上海市金山中学高三数学上学期期中试题
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1、金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷(考试时间:120分钟满分:150分)一、填空题(本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1.已知集合,集合,则 . 2. .3. 已知函数,则函数的最小正周期是 .4.已知,若与平行,则 . 5. 过点的直线的方向向量,则的方程为 . 6. 已知,则 .7. 若直线与直线之间的距离是,则 .8.设数列满足对任意的,满足,且,则数列的前项和为_.9. 如果定义在R上的函数满足:对于任意,都有,则称为“函数”给出下列函数:;,其中“函数”的序号是 10. 设为的反函数,则的最大值为_.11.对于数列,定义为的“优值
2、”,现在已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是_12. 已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是_二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.关于、的二元一次方程组的系数行列式为 ( )A. B. C. D. 14.设都是不等于1的正数,则“”是“”的什么条件 ( )A .充分必要 B.充分非必要 C.必要非充分 D.非充分非必要15. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 ( )ABC D16.已知函数,则关于的不等式的解集为 ( )A . B. C. D.三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸
3、的相应位置写出必要的步骤17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知在等比数列中,且是和的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和解: 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)在中,内角、所对的边分别为、,已知,(1)求的面积;(2)求的值解: 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元),当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (
4、万元), 若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.(1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式;(2)年产量为多少台时 ,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知函数定义域是,且,当时,(1)证明:为奇函数;(2)求在上的表达式;(3)是否存在正整数,使得时,有解,若存在求出的值,若不存在说明理由解: 21. (本题满分18分,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”(1)前项和为的数列是否是
5、“回归数列”?并请说明理由;通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;(2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值;(3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷答案(考试时间:120分钟 满分:150分)一、填空题(本大题共12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)1.已知集合,集合,则 .2. .13.已知函数,则函数的最小正周期是 . 4.已知,若与平行,则 .5. 过点的直线的方向向量,则的方程为 .6. 已知,则 .7. 若直线与直线之间的距离是,则
6、 .08.设数列满足对任意的,满足,且,则数列的前项和为_.9. 如果定义在R上的函数满足:对于任意,都有,则称为“函数”给出下列函数:;,其中“函数”的序号是 10. 设为的反函数,则的最大值为_.11.对于数列,定义为的“优值”,现在已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,若对任意的恒成立,则实数的取值范围是_12. 已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是_ 二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 关于、的二元一次方程组的系数行列式为 ( C )A. B. C. D. 14. 设都是不等于1的正数,则“”是“”的什么条件 ( B )A .充分必要 B.充分非必要 C.
7、必要非充分 D.非充分非必要15. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 ( B )ABC D16.已知函数,则关于的不等式的解集为 ( A )A . B. C. D.三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知在等比数列中,且是和的等差中项(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求的前项和解:(1)设公比为,则,是和的等差中项,解得或(舍),(2),则18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)在中,内角、所对的边分别为、,已知,(1)求的面
8、积;(2)求的值解:(1)因为,所以由正弦定理得, 又,故, 所以,因为,所以 所以(2)因为,所以,因为,所以为锐角,所以(或由得到,)所以, 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)中国“一带一路”战略构思提出后, 某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇, 决定开发生产一款大型电子设备, 生产这种设备的年固定成本为万元, 每生产台,需另投入成本(万元), 当年产量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元), 若每台设备售价为万元, 通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.(1)求年利润 (万元)关于年产量(台)的函数关系式;(2)年产量为多少台时 ,该
9、企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?解:(1)当时,;当时,.(2)当时, 此时, 当时, 取得最大值, 最大值为1300.(万元);当时, , 当且仅当,即时, 最大值为1500(万元), 所以, 当产量为90台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为1500万元.20. (本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知函数定义域是,且,当时,(1)证明:为奇函数;(2)求在上的表达式;(3)是否存在正整数,使得时,有解,若存在求出的值,若不存在说明理由解:(1),所以的周期为2,所以,所以为奇函数(2)因为,所以当时,(3)任取 所以不存在这样的,
10、使得时,有解21. (本题满分18分,第1小题满分6分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”(1)前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;(2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值;(3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由解:(1),作差法可得,当时,;当时,存在,使得数列是“回归数列”,前项和,根据题意一定是偶数,存在,使得数列是“回归数列”(2),根据题意,存在正整数,使得成立即,即(3)设等差数列总存在两个回归数列,使得9分证明如下:数列前项和,时,;时,;时,为正整数,当时,存在正整数,使得,是“回归数列”数列前项和存在正整数,使得,是“回归数列”,所以结论成立
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