山东省垦利第一中学等四校高三上学期期末考试数学理试题解析版

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1、2018届山东省垦利第一中学等四校高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】集合， 则 。故答案为：B。2. 下列函数中，图象是轴对称图形且在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】A：是中心对称图像；不满足条件；B：是轴对称图形，但是在上不是单调递减的；C：，在区间上单调递增，也不是轴对称图形；D：是轴对称图形，在区间上是单调递增的。故答案为：B。3. 若，满足约束条件则的最大值为（

2、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0故答案为：C。4. 若角终边过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】角终边过点A（2，1），|OA|=，则cos=，则sin（）=cos=故选：A5. 已知双曲线（，）的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，双曲线（a0，b0）的焦点到渐近线的距离为，则b=，又由双曲线的离心率2，即e=2，即c=2a，则有b=a

3、=，解可得a=1，则双曲线的长轴2a=2；故答案为：C。6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件得到原图是一个侧棱垂直于底面的三棱锥，底面是等腰直角三角形；后面是直角三角形，边长为2，2，；左侧面也是直角三角形，上面是直角三角形。故几何体的表面积为：.故答案为：B。7. 如图，六边形是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由条件知阴影是由两个等边三角形重合在一起构成的图形；设等边三角形边长为3，可得到六边形的边长为，空白的三角形面积为，六个的面积为，六

4、边形的面积为故阴影的面积为，阴影的面积为总的.故答案为：C。8. 函数的图象向右平移（）个单位后，得到函数的图象，若为偶函数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x）的图象向左平移（0）个单位，得到g（x）=2sin（2x-2）为偶函数，故得到，故得到2sin（-2）=-2或2，。因为，故得到，k=-1,的值为.故答案为：B。9. 某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进行3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次

5、数的期望是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】：在一轮投篮中，甲通过的概率为P=，通不过的概率为由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P（X=0）= ；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）= 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P数学期望E（X）=0+1+2+3=，或由二项分布的期望公式可得E（X）=故选：B方法点睛：求解随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按

6、规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.10. 已知抛物线与直线相交于、两点，为坐标原点，设，的斜率为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线y=2x3与抛物线y2=4x联立，可得y22y6=0，y=1，A（2+，1+），B（2，1），= 故选D点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，直

7、线和抛物线联立时，可以通过抛物线代入直线消掉一个未知量，一般其它的圆锥曲线就是直线代入曲线了。11. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，癸未，甲申、乙酉、丙戌，癸巳，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ）A. 乙亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年

8、D. 辛丑年【答案】C【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年。故答案为：C。12. 已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为，则的所有可能值为（ ）A. 3 B. 1或3 C. 3或5 D. 1或3或5【答案】A【解析】试题分析：因为,所以由方程可得或，且,不妨设则，又因为，由得或，当时，函数在区间上单调递增，且，当时，所以函数在区间上单调递减，当时，所以函数在区间上单调递增，且当时，此时，由图象可知无解，有三个解;当时，此时，由图象可

9、知有一个解，有两个解，即方程共有三个解；当时，此时，由图象可知有两个解，有一个解，方程有三个不同的解，综上所述，关于的方程共有三个不同的解。考点：1.函数与方程；2.导数与函数的单调性、极值。【名师点睛】本题考查函数与方程,导数与函数的单调性、极值,属难题；利用导数知识解决函数与方程问题是最近高考的热点之一，即由导数研究函数的单调性与极值，再通过数形结合得到两个函数图象的公共点，从而得到方程的解。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量，且，若向量，则_【答案】【解析】根据题意，单位向量，且，=，则 =11cos=，又由向量=，则|2=（）2=

10、2+424=3，则|=；故答案为：14. 展开式中的系数为_【答案】25【解析】（1+x+x2）（1+x）5=（1+x+x2）（1+5x+）展开式中x4的系数 故答案为：25.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。15. 已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为_【答案】2【解析】球的表面积为，故得到球的半径为正四棱柱的外接球球心在体对角线上的中点处，设底面边长为a,高为h,则得到 当h

11、=2时，体积最大。故答案为：2.点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径.16. 在如图所示的平面四边形中，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为_【答案】【解析】设ABC=，ACB=，则在ABC中，由

12、余弦定理得AC2=1+32cos=42cos，由正弦定理得 ，即sin=，ACD为等腰直角三角形，AD=AC，在BCD中，由余弦定理得：BD2=BC2+CD22BCCDcos（900+）即BD2=3+AC2+2ACsin=3+42cos+2sin=7+2sin（）当=时，sin（）取得最大值1，对角线BD最大，最大值为1+故答案为：1+三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 若数列的前项和满足（,）.（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）若，（），求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）已知 ，写出当时，两式子做差，得到数

13、列.从而得到数列是等比数列；（2）根据第一问得到，分组求和即可。解析：（1），当时，得，当时，故，即，是以为首项，2为公比的等比数列，（2），得，点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。18. 在中，,是中点（如图1）将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥（1）将沿折起的过程中，平面是否成立？并说明你的结论；（2）若与平面所成的角为，且为锐角三角形，求平面和平面所成角的余弦值【答案】(1)见解析；（2）.【解析】

14、试题分析：（1）当DP1DA时，CD平面P1DA由余弦定理得DC2=4，由勾股定理得DCAD即得到将PCD沿CD折起的过程中，当DP1DA时，CD平面P1DA（2）先证明在平面内的射影必在棱上，再建系，得到两个平面的法向量，得到两个法向量的夹角进而得到两个面的夹角。解析：（1）将沿折起过程中，平面成立，证明：是中点，在中，由余弦定理得， .，为等腰直角三角形且，平面.（2）由（1）知平面，平面，平面平面，为锐角三角形，在平面内的射影必在棱上（如图），平面，则是和平面所成的角，故，为等边三角形，为中点，故以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示坐标系.设轴于交于

15、点，易知，则，平面，可取平面的法向量，设平面的法向量，平面和平面所成的角为，则，得令，则，从而.19. 为研究某种图书每册的成本费（元）与印刷数（千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值15.253.630.2692085.50.7877.049表中，（1）根据散点图判断：与哪一个更适宜作为每册成本费（元）与印刷数（千册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；（3）若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售

16、出，结果精确到1）（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，）【答案】（1）见解析；（2）（3）10千册【解析】试题分析：（1）根据散点图可以选择方程的类型；（2）根据公式得到，进而得到回归方程；（3）依题意：，解出不等式解集即可。解析：（1）由散点图判断，适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，关于的线性回归方程为，从而关于的回归方程为（3）假设印刷千册，依题意，即，至少印刷10千册20. 已知椭圆：（）上动点到两焦点，的距离之和为4，当点运动到椭圆的一个顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切（1）求椭圆的方程

17、；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若、交直线于、两点问以为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）（2），【解析】试题分析：（1）由题意可得2a=4，则a=2，不妨设直线l经过（c，0）和（0，b），可得直线l：bxcy+bc=0，由点到直线的距离公式列式求得b，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，y0），则，分别写出PA，PB所在直线方程，求出M，N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程应用相交弦定理，即可解得以MN为直径的圆过定点（6，0），（6+，0）解析：（1）由椭圆定义可知，若点运动到椭圆的左右顶点时与圆一定相交，故点只能为椭圆的上下顶点，不妨设点为上顶点

18、时，直线，故，解得：，故椭圆的标准方程为：.（2）设，点，则，由，得：，直线方程为：，令，则，故；直线方程为：，令，则，故；因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，在以为直径的圆中应用相交弦定理得：，因为，所以，从而以为直径的圆恒过两个定点，.点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.21. 已知函数有两个极值点，（）（1）求实数的取值范围；

19、（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，当时，求的最小值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）求出函数f（x）的导数，可得方程x2-ax+1=0有两个不相等的正根，即可求出a的范围；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y的最小值解析：（1）的定义域为，令，即，要使在上有两个极值点，则方程有两个不相等的正根，则解得，即（2），由于，为的两个零点，即，两式相减得：，又，故，设，为的两根，故，又，即，解得或，因此，此时，即函数在单调递减，当时，取得最小值，即所求

20、最小值为点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标

21、系，曲线的极坐标方程为（限定，）（1）写出曲线的极坐标方程，并求与交点的极坐标；（2）射线（）与曲线与分别交于点、（、异于原点），求的取值范围【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）联立两个曲线的极坐标方程解得交点坐标即可；（2）根据极径的几何意义得到，再由三角函数的单调性得到范围。解析：（1）曲线的直角坐标方程为，把，代入，得；联立，得当时，得交点为，当时，得.当时，得交点坐标为，当时，得交点坐标为，与的交点坐标为，.（2）将代入方程中，得，代入方程中，得，的取值范围为.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（）（1）求关于的不等式的解集；（2）记的最小值为，证明：【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）零点分区间，去掉绝对值，分情况解得即可；（2）根据绝对值三角不等式求得，进而证明即可。解析：（1）当时，由，得，又，；当时，由，得，；当时，由，得，又，不等式的解集为（2），又，18第页