxxxx( )f x012iiixxx、 、012,iiifxxx120101220,fxxfxxfxxxxx( )f x1mm101010,mmmmiiiiiiiiifxxfxxfxxxxx第40页/共153页 二阶差商 kx()kf x 一阶差商 0 x1x2x3x0()f x1( )f x2()f x3()f x01,f x x12 ,f x x23,f x x012,f x x x123

33、,f x x x0123,f x x x x表 三阶差商差商具有下列重要性质（证明略）：第41页/共153页（1 1）函数）函数 的的 阶差商阶差商 可由函数值可由函数值 的线性组合表示，且的线性组合表示，且（2 2）差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。）差商具有对称性，即任意调换节点的次序，不影响差商的值。例如例如（）当（）当 在包含节点在包含节点 的某个区间上存在时，的某个区间上存在时，在在 之间必有一点之间必有一点 ，使，使（4 4）在等距节点）在等距节点 情况下，可同时引入情况下，可同时引入 阶差分与差商，且有下面关系：阶差分与差商，且有下面关系：( )f x01,m

34、f xxxm 01mf xf xf x、 010011,()()()()mimiiiiiiimf xf x xxxxxxxxxx012102120,.f xx xf x xxf x xx mfx0,1,jixjm01,miiixxx 10,!immiiff xxxm，00,1,kxxkh knmmn第42页/共153页 故满足插值条件故满足插值条件 的的 次插值多项式为：次插值多项式为： 0011,!,!mmmmnnnnmmyfxxxmhyfxxxmh0001(), (1,2, )kkaf xaf x xxkn0,1,niiNxy in 00100120101011,()()()nnnNxf

35、xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxn第43页/共153页解解 先构造差商表先构造差商表0()10fx01,0.047619f x x 012 , ,0.000094f x x x 第44页/共153页 故用线性插值所得的近似值为：故用线性插值所得的近似值为： 用抛物插值所求得的近似值为：用抛物插值所求得的近似值为： 来估计截断误差（证明略）来估计截断误差（证明略） 注意注意 上式中的上式中的 阶差商阶差商 与与 的值有关，的值有关，故不能准确地计算出故不能准确地计算出 的精确值，只能对它做一种估的精确值，只能对它做一种估计。计。1115(115)100.047619

36、 (115 100)10.7143N21115(115)(115) ( 0.000094) (115 100) (115 121) 10.7228NN 011( ),( )nnnRxf xxxxx1n 01,mf x xx( )f x01,mf x xx第45页/共153页例例当四阶差商变化不大时，可用当四阶差商变化不大时，可用近似代替近似代替01234 , ,f x x x x x0123, f x x x x x第46页/共153页2.5 求插值多项式的改进算法先以先以 为节点作五次插值多项为节点作五次插值多项式式 ，再以再以 为节点作十次插值多为节点作十次插值多项项式式 ，并将曲线并将曲

37、线21( )( 11)125f xxx 21(0,1,5)5ixi i 11(0,1,10)5ixi i 5( )P x10( )Px51021( ),( ),( )( 1,1)125f xyP xyPx xx 第47页/共153页第48页/共153页 虽然在局部范围中，例如在虽然在局部范围中，例如在 区间中，区间中， 比比 较好地逼近较好地逼近 , ,但从整体上看，但从整体上看， 并非处处都比并非处处都比 较好地逼近，尤其是在较好地逼近，尤其是在 区间的端点附近。进一步的分析区间的端点附近。进一步的分析表明，表明，当当 增大时，该函数在等距节点下的高次插值多项式增大时，该函数在等距节点下的高

38、次插值多项式 ，在，在 两端会发生激烈的振荡。这种现象称为龙格（两端会发生激烈的振荡。这种现象称为龙格（Runge)Runge)现象。这表现象。这表明，在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想。明，在大范围内使用高次插值，逼近的效果可能不理想。 另一方面，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的另一方面，插值误差除来自截断误差外，还来自初始数据的误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作越大，误差和计算过程中的舍入误差。插值次数越高，计算工作越大，积累误差也可能越大。积累误差也可能越大。 因此，在实际计算中，常用分段低次插值进行计算，即把整因此，在实际计算中，常用分段低次插值进行

39、计算，即把整个插值区间分成若干小区间，在每个小区间上进行低次插值。个插值区间分成若干小区间，在每个小区间上进行低次插值。 0.2,0.210( )Px5( )P x( )f x10( )Px5( )P x1,1n1,1第49页/共153页( )yf x 1n 01nxxx01nyyy1,iixxx( )f x1,iixx1,iixxx11111 ( )( )iiiiiiiixxxxf xP xyyxxxx第50页/共153页 类似地，为求类似地，为求 的近似值的近似值. .也可选取距点最近的三个节点也可选取距点最近的三个节点 进行二次插值，即取进行二次插值，即取 的可通过下面方法确定：的可通过

40、下面方法确定： 用图表示为：用图表示为：11,iiixx xi01211211121122112jjjjnnnxijxnxxx xxxxxxxx11211( )( )()iijkk ij ikjj kxxf xP xyxx x11,iiixx x第51页/共153页第52页/共153页 从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的所谓样条（发展起来的所谓样条（Spline)Spline)的插值方法，既保留了分段低次的插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样插值多项式的各种优点，又提高

41、了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越广泛的应用。里得到越来越广泛的应用。 本节介绍应用最广泛且具有二阶连续导数的三次样条插值函本节介绍应用最广泛且具有二阶连续导数的三次样条插值函数。数。 三次样条插值函数的定义三次样条插值函数的定义 对于给定的函数表对于给定的函数表第53页/共153页 其中其中 ，若函数，若函数 满足：满足： （1 1）在每个子区间）在每个子区间 上是不高于三次的多上是不高于三次的多项式；项式； （2 2） 在在 上连续；上连续； （3 3）满足插值条件）满足插

42、值条件 则称则称 为函数关于节为函数关于节点点 的三次样条插值。的三次样条插值。 边界条件问题的提出与类型边界条件问题的提出与类型 注：单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。注：单靠一张函数表是不能完全确定一个三次样条插值函数的。 事实上，由条件（事实上，由条件（1 1）知，三次样条插值函数）知，三次样条插值函数 是一个分是一个分段三次多项式，若用段三次多项式，若用 表示它在第表示它在第 个子区间个子区间 上的表达上的表达式，则形如：式，则形如： 这里有四这里有四个待定系数个待定系数 。子区间共有。子区间共有 个，确定个，确定 需要确需要确定定 个待定系数。个待定系数。01na

43、xxxb ( )S x1,(1,2,)iixxin( ),( ),( )S x S x Sx , a b( )(0,1, )iiS xy in( )S x01,nx xx( )S x( )S xi1,iixx2301231( ),iiiiiiiSxaa xa xa xxxx(0,1,2,3)ijaj n( )S x4n第54页/共153页 另一方面，要求分段三次多项式另一方面，要求分段三次多项式 及其导数及其导数 在整个插值区间在整个插值区间 上连续，只要在各子区间的端点上连续，只要在各子区间的端点 连续即可。故由条件（连续即可。故由条件（2 2），（），（3 3）可得待定系数应满足的）可得待

44、定系数应满足的 个方程为个方程为: : 由此可以看出，要确定个待定系数还缺少两个条件，这两个由此可以看出，要确定个待定系数还缺少两个条件，这两个条件通常在插值区间条件通常在插值区间 的边界点的边界点 处给出，称为边界处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：条件。边界条件的类型很多，常见的有：( )S x( ),( )S x Sx ,a b(1,2,1)ix in42n(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)(0)(0)(1,2,.,1)( )(0,1,., )iiiiiiiiS xS xinS xS xinSxSxinS xyin , a b,a b第55页/共

45、153页 （1 1）给定一阶导数值）给定一阶导数值 （2 2）给定二阶导数值）给定二阶导数值 特别地，特别地， 称为自然边界条件，满足自然边界称为自然边界条件，满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。条件的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。 （3 3）当）当 是周期为是周期为 的函数时，则要求的函数时，则要求 及其导数都及其导数都是以是以 为周期的函数，相应的边界条件为为周期的函数，相应的边界条件为 三次样条插值函数的求法三次样条插值函数的求法系数系数 ，从而得到三次样条插值函数，从而得到三次样条插值函数 在各个子区间在各个子区间 的表的表达式达式 。但是，这种做法的计算工

46、作量大，不便于实际应用。但是，这种做法的计算工作量大，不便于实际应用。下面介绍一种简便的方法。下面介绍一种简便的方法。00(),()nnS xy S xy00(),()nnSxy Sxy0()()0nSxSx( )f xba( )S xba00(0)(0),(0)(0)nnS xS xSxSxija( )S x1,iixx( )iS x第56页/共153页 设在节点设在节点 处处 的二阶导数为的二阶导数为 因为在子区间因为在子区间 上上 是不高于三次是不高于三次的多项式，其二阶导数必是线性函数（或常数）。于是，的多项式，其二阶导数必是线性函数（或常数）。于是，有有 记记 则有则有 连续积分两次

47、得：连续积分两次得： ix( )S x( )(0,1, )iiSxM in1,iixx( )( )iS xS x11111( ),iiiiiiiiiiixxxxSxMMxxxxxxx1iiihxx11( )iiiiiiixxxxSxMMhh33111()()( )66iiiiiiiiiixxxxS xMMA xxBhh第57页/共153页 其中其中 为积分常数。利用插值条件为积分常数。利用插值条件易得：易得： 综合以上讨论可知，只要确定综合以上讨论可知，只要确定 ，这，这 个个值，就可定出三次样条插值函数。值，就可定出三次样条插值函数。,iiA B11(),( )iiiiiiS xyS xy1

48、12111( )()61( )6iiiiiiiiiiyyA xMMhB xyMh3322111111()()( )()()6666(,1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxMxxMxxS xMMyhyhhhhhxxxin(0,1, )iM in1n第58页/共153页 为了求出为了求出 ，利用一阶函数在子区间连，利用一阶函数在子区间连接点上连续的条件即接点上连续的条件即 得得 故故 ，并由此得：，并由此得：(0,1, )iM in1(0)(0)(0)(0)iiiiiiS xS xSxSx 221122iiiiiixxxxSxMMhh 11063iiiiiiiiiyyhhS

49、xMMhi1i( )S x1 ,iix x1( )iSx111111036iiiiiiiiiyyhhSxMMh第59页/共153页 两边同乘以两边同乘以 ，即得方程组，即得方程组 若记若记1111111636iiiiiiiiiiiiihhhhyyyyMMMhh16iihh111111111621,2,1iiiiiiiiiiiiiiiiihhyyyyMMMinhhhhhhhh111111,16,1,2,1iiiiiiiiiiiiiiiihhhhhhgfx xfxxhhin 第60页/共153页 可得则所得方程组可简写成可得则所得方程组可简写成 即即 这是一个含有这是一个含有 个未知数、个未知数、

50、 个方程的线性方程组。个方程的线性方程组。要确定要确定 的值，还需用到边界条件。的值，还需用到边界条件。 上的导数为：上的导数为：1121,2,1iiiiiiMMMg in10112121223212111222nnnnnnMMMgMMMgMMMg1n1niM0oSxynnSxyiM( )S x01,x x 221010110110111226xxxxyyhSxMMMMhhh 第61页/共153页 故由条件故由条件 立即可得立即可得 即即 同理，由条件同理，由条件 ，可得，可得 00Sxy10110010126yyhhyMMMh 100101162yyMMyhhnnSxy1162nnnnnnn

51、yyMMyhh01,nMMM第62页/共153页 其中其中 在第在第(2)(2)种边界条件下，由种边界条件下，由 0011111111212212nnnnnnMgMgMgMg0010116,6,nnnnngfx xyhgyfxxh000MSxynnnMSxy1n第63页/共153页 在第在第(3)(3)种边界条件种边界条件下下由由 ，直接可得，直接可得 由条件由条件 可得可得 注意到注意到 和和 ，上式整理后得：，上式整理后得：1111 02222222211112222nnnnnnnnnMgyMgMgMgy000nSxSx0nMM000nSxSx10111010112626nnnnnnnny

52、yhyyhhhMMMMMMhh0nyy0nMM第64页/共153页 若记若记 则所得方程可简写成则所得方程可简写成： 101111111162nnnnnnnnnhyyyyhMMMhhhhhhhh1011116,1,nnnnnnnnnnnhhgf xxf xxhhhhhh 112nnnnnMMMg12,nM MM111222211112222nnnnnnnnMgMgMgMg第65页/共153页 综上分析，有综上分析，有 满足第（满足第（1 1）或第（）或第（2 2）或第（）或第（3 3）种边界条件的三次样条插值）种边界条件的三次样条插值函数是存在且唯一的。三次样条插值函数的具体求解过程在下面函数

53、是存在且唯一的。三次样条插值函数的具体求解过程在下面的例子中给出了详细的说明。的例子中给出了详细的说明。第66页/共153页 在区间在区间 上求三次样条插值函数上求三次样条插值函数 ，使它满足边界，使它满足边界条件：条件： 解解 先根据给定数据和边界条件算出先根据给定数据和边界条件算出 由所给函数表知：由所给函数表知： 1.5,2( )S x( 1.5)0.75,(2)14SS,iiig iM(0,1,2,3)iMi 1230112231.511,0.75 ,2,8hhhf x xf x xf x x, ,(1,2,1)iiig in 1212120.6 ,0.5 ,0.4 ,0.5 ,6.6

54、 ,18gg第67页/共153页 故确定故确定 与与 的方程组为：的方程组为： 0gng001033231366,6,36gfxxygyfxxhh 012,MM M3M0123210060.620.406.600.520.518001236MMMM( )SxixiM01235,4,4,16MMMM 第68页/共153页 。 在本例中，将在本例中，将 代入，整理后得代入，整理后得 同理可得：同理可得： iM( )S x( )(1,2, )iS xin( )S x01,x x 3310220011101011111116666xxxxMxxxxMSxMMyhyhhhhh0101011.5,0,0.

55、125,1,5,4xxyyMM 321( )21 1.5,0S xxxx 22( )210,1Sxxx323( )24631,2Sxxxxx第69页/共153页 故所求三次样条插值函数为：故所求三次样条插值函数为： 3223221( 1.50)21(01)2463 (12)xxxS xxxxxxx()Sxx第70页/共153页第71页/共153页 上述求三次样条插值函数的方法，其上述求三次样条插值函数的方法，其基本思路基本思路和和特点特点是是: : 先利用一阶导数先利用一阶导数 在内节点在内节点 上上的连续性以及边界条件，列出确定二阶导数的连续性以及边界条件，列出确定二阶导数 的线性方程组（在

56、力学上称为三弯矩方程组），并由此出的线性方程组（在力学上称为三弯矩方程组），并由此出 ，然后用然后用 来表达来表达 。 通过别的途径也可求三次样条插值函数。例如，可以先利通过别的途径也可求三次样条插值函数。例如，可以先利用二阶导数在内节点上的连续性以及边界条件，列出确定一阶导用二阶导数在内节点上的连续性以及边界条件，列出确定一阶导数数 的线性方程组（在力学上称为三转角方程组），并由此出的线性方程组（在力学上称为三转角方程组），并由此出 ，然后用然后用 来表达来表达 。 在有些情况下，这种表达方法与前者相比较，使用起来更方在有些情况下，这种表达方法与前者相比较，使用起来更方便。便。( )S x(

57、1,2,.1)ix in0,1,iiMSxiniMiM S x0,1,iimSxinimim iS x第72页/共153页2.6 求函数近似表达式的拟合法 在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数在科学实验和生产实践中，经常要从一组实验数据据 出发，寻求函数出发，寻求函数 的的一个近似表达式一个近似表达式 （称为经验公式）。从几上，（称为经验公式）。从几上，就是希望根据给出的就是希望根据给出的 个点个点 ，求曲线求曲线 的一条近似曲线的一条近似曲线 。因此，这是一个曲线拟合。因此，这是一个曲线拟合的问题的问题。( ,)(1,2,)iix yim( )yf x( )yx m( ,)iix y(

58、 )yf x( )yx 第73页/共153页 多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函多项式插值虽然在一定程度上解决了由函数表求函数的近似表达式问题，但用它来解决这里提出的问题，数的近似表达式问题，但用它来解决这里提出的问题，有明显缺陷。有明显缺陷。 首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如首先，实验提供的数据通常带有测试误差。如要求近似曲线要求近似曲线 严格地通过所给的每个数据严格地通过所给的每个数据点点 ，就会使曲线保持原有的测试误差。当，就会使曲线保持原有的测试误差。当个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。个别数据的误差较大时，插值效果显然是不理想的。( )yx ( ,)ii

59、x y第74页/共153页 其次，由实验提供的数据往往较多（即其次，由实验提供的数据往往较多（即 较较大），用插值法得到的近似表达式，明显地缺乏实用大），用插值法得到的近似表达式，明显地缺乏实用价值。价值。 因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函因此，怎样从给定的一组数据出发，在某个函数类数类 中寻求一个中寻求一个“最好最好”的函数的函数 来拟合这组数据，来拟合这组数据，是一个值得讨论的问题。是一个值得讨论的问题。 随着拟合效果随着拟合效果“好好”、“坏坏”标准的不同，解决此标准的不同，解决此类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟类问题的方法也不同。这里介绍一种最常用的曲线拟合方法，

60、即最小二乘法。合方法，即最小二乘法。m( )x第75页/共153页曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 如前所述，在一般情况下，我们不能要求近似如前所述，在一般情况下，我们不能要求近似曲线曲线 严格地通过所有数据点严格地通过所有数据点 ，亦不能要，亦不能要求所有拟合曲线函数在求所有拟合曲线函数在 处的偏差（亦称残差）。处的偏差（亦称残差）。 都严格地趋于零。都严格地趋于零。 但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变但是，为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势，要求都较小还是必要的。化趋势，要求都较小还是必要的。 达到这一目标的途径很多，常见的有：达到这一目标的途径很多，常见的有：(

61、)yf x( ,)iix yix( )(1,2,)iiixyim第76页/共153页(1)(1)选取选取 ，使偏差绝对值之和最小，即，使偏差绝对值之和最小，即(2)(2)选取选取 ，使偏差最大，绝对值最小，即，使偏差最大，绝对值最小，即(3)(3)选取选取 ，使偏差平方和最小，即，使偏差平方和最小，即( ) x11( )minmmiiiiixy( )x11maxmax( )miniiii mi mxy ( ) x2211 ( )minmmiiiiixy第77页/共153页 为了方便计算、分析与应用，我们较多地根据为了方便计算、分析与应用，我们较多地根据“偏偏差平方和最小差平方和最小”的原则（称

62、为最小二乘原则）来选取的原则（称为最小二乘原则）来选取拟合曲线拟合曲线 按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为最按最小二乘原则选择拟合曲线的方法，称为最小二乘法。小二乘法。 本章要着重讨论的线性最小二乘问题，其基本本章要着重讨论的线性最小二乘问题，其基本提法是：对于给定数据表提法是：对于给定数据表( )yx 第78页/共153页 要求在某个函数类要求在某个函数类 （其中（其中 ）中寻求一个函数）中寻求一个函数 使使 满足条件满足条件 式中式中 是函数类是函数类 中任一函数中任一函数。01( ),( ),( )nxxx nm*11( )( )( )( )onnxaxaxax*( ) x*22()

63、11()min()mmiiiixiixyxy0011( )( )( )( )nnxaxaxax第79页/共153页 ，称为上述最小二乘问题的最小二乘解，称为上述最小二乘问题的最小二乘解 。 由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两由上可知，用最小二乘法解决实际问题包含两个基本环节：个基本环节： 先根据先根据 所给数据点的变化趋势与问题的实所给数据点的变化趋势与问题的实际背景确定函数类际背景确定函数类, ,即确定即确定 ，即确定其系，即确定其系数数 。*( )x( ) x( )x*( )x*(0,1, )kakn第80页/共153页 是多元函数是多元函数 的极小点，从而的极小点，从而 满足方程组

64、：满足方程组： 即即*01,naaa2011(,)()mnnkkiiikoS aaaaxy *01,na aa0 (0,1,2, )kSkna00111()()().()0mkiiinniiixaxaxaxy第81页/共153页 亦即亦即若对任意的函数若对任意的函数 和和 ，引入记号，引入记号则上述方程组可以表示成则上述方程组可以表示成00111111()()()().()()()mmmmkiikiinkinikiiiiiiaxxaxxaxxxy( )h x( )g x1( ,)()()miiih gh xg x0011(,)(,).(,)(,)(0,1, )kknknkaaafkn 第82页

65、/共153页 写成矩阵形式即写成矩阵形式即 0001000101111101(,) (,)(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)nnnnnnnnafafaf 第83页/共153页事实上，最小二乘法的法方程可以用下面的方法形成。在中，当 时，令 ，即得方程组：将其写成矩阵形式：0011( )( )( )( )nnxaxaxax,1,2,ixx im( )iixy00111111002112220011()()()()()()()()()nnnnmmnnmmaxaxaxyaxaxaxyaxaxaxy0111100021221101( )( )( )()()()()()()

66、nnmmnmnnxxxayxxxayxxxay第84页/共153页令则方程组可写为：将方程两边同时乘以 ，则可以得到 这就是最小二乘法的法方程（）。 当 线性无关时，可以证明它有唯一解，并且相应的函数（）就是满足条件（）的最小二乘解。0111102122(1)01( )( )( )()()()()()()nnmnmmnmxxxxxxAxxx01naaa 01nyyyy (1)mnAy TA(1)TTmnA AA y 01( ),( ),.,( )nxxx*0011,.,nnaa aaaa当第85页/共153页 综上分析可得综上分析可得 对任意给定的一组实验数据对任意给定的一组实验数据 ( (其其中中 互异互异),),在函数类在函数类 ( ( 线性无关线性无关) )中中, ,存在唯一的函数存在唯一的函数 ( ,)(1,2,)iix yimix01( ),( ),.( ) ()nxxxnm 01,.,n *0011( )( ).( )nnaxaxax*(0,1,., )ia in第86页/共153页 作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是作为曲线拟合的一种常用的情况，若讨论的是代数多项式