微分方程应用问题案例

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1、-第四章微分方程一、微分方程的概念案例1 曲线方程曲线过点(，)，且曲线上任一点处切线的斜率是该点横坐标的倒数， 求此曲线方程解:设曲线方程为 ，于是曲线在点 处切线的斜率为 根据题意有4.1.1又曲线过点，故有4.1.2 对式两边积分，得将式()代入上式，得 ，即 故所求曲线方程为 案例2 自由落体运动 一质量为 的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程. 解:建立坐标系如图1所示，坐标原点取在质点开场下落点, 轴铅直向下.设在时刻 质点的位置为 ,由于质点只受重力 作用,且力的方向与 轴正向一样，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程为，即 方程两边同时积分，得 上式两边再同时积分，得 其中

2、 是两个独立变化的任意常数案例3列车制动 列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.4，问开场制动后要经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间列车行驶了多少路程？解: 记列车制动的时刻为t=0，设制动后t秒列车行驶了s米.由题意知，制动后列车行驶的加速度， 初始条件为当时，. 将方程两端同时对t积分，得，()式()两端对t再积分一次，得，() 其中，都是任意常数，把条件当t=0时，代入式，得,把t=0时，s=0代入式，得0于是，列车制动后的运动方程为， 速度方程为. 因为列车刹住时速度为零，在式中，令,得0=-0.4t+20，解出得列车从开场制动到完全刹住的时间为再把

3、t=50代入式，得列车在制动后所行驶的路程为二、可别离变量的微分方程案例1 国民生产总值 1999年我国的国民生产总值GDP为80,423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率， 问到2010年我国的GDP是多少？解: (1)建立微分方程记代表1999年，并设第t年我国的GDP为由题意知，从1999年起，的相对增长率为8%， 即，得微分方程，且2求通解别离变量得, 方程两边同时积分，得 (3) 求特解 将代入通解，得，所以从1999年起第年我国的GDP为, 将代入上式，得2010年我国的GDP的预测值为(亿元) 案例2 落体问题设跳伞运发动从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比运发动离塔

4、时t=0的速度为零，求运发动下落过程中速度与时间的函数关系解: 1建立微分方程 运发动在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响重力的大小为mg，方向与速度v的方向一致；阻力的大小为kv(k为比例系数)，方向与v相反从而运发动所受的外力为，其中为运发动的质量.又由牛顿第二定律有，其中为加速度，于是在下落过程中速度满足微分方程， 初始条件为.2求通解方程是一个可别离变量的微分方程别离变量后，得 两端积分得 ,即(其中)， 或其中.3求特解把初始条件代入通解，得 于是所求速度与时间的关系为 .由上式可见，当t很大时，很小，此时接近于由此可见，跳伞运发动开场跳伞时是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，

5、其速度为.案例3 环境污染问题 某水塘原有t清水(不含有害杂质)，从时间开场，含有有害杂质的浊水流入该水塘流入的速度为2tmin，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2tmin的速度流出水塘问经过多长时间后塘中有害物质的浓度到达解:1建立微分方程 设在时刻塘中有害物质的含量为，此时塘中有害物质的浓度 为， 不妨设单位时间有害物质的 变化量为 M单位时间流出塘的有害物质的量 为S2, 于是有 即 , 初始条件为. 2求通解 方程是式是可别离变量方程，别离变量得, 积分，得 , 即 3求特解 由初始条件，得，故 当塘中有害物质浓度到达时，应有(t)，这时应满足由此解得(min)，即经过min后，塘中

6、有害物质浓度到达，由于，塘中有害物质的最终浓度为 案例4 刑事侦察中死亡时间的鉴定牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律开场下降，如果两个小时后尸体温度变为35，并且假定周围空气的温度保持20不变，试求出尸体温度随时间的变化规律又如果尸体发现时的温度是30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解: 1建立微分方程 设尸体的温度为(从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度与尸体温度和空气温度20之差成正比即， 其中是常数，初始条件为2求通解 别离变量得 积分得 3

7、求特解 把初值条件代入通解，求得于是该初值问题的解为 为求出值，根据两小时后尸体温度为35这一条件，有求得，于是温度函数为 将代入上式有 ，即得h于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的h，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的 案例5 第二宇宙速度 地球对物体的引力与物体的质量以及物体离地心的距离间的关系为，这里是重力加速度，为地球半径验证：如果物体以的初速度发射，那么永远不会返回地球解: 1建立微分方程 由牛顿第二定律，其中，有， 故有， 初始条件为时，. 2求通解 变量别离后为两边积分得 3求特解 把时，代入通解得，故有由此可见，当很大时，很小，当时，速度永远大于0，所

8、以物体永远不会返回地面三、一阶线性微分方程案例1 溶液的混合一容器盛有50L的盐水溶液，其中含有10g的盐现将每升含盐2g的溶液以每分钟5L的速度注入容器，并不断进展搅拌，使混合液迅速到达均匀，同时混合液以3L升/min的速度流出溶液，问在任一时刻t容器中含盐量是多少？解: 1建立微分方程设t时刻容器中含盐量为克，容器中含盐量的变化率为=盐流入容器的速度盐流出容器的速度其中，盐流入容器的速度=2克/升5升/分=10(克/分),盐流出容器的速度=克/升3升/分=(克/分)由式可得 即 由题意知初始条件为2求通解直接应用求一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得3求特解将初始条件代入通解，得C=-22

9、500.所以，在时刻t容器中的含盐量为100+4t-22500(g)案例2 RL电路 在一个包含有电阻单位：，电感L单位：H和电源 E单位：V的RL串联回路中，由回路电流定律，知电流单位：A满足以下微分方程,假设电路中电源伏，电阻10，电感0.5H和初始电流6A，求在任何时刻t电路中的电流解:1建立微分方程这里，将其代入RL电路中电流应满足的微分方程，得，初始条件为2求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式()，得通解，3求特解将时, 代入通解，得，解之，得，所以，在任何时刻的电流为案例3 RC回路 在一个包含有电阻 ，电容CF和电源 EV的串联回路中，由回路电流定律，知电容上的电量qC满足以下微分方程,假设回路中有电源(V),电阻100，电容0.01F，电容上没有初始电量.求在任意时刻电路中的电流解: 1建立微分方程我们先求电量.这里，将其代入RC回路中电量q应满足的微分方程得，初始条件为.2求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式()，得，将, 代入上式，得，解之，得于是，再由电流与电量的关系，得. z.