函数方程思想应用

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1、函数方程思想重难点归纳 函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化 考生应做到 （1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础 （2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系 掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略 典型题例示范讲解 例1已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为，（0），判断f(x)在定义域上的增减

2、性，并加以说明；(2)当0m1时，使f(x)的值域为logmm(1)，logmm(1)的定义域区间为,(0)是否存在？请说明理由 命题意图 本题重在考查函数的性质，方程思想的应用 知识依托 函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组 错解分析 第(1)问中考生易忽视“3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根 技巧与方法 本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题 解 （1）x3或x3 f(x)定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f(x)为减函数，当m1时，f(x)为增函数 （2）若f(x)在,上的值域为log

3、mm(1),logmm(1)0m1, f(x)为减函数 即即,为方程mx2+(2m1)x3(m1)=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在 例2已知函数f(x)=x2(m+1)x+m(mR)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角 求证 m5;(2)对任意实数,恒有f(2+cos)0，证明m3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sin)的最大值是8，求m 命题意图 本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围 知识依托 一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式 错解分析 第(1)问中

4、易漏掉0和tan(A+B)0，第(2)问中如何保证f(x)在1,3恒小于等于零为关键 技巧与方法 深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列 列式要周到，不遗漏 （1）证明 f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0 依题意 又A、B锐角为三角形内两内角A+Btan(A+B)0，即m5(2)证明 f(x)=(x1)(xm)又1cos1，12+cos3，恒有f(2+cos)0即1x3时，恒有f(x)0即(x1)(xm)0mx但xmax=3，mxmax=3(3)解 f(sin)=sin2(m+1)sin+m=且2,当sin=1时，f(sin)有最大值8 即1+(m+1)+m=8，m=3例3关

5、于x的不等式232x3x+a2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 解析 设t=3x，则t1,3，原不等式可化为a2a32t2+t,t1,3 等价于a2a3大于f(t)=2t2+t在1,3上的最大值 答案 (,1)(2,+)例4对于函数f(x)，若存在x0R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)（1）若a=1,b=2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y

6、=kx+对称，求b的最小值 解 （1）当a=1,b=2时，f(x)=x2x3，由题意可知x=x2x3，得x1=1,x2=3 故当a=1,b=2时，f(x)的两个不动点为1,3 （2）f(x)=ax2+(b+1)x+(b1)(a0)恒有两个不动点，x=ax2+(b+1)x+(b1)，即ax2+bx+(b1)=0恒有两相异实根=b24ab+4a0(bR)恒成立 于是=(4a)216a0解得0a1故当bR，f(x)恒有两个相异的不动点时，0a1 （3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又A、B关于y=kx+对称 k=1 设AB的中点为M(x,y)x1,x2是方程a

7、x2+bx+(b1)=0的两个根 x=y=，又点M在直线上有，即a0，2a+2当且仅当2a=即a=(0,1)时取等号，故b，得b的最小值 学生巩固练习 1 已知函数f(x)=loga(2a)2对任意x,+都有意义，则实数a的取值范围是( )A (0, B (0,) C ,1 D (,）2 函数f(x)的定义域为R，且x1，已知f(x+1)为奇函数，当x1时，f(x)=2x2x+1，那么当x1时，f(x)的递减区间是( )A ，+ B (1, C ,+ D (1,3 关于x的方程lg(ax1)lg(x3)=1有解，则a的取值范围是 4 如果y=1sin2xmcosx的最小值为4，则m的值为 5

8、设集合A=x4x2x+2+a=0,xR （1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意aB，不等式x26xa(x2)恒成立，求x的取值范围6 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由 7 已知函数f(x)=6x6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=f g2(x),gn(x)=fgn1(x),（1）求证 如果存在

9、一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切nN，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（,0）,对于任意xA，有g1(x)=f(x)=a0, g2(x)=fg1(x)=f(0)0，且n2时，gn(x)0 试问是否存在区间B（AB），对于区间内任意实数x，只要n2，都有gn(x)0 8 已知函数f(x)= (a0,x0) （1）求证:f(x)在(0,+)上是增函数；（2）若f(x)2x在(0,+)上恒成立，求a的取值范围；（3）若f(x)在m,n上的值域是m,n(mn)，求a的取值范围 参考答案 1

10、 解析 考查函数y1=和y2=(2a)x的图象，显然有02a1 由题意得a=，再结合指数函数图象性质可得答案 答案 A2 解析 由题意可得f(x+1)=f(x+1) 令t=x+1，则x=1t，故f(t)=f(2t)，即f(x)=f(2x) 当x1,2x1，于是有f(x)=f(2x)=2(x)2，其递减区间为，+) 答案 C3 解析 显然有x3，原方程可化为故有(10a)x=29,必有10a0得a10又x=3可得a 答案 a104 解析 原式化为 当1,ymin=1+m=4m=5 当11,ymin=4m=4不符 当1，ymin=1m=4m=5 答案 55 解 (1)令2x=t(t0)，设f(t)

11、=t24t+a 由f(t)=0在(0,+)有且仅有一根或两相等实根，则有f(t)=0有两等根时，=0164a=0a=4验证 t24t+4=0t=2(0,+)，这时x=1f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)0a0若f(0)=0，则a=0，此时4x42x=02x=0（舍去），或2x=4,x=2，即A中只有一个元素综上所述，a0或a=4，即B=aa0或a=4（2）要使原不等式对任意a(,04恒成立 即g(a)=(x2)a(x26x)0恒成立 只须x26 解 （1）方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)

12、=x2+2x （2）f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数 若满足题设条件的m,n存在，则又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0 由以上知满足条件的m、n存在，m=2,n=0 7 (1)证明 当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(kN)成立，则gk+1(x0)=fgk(x0)=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立 对一切nN,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0 （2）解 由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6

13、x06x02=x0,x0=0或x0=稳定不动点为0和 (3)解 f(x)0，得6x6x20x0或x1 gn(x)0fgn1(x)0gn1(x)0或gn1(x)1要使一切nN,n2，都有gn(x)0，必须有g1(x)0或g1(x)1 由g1(x)06x6x20x0或x1由g1(x)06x6x21故对于区间()和(1,+)内的任意实数x,只要n2,nN，都有gn(x)0 8 (1)证明 任取x1x20,f(x1)f(x2)=x1x20,x1x20，x1x20,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(0,+)上是增函数 （2）解 2x在(0,+)上恒成立，且a0,a在（0，+）上恒成立，令（当且仅当2x=即x=时取等号），要使a在(0,+)上恒成立，则a 故a的取值范围是,+) (3)解 由（1）f(x)在定义域上是增函数 m=f(m),n=f(n)，即m2m+1=0，n2n+1=0故方程x2x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到mn=1，故只需要=()240,由于a0，则0a 课前后备注