解几中过定点问题资料

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1、解析几何中过定点问题探究数学组冯立华 2015年10月一、直线过定点问题在直线方程中有一类含有一个参数，且该参数影响到直线的斜率，则要考虑直线过定点。一般有以下方式求出定点：1. 点斜式法：注意：将直线方程化成y -y =k(x -xo)的形式，则定点坐标为(Xo,y).例1 :已知直线ax - ky k = 0 ( a为常数，k = 0为参数)，不论k取何值，直线总过定点2. 分离系数法：注意：若已知方程是含有一个参数 m的直线系方程，则我们可以把系数中的mf ( X y) = 0分离出来，化为f (x, y)+mg(x, y) =0的形式.由丿 解出x和y的值，即_g(x, y) = 0得

2、定点坐标.例2:无论m取何实数，直线(2m-1)x-(m 3)y-(m-11) = 0恒过定点，此定点坐标为3. 特殊值法：注意：取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，在验证交点坐标也适合所给直线方程.例3:无论m取何实值，(3m 4)x，(52m)y，7m6二0所表示的直线恒过一 定点，此定点坐标为、有关圆锥曲线中的直线过定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变 量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例1： 设A、B是抛物线y2=2px (p 0) 上的两点，且 OA JOB,求证:(1) A、B两点的横坐标之积

3、，纵坐标之积分别都是定值;(2)直线AB经过一个定点。证明：(1)设 A (为，)、B ( X2,y2)，则 2=2卩为，y22=2px2。y2 y222px2 =4p2X!X24p2y2，2 =-4p2 为定值，X1X2 二-yiy2 =4p2 也为定值。(2)ty22yj=(y2yi)(y2yi)=2p(XiX2)，vx0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于方法i:设直线方程为y =k(x-卫)，2pA(xi, yi)，B(x2,y2)，C(, y2)，二2%2，x，宦予，又yj =2pxi，.koc =出=匕，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点0Xi当k不存在时，AB lx轴，同

4、理可证kOC二kg方法2:如图2过A作AD l, D为垂足,则：AD EF /BC连结AC与EF相交于点N,则 |EN | _|CN | _|BF | |NF | | AD| AC| AB |，| BC |他，由抛I AB| EN|AD| | BF |AB|AF|BC|AB|HNF |.点评：该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行，又可采用圆物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。 解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的 深刻性。2 2练习:F为椭圆的左焦点,已知椭圆1

5、 知1上的两个动点P,Q及定点 且PF , MF , QF成等差数列.（1 ）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点 A ；2设点A关于原点0的对称点是B，求PB的最小值及相应的 P点坐标.补充：一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20、江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。 神奇之处有两点：（1 ）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次 式（亲，估计您从未见识过

6、）。引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A、B,如图；设直线AB方程为y = kx m 曲线方程为 ax2 by2 cxy dx e f =0（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、将化为 仁一, 化为ax2 by2 cxy dx 1 ey 1 f 12 =0m将1二匸空 代入（目的使将中所有项化为二次齐次式）得：m22ykxy-kx y-kx2ax by cxy dxeyf （）=0mmm显然是一个二次齐次式，且一定可化为Ay2 Bxy Cx 0即：A（y）2 B（y）C =0xx中y的几何意义为 A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA OBx

7、的斜率，设为由韦达定理知ki k2_A,kik2从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA OB的性质。倒过来，我们也可以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线 AB的性质。下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基 本的方法。二、应用举例2例1.抛物线y =2px,过原点的两条垂直的直线 OA OB交抛物线于 A B。求证：直线AB过x轴上一定点。AB的性质，进而得出定点。分析：知道OA与 OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出解：设AB : x=my 5（；显然AB不能横着）抛物线：y =2pxx -my化为1代入（目的化为二次齐次式）得n2 c

8、x-my 2x - myy =2px即 y -2px0nn可化为Ay2 Bxy Cx2 = 0A（-）2 B（）C =0xx其中A = 12pn2pn又kOA kOB = T （因OA与OB垂直）-n =2p，. AB 恒过点（2p . 0）说明：没有必要求出 B值，因为目标与 B值无关，从而 减少了运算量!下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原 点，请看以下“分解”。例2。点p(xo，y)是抛物线y2=2px上任意一定点，PA, PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。分析：注意到PA_PB，但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平

9、移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。解：平移坐标系，使P为原点，则点P点0抛物线旧坐标系(怡小)(0,0)y2 = 2 px新坐标系(0,0)(-x0, -y0)(y+ y)2 = 2p(x+x0)在新坐标系下，设 AB： x = ny m2 2抛物线(y y0) =2p(x x0)可化为 y 2y02 p 0(注意常数项肯定为 0,因为抛物线过原点 P，故没有必要计算常数项)把化为1 =匕理代入得寸.2yoy .匸理2PX匕理=0mmm可化为 Ay2 Bxy Cx2 =0A(y)2 B(y) C 二0 其中 A =1 -2，C _ -空。xxmmPA _ PB . kPA kPB

10、 = C =p = _1A m - 2 y0 n2p 2y0n = m。AB： x = ny 2p 2y0n，即 x = n(y 2y0) 2p-直线AB在新坐标系过点(2p,-2y)在原坐标系过点(X0,2p,-y0)。说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：设直线AB： x = ny m代入抛物线方程 y2 =2px得：y2 =2p(ny m)整理得：y2-2p ny-2pm = 0，设A、B两点坐标分别为(治，)， (x2, y2)则Yi 、2=2 pn，yi 2=2 pm又 PA 一 PB=(% x)(x2-X0)(% - y)(y2 - y) =022二.(yy

11、1L_(yiy2)-2yiy2x0X。2yy -y(yiy2)y行04p2p整理得：m二冷 2p ny（亲，这一步写出容易，算出来还真不容易!.AB： x=n（y y） Xo 2p .直线AB恒过点（x 2p,-y）小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原 点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方 程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P（Xo，yo），新P（0,0），所以移轴公式为Xr = X_X0、y=y yo其中（x；y）为新坐标，与之对应的（x, y）为同一点的旧坐标，所以 o新坐标为（-Xo，-yo）。

12、抛物线 y2 =2pxr （y y。）2 =2p（x x）即（y y。）2 =2p（x Xo）直线AB在新系下过点（2p, -2y），则在旧系下过点（Xo - 2p,-y）。下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。三、解析高考例3。（2oi3年高考江西卷理2X2。）如图，椭圆C：7a2+右=1（abo）经过点1 ,e=,直线l的方程为x=4 .2（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线l相交于点M，记PA, PB, PM的斜率分别为 K,k2,k3.问：是否存在常数,使得k1+k2= k3.?若存在求的值；若不存在，说明理由.2 2X V

13、解析：（1）略：椭圆C的方程为1. （2）:平移坐标系，使点P为原点，则43点P点0直线丨椭圆点F旧坐标系（o,o）X=422y jx +V =14 31(1,o)p新坐标系（o,o）（T，-|）X=343(o,弓设在新系下，AB： v = kx m（显然直线AB不可能竖着），可化为1 =_kx 椭圆方程可化为：3(x22x) 4(y2 3y0把代入，化为齐次式：3x2 6x 红空 4y2 12y 口x = 0mm上式可化为：Ay2 Bxy Cx2 =0 即 a(-)2 B(=) C =0xx33又直线AB过点F(0,-)，故 m =22注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变!其中A=4上4

14、,，B一逖mmm6 -12km= 4(2k -1).k, k - -2k -1.易求 yM =3k m =3k -3 =3(2k -1)A221= -(2k-1)2，故存在常数 = 2,使得k1+k2= k3.恒成立。例4。( 2013年高考陕西卷(理)已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上截得的弦 MN的长为8.(I )求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n )已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线|与轨迹C交于不同的两点 P, Q 若x轴是的角平分线，证明直线I过定点.(I)略，y2 =8x( n)分析：x轴为.PBQ平分线=kBP bq。.故可联想用过“原点B点0抛物线旧坐标系(-1,0

15、)(0,0)y2 =2px新坐标系(0,0)(1,0)2y =2p(x-1)点”的两直线解决此问题。解析：平移坐标系，使点 B为原点，则在新坐标系下，设 PQ x = ny m (显然AB不能横着，故设成这种形式)可化为：1二gy代入y2=2p(x-1)(目的是化为齐次式)m2小 x_nyx_ny、2 小y -2px2 p ()=0mm可化为：Ay2 Bxy Cx2 =02其中A=1 ZpLm2pn(m _2)2mx 轴为PBQ 平分线B =0 即 B=0 m = 2A从而PQ恒过点(2, 0),在原坐标系下恒过点题C20图(1, 0)。说明：此种解法还得出，直线 I恒过点(1,0)与P值的大

16、小无关例5。(2012高考真题重庆理 20)如图，设椭圆的中心为原点 O,长轴在x轴上，上顶 点为A,左右焦点分别为 FjF?，线段的中点分别为Bi,B2，且 ARB?是面积为4的直 角三角形求该椭圆的离心率和标准方程；(n)过 做直线I交椭圆于P, Q两点，使PB2 _ QB2，求直线I的方程解析:(I)离心率为 乙仝，椭圆的标准方程为52 2204=1把代入到得:x2 切？ 4x 4-16()2=0mm(n)平移坐标系使点 B?为原点，则点b2点0点b2椭圆旧坐标系(2,0)(0, 0)(-2 , 0)2 2X八=1204新坐标系(0,0)(-2 , 0)(-4 , 0)2 2(x+ 21

17、6小，4k16kBxy Cx2 二0 其中 A = 52,C=1丁 mm m又PQ直线过点B1，故0 = 4k + m =4k1C 1.A=52，C =1-1-1 = -1,. kpB2 kQB21( PB2QB2)kA 1 k =， PQ:y h(x 2) 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为2 2x 2y 2 =0和x -2y 2 =0.总结： 设直线AB方程为y二kx m或x=n y，m，即使AB过定点也是如此，这)+y =1 204设直线PQ方程为y =kx m 可化为1 = y _ kx 了 m2 220椭圆方程a 1可化为x2 5y2 4x-16 = 04上式可化为Ay2样的好处是把直线方程代入二次曲线方程的解法具有一般性，避免具体问题具体分析，增加问题的多样性，如例 3、例5。 移轴过程中抓住新原点的新旧坐标关系，是坐标变换的关键所在如例5，B2（2,0） （0,0）说明横坐标都减少 2个单位，纵坐标不变。故移轴公式厂x卩=x _ 2为：（移轴公式在选修 4-4即坐标系与参数方程有要求）。最好列表体l y=y现新旧坐标系下点的坐标变化、曲线方程变化（有时也列直线方程变化如例3）这样做可以避免点的坐标粗心出错。 过“原点”两直线与二次曲线相交问题优先考虑此法！因为此法具有方法一般化、运算简单化的特点。用常规方法往往运算量很大。