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1、2020届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（理）试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合, 集合(为自然对数的底数),则( )A. B. C. D.2.若复数满足为虚数单位）,则( )A. -2+4i B. -2-4i C. 4+2i D. 4-2i3.若为偶函数，且当时, ,则不等式的解集为( )A. B. C. D.4.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后
2、结束的概率为( )A. B. C. D.5.在等差数列中，则数列的前11项和( )A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 源:6. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )A. B. C. D.7已知函数（，）,其图像与直线相邻两个交点的距离为,若对于任意的恒成立, 则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，则的重心坐标为（ ）A B C D9已知函数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D10. 在平面直角坐标系中，已知两圆：和：，又点坐标为，是上的动点，为上的动点，则四边形能构成矩形的个数为（ ）A0个 B2个 C4个 D无数个1
3、1如图所示,圆形纸片的圆心为,半径为, 该纸片上的正方形的中心为.,为圆上的点, ,分别是以,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后, 分别以,为折痕折起,使得,重合,得到四棱锥. 当正方形的边长变化时，所得四棱锥体积(单位：)的最大值为( )A. B. C. D.12. 定义在上函数满足，且对任意的不相等的实数有成立，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13. 已知向量夹角为，且，则 .14. 已知锐角三角形ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,则的取值范围是 15. 已知数列满足，数列是公比为2的等比数列，
4、则 . 16. 设函数,若函数有6个不同的零点,则实数的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17（本小题满分12分）如图，是等边三角形，是边上的动点（含端点），记.（1）求的最大值；（2）若，求的面积.18.（本小题满分12分） 如图,三棱柱的所有棱长均为,底面侧面,为的中点,.(1)证明：平面.(2)若是棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.19（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下
5、表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150(1)若与成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元？ (2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额
6、X的分布列及数学期望.附：,.20（本小题满分12分）设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：.与轴交于点，与交于点分别是曲线与线段上的动点.（1）设，线段的中点在直线上，求的面积；（2）设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.21（本小题满分12分）已知函数.(1)讨论函数的单调性,并证明当时,；(2)证明：当时，函数有最小值,设最小值为,求函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种
7、坐标系中取相同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；(2)设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.23 （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数, (1)解不等式； (2)若不等式的解集为，且满足，求实数a的取值范围.2020届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（理）试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案CAACCADCBDDB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分 13. 14. 15. 16. 三解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤. 17解：（1）由是等边三角形，得，故，故当时，即为中点时，原式取得最大值.（2）由，得，故，由正弦定理得，故，故.18. 解：(1)取的中点，连接，易证为平行四边形，从而.由底面侧面，底面侧面，底面，所以侧面，即侧面，又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，从而平面，因为平面，所以.(2)由(1)知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为侧面是边长为2的菱形，且，所以，得.设，得，所以，所以.而 .所以，解得.所以，.设平面的法向量，由得，取.而侧面的一个法向量.设二面角的大小为.则 19. 解：解(1),当时,即某天售出8箱水的预计收益是186元.(2)设事件A
9、为“学生甲获得奖学金”,事件B为“学生甲获得一等奖学金”,则,即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.X的取值可能为0,300,500,600,800,1000,即的分布列为（元） 20解：（1），则， ，设的中点，则直线方程：，联立得，解得，（舍去），的面积（2）存在，设，则，直线方程为， ，根据，则，解得存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且.21解：(1),故在上递增. 当时，由上知,即,即,得证.(2),.记,.由(1)知,函数区间内递增,又, 所以存在唯一实数,使得. 于是, 当时,函数在区间内递减；当时,函数在区间内递增.所以在内有最小值.由题设即.根据(1)知,在内递增, ,所以.令,则，函数在区间内递增,所以. 即函数的值域为.22. 解：(1)直线的普通方程为：,所以所以曲线C的直角坐标方程为（或写成）(2)点在直线上,且在圆C内,把代入,得,设两个实根为,则，即异号.所以.23. 解：(1)可化为,故或或,即或或,所以不等式的解集为.(2)易知，所以，又在恒成立，在恒成立，在恒成立，故.
江西省新余四中上高二中高三数学上学期第二次联考试题理
