高等数学：10-6傅里叶级数(2)

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1、二、计算定积分二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数函数幂级数展开的应用函数幂级数展开的应用第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 55

2、1! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数三、欧拉公式三、欧拉公式复数项级数复数项级数: )()()(2211nnivuivuivu.), 3 , 2 , 1(,为实常数或实函数为实常数或实函数其中其中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .三个基本展开式三个基本展开式,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe nixixn

3、ixixe)(!1)(! 2112)!12()1(! 31()!2()1(! 211(12322 nxxxinxxnnnn.sincosxix xcosxsinxixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又揭示了揭示了三角函数三角函数和和复变量指数函数复变量指数函数之间的一种之间的一种关系关系. .欧拉公式欧拉公式四、微分方程的幂级数解法四、微分方程的幂级数解法 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程将其代入原方程, 比较同次幂系

4、数可定常数比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为设所求解为本质上是待定系数法本质上是待定系数法nnxxa)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 2yxy求方程解解:根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 52201xxy机动 目

5、录 上页 下页 返回 结束 二、二阶齐次线性微分方程 0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到注意到:此题的上述特解即为此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、小结五、小结近似计算，求不可积类函数的定积分，近似计算，求不可积类函数的定积分，微分方程的幂级数的解法微分方程的幂级数的解法欧拉公式的证明；欧拉公式的证明；问题问题:1.在什么条件下函数

6、能展成三角级数在什么条件下函数能展成三角级数?第六节第六节傅里叶级数傅里叶级数 2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?nanb01( )(cossin)2nnnaf xanx bnx？一、问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 叠加过程如下：叠加过程如下：tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4

7、ttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 结论结论 可以看出，随着项数的增加，对应的曲线逐可以看出，随着项数的增加，对应的曲线逐 渐逼近渐逼近 ( ).u t这就是说，矩形波函数可以通过正弦这就是说，矩形波函数可以通过正弦 波迭加得到波迭加得到. 交响乐演出它的物理意义是很明确的：可以把一个比较复杂的周期运动它的物理意义是很明确的：可以把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。二、三角级数,三角函数系的正交性 10)s

8、in()(nnntnAAtf1.1.三角级数三角级数这种展开称谐波分析这种展开称谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 这是三角级数的实用形式这是三角级数的实用形式2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函数系三角函数系), 3 , 2 , 1( n, 0s

9、insin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中上的积分不等于上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkk

10、kxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 ,220 a dxxfa)(10011cossin2kkkkadxakxdxbkxdx.)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb )

11、, 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann傅里叶系数傅里叶系数代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? ?设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数,并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第

12、一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点为间断点其中其中nnba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点定理中所要求的条件，定理中所要求的条件，一般的初等函数与分一般的初等函数与分段函数都能满足，这段函数都能满足，这就保证了傅就保证了傅里里叶级数叶级数广泛的应用性广泛的应用性. .定理定理3 3 ( (收敛定理收敛定理, , 展开定理展开定理) )例1. 设设

13、 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. oyx11xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx),2,0,(xx77sin

14、 x99sinx1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 将将 f (x)看成矩形波，傅看成矩形波，傅氏级数表明，它可以用无氏级数表明，它可以用无穷多次奇次谐波的和去替穷多次奇次谐波的和去替代代.傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图的情况见右图.xoy例2.上的表达式为上的表达式为),xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x2

15、02cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于22)(0注意注意: :对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在区间

16、区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏充并且满足狄氏充分条件分条件,也可展开成傅氏级数也可展开成傅氏级数.)(xf, 作法作法: :)0()0(21 ff端点处收敛于端点处收敛于将将f(x)延拓成延拓成 为周期的周期函数为周期的周期函数 F(x)，将，将F(x)按上面的方法展开成傅氏级数，最后将按上面的方法展开成傅氏级数，最后将展开式限制在区间展开式限制在区间 内。内。2,展开式的展开式的如果将定义在区间如果将定义在区间 上的函数上的函数 展成傅氏级数，只需将计算傅里叶系数公展成傅氏级数，只需将计算傅里叶系数公式的积分区间由式的积分区间由 换成换成)(xf ,2 c c, ,2 c c延拓前 y

17、f(x)延拓后 yF(x)下页, )(xxf周期延拓周期延拓)(xF傅傅里里叶展开叶展开,)(在xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数定义在 ,上的函数 的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它其它)(xf解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .).(,xf收收敛敛于于里里叶叶级级数数展展开开式式在在拓拓广广的的周周期期函函数数的的傅傅 xy0 2 2 .0,0,)(展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数，将将函函数数 xxxxxf例例3 3计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 00d1d)(1xxxx, xnxxfandcos)(1 00dcos1d

18、cos)(1xnxxxnxx)1(cos22 nn1)1(22 nn , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk xnxxfbndsin)(1 00dsin1dsin)(1xnxxxnxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为), 3 , 2 , 1( n利用傅氏展开式求数项级数的和利用傅氏展开式求数项级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118,4131211222 设设),8(513112221 ,6141212222 ,4

19、1312112223 ,44212 ,243212 21 ,62 312.122 为周期的连续函数，且为周期的连续函数，且是以是以设设 2)(xf 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可逐项积分，可逐项积分，试证明：试证明：, )(2)(1122202 nnnbaadxxf.)(,的傅立叶系数的傅立叶系数为为其中其中xfbann证证 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 102sin)(cos)()(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例例 4可可逐逐项项积积分分，)(xf dxxfa)(20 dxxf)(2 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdx

20、xfa dxxfa)(20 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa0a na nb , )(2)(122202 nnnbaadxxf结论可证结论可证.作业作业 习题习题10-6 1. （1）（）（4） 5 6（1）播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结思考题思考题 若函数若函数)()(xx ，问：，问：)(x 与与)(x 的傅里叶系数的傅里叶系数na、nb与与n 、n ), 2 , 1 , 0( n

21、之间有何关系？之间有何关系？思考题解答思考题解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念

22、；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结

23、四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数

24、的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式

25、；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周

26、期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近一、奇函数和偶函数的傅里叶级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1)(1)当周期为当周期为 2的奇函数的奇函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数时时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann定理定理 一般说来一般说来,一

27、个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(2)(2)当周期为当周期为 2的偶函数的偶函数)(xf展开成傅里叶级展开成傅里叶级数时数时, ,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n奇函数奇函数 0sin)(2nxdxxf),

28、3 , 2 , 1( n同理可证同理可证(2)定义定义 如如果果)(xf为为奇奇函函数数, ,傅傅氏氏级级数数nxbnnsin1 称称为为正正弦弦级级数数. .如果如果)(xf为偶函数为偶函数, , 傅氏级数傅氏级数nxaanncos210 称为称为余弦级数余弦级数. . nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 2 2 3 3xy0,2)()12(

29、为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个在整个数轴上连续数轴上连续.,)( 为偶函数为偶函数tu, 0 nb

30、 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E), 2 , 1( n 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE当当当当), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu)( t.142cos21212 nnnxE二、函数展开成正弦级数或余弦级数二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的

31、周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 1xyo例5. 将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成

32、正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1knb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 ,与给定函数与给定函数1xyo因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 再求余弦

33、级数.x1y将将)(xf则有则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓作偶周期延拓 ,解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x5sin)2(514sin43sin)2(312sin2si

34、n)2(2xxxxxy 1 xy(2)(2)求余弦级数求余弦级数. .,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy 法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅傅里叶级数里叶级数和傅里叶积分傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶

35、著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 傅里叶傅里叶 (1768 1830)德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质. 他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明狄利克雷狄利克雷 (18 05 1859)三、小结三、小结1、基本内容、基本内容:奇

36、函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2, 0.的傅氏级数唯一的傅氏级数唯一展成周期为展成周期为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 思考题思考题.,)()(,)(定义的函数定义的函数上上成为成为才能使才能使应如何选择应如何选择上定义的函数上定义的函数是在是在设设 BAtftFBAb

37、axf思考题解答思考题解答,)(bBAaBA 应使应使.2,2abBabA 即即一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式 第十章 周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式一、以一、以2l为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开一、以一、以2L2L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数,2lT .2lT 定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函

38、数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数), 2 , 1( n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaaln

39、n 0cos)(2为为其中系数其中系数), 2 , 1 , 0( n证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为周期为周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn )sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzFlxz 二、典型例题二、典型例题k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2 , 2 上的

40、表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf, 将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n例例 2 2 将函数将函数 15510)( xxxf展开成傅展开成傅氏级数氏级数.解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x, 55 z)10()(

41、zfxf),(zFz ,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广的的周周期期函函数数满满足足).()5, 5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另解另解 1555cos)10(

42、51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n例3. 把展开成展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数正弦级数; (2) 余弦级数余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作作奇奇周期延拓周期延拓, 则有则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn

43、14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x在在 x = 2 k 处级处级数收敛于何值数收敛于何值?2oyx(2) 将 作作偶偶周期延拓周期延拓,)(xf),2, 1(0nbn2022xanxxnd2cos0222cos22sin2xnnxnxn1) 1(422nnxxf)(200d22xxa2kn2,0,) 12(822k),2, 1(k则有则有1222) 12(cos) 12(181kxkk)20( x12 kn说明说明: 此式对此式对0 x也成立也成立,8) 12(1212kk由此还可导出由此还可导出121nn8212141nn61212nn12)2(1kk1222) 12(co

44、s) 12(181)(kxkkxxf)20( x12) 12(1kk据此有据此有2oyx当函数定义在任意有限区间上时,方法方法1, , )(baxxf令令,2abzx即即2abxzzabzfxfzF, )2()()(2,2abab在在2,2abab上展成傅里叶级数上展成傅里叶级数)(zF周期延拓周期延拓将将2abxz)(xf在在,ba代入展开式代入展开式上的傅里叶级数上的傅里叶级数 其傅里叶展开方法其傅里叶展开方法:方法2, , )(baxxf令令,azxzazfxfzF, )()()(ab,0在在ab,0上展成上展成正弦正弦或或余弦余弦级数级数)(zF奇奇或或偶偶式周期延拓式周期延拓将将 代

45、入展开式代入展开式axz)(xf在在,ba即即axz上的上的正弦正弦或或余弦余弦级数级数 三、小结三、小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;以以2L为周期的函数的傅里叶级数为为周期的函数的傅里叶级数为),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2, 1 , 0(cos)(1 ndxlx

46、nxflalln), 3, 2, 1(sin)(1 ndxlxnxflblln一、复数形式的标准形式一、复数形式的标准形式代入欧拉公式代入欧拉公式,2cosititeet ,2sinieetitit )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 10222nlxnilxninlxnilxnineeibeeaa 10222nlxninnlxninneibaeibaa), 3 , 2 , 1( n 10nlxninlxnineCeCC,200aC 令令,2nnnibaC ,2nnnibaC ,)(lxninneCxf 于是有于是有), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxn

47、in傅里叶系数的复数形式傅里叶系数的复数形式傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式例例 设设)(xf是是周周期期为为 2的的周周期期函函数数,它它在在 )1 , 1 上上的的表表达达式式为为xexf )(,将将其其展展成成复复数数形形式式的的傅傅氏氏级级数数.解解 1121dxeecxinxn 11)1(21dxexincoscos1121122 nenenin, 1sinh11)1(22 ninn.1sinh11)1()(22xinnneninxf ), 2, 1, 0, 12( kkx式式的傅里叶级数的傅里叶级数 . 例2. 把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形解解: 在

48、一个周期在一个周期,22TT)(tu它的复数形式的傅里叶系数为它的复数形式的傅里叶系数为 2 2d1thTTh内矩形波的函数表达式为内矩形波的函数表达式为 022d)(1TTttuTc22Toyx22Th22,th2222,0TTtttetuTTtnid)(12 22nc22 2d1tehTTtniTnnhsin),2,1(nThtu)(hTtnineTnn2sin10n), 1,0,2(kTkt 2inTThTniTnieeinh21Ttnie222二、小结二、小结傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式,)(lxninneCxf ), 2, 1, 0()(21 ndxexflClllxnin注意注意:傅里叶级数的两种形式，本质上是一样傅里叶级数的两种形式，本质上是一样的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数傅里叶系数的复数形式傅里叶系数的复数形式