相似三角形的判定PPT课件

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1、第一课时第一课时第二课时第二课时第三课时第三课时第四课时第四课时人教版人教版 数学数学 九年级九年级 下册下册平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 及其推论及其推论第一课时第一课时返回1.相似多边形的特征是什么？相似多边形的特征是什么？2.怎样判定两个多边形相似？怎样判定两个多边形相似？3.什么叫相似比？什么叫相似比？4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形如果相似多边形中，最简单的就是相似三角形如果A A1，BB1，CC1， ， 那么那么ABC与与A1B1C1相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？ 导入新知导入新知111111CB

2、BCCAACBAABABCA1B1C11. 理解理解相似三角形相似三角形的概念的概念，并会用以证明和计算并会用以证明和计算. . 2.体会用相似符号体会用相似符号“”“”表示的相似三角形之间的表示的相似三角形之间的边，角对应边，角对应关系关系. .素养目标素养目标3. 掌握掌握平行线分线段成比例平行线分线段成比例的基本事实及其推论的的基本事实及其推论的应用应用，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算和计算. . 请分别度量请分别度量l3 , l4, l5. .在在l1 上截得的两条线段上截得的两条线段AB, BC和在和在l2 上截得上截得的两条线段

3、的两条线段DE, EF的长度的长度, , AB： BC与与DE：EF相等吗？任意平移相等吗？任意平移l5 , , 再量度再量度AB, BC, DE, EF的长度的长度, , 它们的比值还相等吗？它们的比值还相等吗？ 猜想猜想ABCDEFl2探究新知l1除此之外，还有其他除此之外，还有其他对应线段成比例吗？对应线段成比例吗？l2l3l4l5知识点 1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理233432BCAB若若 ，那么那么?EFDE若若 ， 那么那么43BCAB?EFDE即即ABDEBCEF事实上，当l3 /l4 / l5时，都可以得到 ，还可以得到 ， ， 等. . ABCDEFl3l4

4、l5l1l2EFDEBCABDEEFABBCDFDEACABDFEFACBC 通过探究，你通过探究，你得到了什么规律得到了什么规律呢？呢？探究新知 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. .符号语言：符号语言：若ab c ，则 ， ， 12122323A AB BA AB B 归纳：归纳： A1A2A3B1B2B3bc23231212A AB BA AB B12121313A AB BA AB B，23231313A AB BA AB Ba探究新知1.

5、 . 如何理解如何理解“对应线段对应线段”？2.“.“对应线段对应线段”成比例都有哪些表达形式？成比例都有哪些表达形式？ 【想一想想一想】 探究新知1.如图，已知如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是下列比例式中错误的是 ( ) ( ) A. B. C. D.DFBDCEACBFBDAEACC ED FA EB FACBDBFAE DACEBDFl2l1l3巩固练习巩固练习 如图，直线如图，直线l3l4l5，由，由平行线分线段成比例的基本事实，平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，我们可以得出图中对应成比例的线段，ABCDEFl4l5l1l2l3把直线把直线 l

6、1向左或向右任意平向左或向右任意平移，这些线段依然成比例移，这些线段依然成比例. .探究新知知识点 2平行线分线段成比例定理的推论平行线分线段成比例定理的推论【思考思考】 如果把图如果把图1中中l1 , l2两条直线相交，交点两条直线相交，交点A刚刚好落到好落到l3上，如图上，如图2（1），），所得的对应线段的比会所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？相等吗？依据是什么？ ABCDEFl3l4l5l1l2探究新知图1图2（1）A （D）EFCB【思考思考】如果把图如果把图1中中l1 , l2两条直线相交，交点两条直线相交，交点A刚好落到刚好落到l4上，如图上，如图2（2）所得的对应线段的比会

7、所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？相等吗？依据是什么？ 探究新知图图1 1图图2 2（2 2）ABCDEFl3l4l5l1l2BCEADl1l2l3l4l5l2l3l1l3 平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边( (或或两边的延长线两边的延长线) )所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例. .ABCDEl2ABCDEl1探究新知 归纳：归纳： 巩固练习巩固练习2.如图如图, ,l1l2l3， ，DE6，求，求DF的长的长23BCAB解：解：l1l2l3， . 又又 ，DE6， ， 解得解得EF4. DFDEEF6410.EFDEBCAB23BCAB236EF

8、l1l2l3 例例1 如图，在如图，在ABC中中，DEBC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求求AD和和BD. AE=3. 解：解：AC=4，EC=1， DEBC， AD=2.25， BD=0.75.ACAEABAD探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用平行线分线段成比例定理及推论求线段利用平行线分线段成比例定理及推论求线段3. 如图，在如图，在ABC中中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm，FC=3cm，AF的长为的长为_ 1cm巩固练习巩固练习 如图，在如图，在ABC中，中，D为为AB上任意一点，过点上任意一点，过点D作作BC的平行线的平行线DE，交，交AC于点于点E.问题问题1 AD

9、E与与ABC的三个角分别相等吗？的三个角分别相等吗？问题问题2 分别度量分别度量ADE与与ABC的边长，它们的边的边长，它们的边 长是否对应成比例？长是否对应成比例？BCADE探究新知探究新知知识点 3问题问题3 你认为你认为ADE与与ABC之间有什么关系？平行移动之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？的位置，你的结论还成立吗？ 通过度量，我们发现通过度量，我们发现ADEABC，且只要且只要DEBC，这个结论恒成立这个结论恒成立.探究新知探究新知BCADE 【思考思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道我们通过度量三角形的边长，知道ADE ABC，但要用相似的定义去证明它，我们

10、需要证明什，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？么？ 2.由前面的结论，我们可以得到由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？什么？还需证明什么？探究新知探究新知用相似的定义证明ADEABCBCADEABCDE证明证明: :在在ADE与与ABC中，中， A= A DE/BCADE=B, AED=C，过过E作作EF/AB交交BC于于F,四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形FDE=BFADEABC探究新知探究新知ADAEABACAEBFACBCBCDEACAEA DA ED EA BA CB C则则已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，DE/BC，且，且DE分别交分别交AB

11、 ， AC于点于点D、E 求证：求证：ADEABC .“A”型型 “X”型型 （图（图2）DEOBCABCDE（图（图1）探究新知探究新知定理：定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交平行于三角形一边的直线和其他两边相交, ,所构成所构成的三角形与原三角形相似的三角形与原三角形相似. .符号语言： DE/BCADEABC【讨论讨论】过点过点D作与作与AC平行的直线与平行的直线与BC相交，可否证相交，可否证明明ADEABC？如果在三角形中出现一边的平行？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？线，那么你应该联想到什么？ 【方法总结方法总结】过点D作与AC平行的直线与BC相交，仍可

12、证明ADEABC，这与教材第31页证法雷同题目中有平行线，可得相似三角形，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式 探究新知探究新知4. 已知：如图，已知：如图，ABEFCD，图中共有图中共有_对相似三角对相似三角形形.3CDABEFO相似具有传递性巩固练习巩固练习连 接 中 考巩固练习巩固练习 （2018临安区）如图，在临安区）如图，在ABC中，中，DEBC，DE分别与分别与AB，AC相交于点相交于点D，E，若，若AD=4，DB=2，则，则DE：BC的值的值为（）为（）A B C DA322143531. 如图，在如图，在 ABC 中，中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm，BC = 4 c

13、m，EF 长（长（ ） AA. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cmABCEF43课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.如图如图，DEBC， ， ；FGBC， ，则则 . ABAD52ACAE25ABCEDFG2CGAGABAF23课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3.如图，在如图，在ABC中，中， EFBC.（ 1 ）如果）如果E、F分别是分别是 AB 和和 AC 上的点，上的点， AE = BE=7， FC = 4 ，那么，那么 AF 的长是多少？的长是多少？ABCEF解：解：AEAFBEFC，774A F，解得解得 AF = 4. .课堂检测

14、课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题( (2) ) 如果如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么，那么 FC 的长是多少？的长是多少？ 解：解：AEAFABAC，6510AC，基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题解得解得 .325AC3105325AFACFCABCEF课堂检测课堂检测 如图所示，如果如图所示，如果D，E，F分别在分别在OA，OB，OC上，上，且且DFAC，EFBC 求证：求证：OD OAOE OB .ODOFOAOCOFOEOCOB，.ODOEOAOB证明：证明： DFAC， EFBC，课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 如图，已知菱形如图，

15、已知菱形 ABCD 内接于内接于AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长，求菱形的边长. 解：解： 四边形四边形 ABCD 为菱形，为菱形，BCADEFCDAB， .CDDFAEAF设菱形的边长为设菱形的边长为 x cm，则，则CD = AD = x cm，DF = ( (4x ）cm， 解得解得 菱形的边长为菱形的边长为 cm.454xx，209课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题920 x两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形判定的引理平行于三角形一边的直线与其他

16、两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本事实平行线分线段成比例课堂小结课堂小结第二课时第二课时返回ABCDEDEOBC 学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS）类似地，判定两个）类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？ 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三方法，我们能不能通过三边来判断两

17、个三角形相似呢？边来判断两个三角形相似呢？探究探究！探究探究！讨论一下？讨论一下？导入新知导入新知2. 会运用会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理. .1. 复习已经学过的复习已经学过的三角形相似的判定定理三角形相似的判定定理 . .素养目标素养目标1. .定义法定义法: :对应角相等对应角相等，对应边的比相等对应边的比相等的两个三角形相似的两个三角形相似. .如何判断两个三角形是否相似如何判断两个三角形是否相似? ? DEBC ADE ABC DEABCABCDE2.

18、平行法平行法: :平行于平行于三角形一边的直线和其他两边三角形一边的直线和其他两边( (或两边的延长线）或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相交，所构成的三角形与原三角形相似. .A型型X型型探究新知探究新知知识点 1还有没有其他简还有没有其他简单的判断方法呢？单的判断方法呢？ABBCACABBCAC 是否有是否有ABCABC？ABC三边对应成比例探究新知探究新知CBAABCCBA 通过测量不难发现A=A，B=B，C=C，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 ABC ABC. 下面我们用前面所学的定理证明该结论.探究新知探究新知已知已知:如图，在如图，在ABC和和ABC中，中，A

19、B:AB=AC:AC=BC:BC.求证求证:ABCABC证明证明: :在在ABC的边的边AB( (或延长线或延长线) )上截取上截取AD=AB, ABCABCDE过点过点D作作DEBC交交AC于点于点E.又又AB:AB=BC:BC=CA:CAAD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEABC AD=ABAD:AB=AB:ABDE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.因此因此DE=BC,EA=CA.ABCABCADE ABC探究新知探究新知由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似归纳：归纳：ACCACBBCBAAB ， ABC ABC.符号语言：符号语言：探究新知

20、探究新知【讨论讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？找对应边？【方法点拨】利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似 探究新知探究新知 例例1 已知已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， AB =12 cm ， BC=18 cm ， AC=24 cm ，试说明，试说明ABC ABC. ABC ABC 探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用三边成比例判断三角形相似利用三边成比例判断三角形相似解：解： 61183B CB C

21、41123A BA B81243ACACA BB CA CA BB CA C 探究新知探究新知 方法点拨 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应. .1.在在ABC和和DEF中中，如果如果AB4，BC3，AC6；DE2.4，EF1.2，FD1.6，那么这两个三角形能否相似那么这两个三角形能否相似的结论是的结论是_，理由是，理由是_2. 如图，在大小为如图，在大小为44的正方形网格中，是相似三角形的正方形网格中，是相似三角形的是（的是（ ） 相似相似C三组对应边的比相等三组对应边的比相等巩固

22、练习巩固练习A. 和和 B. 和和 C. 和和 D. 和和 例例2 如图，在如图，在 RtABC 与与 RtABC中中，C =C = 90，且且 求证：求证： ABCABC. 12A BA C.ABAC 证明：证明：由已知条件得由已知条件得 AB = 2 AB，AC = 2 AC， BC 2 = AB 2AC 2 = ( 2 AB )2( 2 AC )2 = 4 AB 24 AC 2 = 4 ( AB 2AC 2 ) = 4 BC 2 = ( 2 BC )2. ABCABC. BC=2BC，1.2B CA BA CBCABAC探究新知探究新知素养考点素养考点 2判断三角形相似判断三角形相似3.

23、 如图，如图，ABC中，点中，点 D，E，F 分别是分别是 AB，BC，CA的中点，求证：的中点，求证：ABCEFD ABCEFD.证明：证明：ABC中，点中，点D，E，F分别是分别是AB，BC，CA的中点，的中点，111=222DEACDFBCEFAB，1=2DEDFEFACBCAB=，巩固练习巩固练习试说明试说明BAD=CAE.ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC=DAEDAC即即BAD=CAE.ABBCACADDEAE例例3 如图已知：如图已知：.ABBCACADDEAE解：解：探究新知探究新知素养考点素养考点 3利用三角形相似求角相等利用三角形相似求角相等解：解：相等的角有

24、相等的角有BAC=DAE，B=ADE，C=E，BAD=CAE.理由如下：理由如下：在在 ABC 和和 ADE 中中， AB : AD = BC : DE = AC : AE，ABCADE，BAC=DAE，B= ADE ，C=E.BACCAD =DAECAD ，BAD=CAE.故图中相等的角有故图中相等的角有BAC=DAE，B=ADE，C=E，BAD=CAE. 4. 如图，已知如图，已知 AB : AD = BC : DE = AC : AE，找出图中相等的角找出图中相等的角 ( (对顶角除外对顶角除外) )，并说明你的理由，并说明你的理由. .ABCDE巩固练习巩固练习 （2018临安临安）如

25、图，小正方形的边长均为）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三则下列图中的三角形（阴影部分）与角形（阴影部分）与ABC相似的是相似的是（）（） A B C D 连 接 中 考巩固练习巩固练习B1下列各组三角形一定相似的是（下列各组三角形一定相似的是（ ）A两个直角三角形两个直角三角形 B两个钝角三角形两个钝角三角形C两个等腰三角形两个等腰三角形 D两个等边三角形两个等边三角形D2.下列判断，不正确的是（下列判断，不正确的是（ ）A两条直角边分别是两条直角边分别是3、4和和6、8的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似.B斜边长和一条直角边长分别是斜边长和一条直角边长分别是 、 4和和 、2

26、的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似.C两条边长分别是两条边长分别是7、4和和14、8的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似.D斜边长和一条直角边长分别是斜边长和一条直角边长分别是5、3和和2.5、1.5的两个直角三角形相似的两个直角三角形相似.525C课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. 如图如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结论正确下列结论正确的是（的是（ ） A. PABPCA B. PABPDA C. ABCDBA D. ABCDCA ACBPDC课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由判

27、断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABC33.54DFE1.82.12.4课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题解：解：在在 ABC 中中，AB BC CA，在在 DEF中中， DE EF FD. DEF ABC. 2.40.64DEAB ， ， ，2.10.63.5EFBC1.80.63FDCADEEFFDABBCCA . 课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题DFE1.82.12.4ABC33.54 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一

28、边长为，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？条边长应当是多少？你有几个答案？方案方案( (1) )解：解：设另外两条边长分别为设另外两条边长分别为x , y方案方案( (2) )方案方案( (3) )课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题15,522xx1,362yy21421k28,455xx212,655yy522k14,433xx15,533yy3162k3 如图，某地四个乡镇如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，之间建有公路， 已知已知 AB = 14 千米，千米，AD = 28 千米千米，BD = 21 千米千

29、米， DC = 31.5 千米，公路千米，公路 AB 与与 CD 平行吗？说出你的理由平行吗？说出你的理由.ACBD2814214231.5解：解：公路公路 AB 与与 CD 平行平行.2=3ABADBDBDBCDC=， ABDBDC，ABD=BDC，ABDC.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题三边三边成比成比例两例两个三个三角形角形相似相似 利用利用三边三边判定两个三角形相似判定两个三角形相似相似三角形的判定定理的相似三角形的判定定理的运用运用 课堂小结课堂小结第三课时返回BACBAC1. 两个三角形全等有哪些判定方法？两个三角形全等有哪些判定方法？2. 我们学习过哪些判定

30、三角形相似的方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL( (1) )通过通过定义定义（三边对应成比例，三角分别相等）（三边对应成比例，三角分别相等）( (2) )平行平行于三角形一边的直线于三角形一边的直线( (3) )三边对应成比例三边对应成比例导入新知导入新知 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？探究探究导入新知导入新知1. 探索探索“两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等的两个三的两个三角形相似角形相似”的判定定理并且会运用的判定

31、定理并且会运用. .2. 会运用会运用“两边成比例且夹角相等两边成比例且夹角相等”判定判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理两个三角形相似，并进行相关计算与推理.素养目标素养目标改变改变A或或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法. .等于等于kB =B C =C改变改变k的值具有相同的结论的值具有相同的结论 利用刻度尺和量角器画利用刻度尺和量角器画ABC和和ABC，使使AA， 量出它们第三组对应边量出它们第三组对应边BC和和BC的长，它们的比的长，

32、它们的比等于等于k吗？另外两组对应角吗？另外两组对应角B与与B，C与与C是否相等？是否相等？ABACk.A BAC探究新知探究新知知识点 1ABCABCABACkA BA CAA 如果两个三角形的两组如果两个三角形的两组对应边的比相等对应边的比相等，并且，并且相应的相应的夹角相等夹角相等，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似 类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论证明这个结论 ABC ABC探究新知探究新知已知：如图，已知：如图， ABC和和 ABC中中，A =A，AB：AB = AC：AC求证：求证：ABC ABC 证明

33、：证明：在在ABC 的边的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取（或它们的延长线）上分别截取ADAB，AEAC，连结连结DE，因因A =A，这样这样ABC ADE ADAEABAC DE/BC ADE ABC ABC ABC A BA CABACABCABCDE探究新知探究新知 由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似符号语言：符号语言： A=A，ABACA BAC，BACBAC ABC ABC .归纳：归纳：探究新知探究新知【思考思考】对于对于ABC和和 ABC，如果，如果 AB : AB= AC : AC. C=C，这两个三角形一定会相似吗？这两

34、个三角形一定会相似吗？ 不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似其中一个和原三角形相似，另一个不相似. . A B C A B B C探究新知探究新知探究新知探究新知 归纳总结归纳总结 如果两个三角形两边对应成比例，但相等如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的两条对应边的夹角夹角. . 已知已知A120，AB7cm，AC14cm，A120，AB 3cm，A

35、C 6cm，判断判断ABC与与 ABC是否相似，并是否相似，并说明理由说明理由.7147363ABACA BA C，又又 AA ABCABC例例1探究新知探究新知素养考点素养考点 1两三角形两三角形的相似比的相似比是多少？是多少？ ABCABC . 理由如下：理由如下：解解：A BA CA BA C 1. 已知已知A=40，AB=8，AC=15， A =40，AB =16，AC =30 ，判断，判断ABC与与ABC是否相是否相似，并说明理由似，并说明理由.解：解： ABCABC巩固练习巩固练习ABCABC . 理由如下：理由如下：A=A又又151302ACAC解：解： AE=1.5，AC=2，

36、 ACBED例例2 如图，如图，D，E分别是分别是 ABC 的边的边 AC，AB 上的点，上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，且 ，求，求 DE 的长的长.34ADAB34AEAD.ACAB又又EAD=CAB， ADE ABC，34DEADBCAB，3944DEBC.探究新知探究新知素养考点素养考点 2提示：提示：解题时要找准对应边解题时要找准对应边. .2.如图，在如图，在ABC 中，中，ACBC，D 是边是边AC 上一点，连接上一点，连接BD（1）要使）要使CBDCAB，还需要补充一个条件是，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个（只要求填一个）（2）若若CBDCAB，且，且AD

37、2， ,求求CD 的长的长巩固练习巩固练习ABCD解解：（1）CD :CBBC :AC （2）设）设CDx,则则CAx2当当CBDCAB，且且AD2， ,有有CD:CBBC:AC，即即 ,所以所以x2x30解得解得x1，x3但但x3不符合题意不符合题意,应舍去应舍去所以所以CD13BC 3BC : 33 :2xx（ ）证明：证明： CD 是边是边 AB 上的高上的高， ADC =CDB =90.ADC CDB， ACD =B， ACB =ACD +BCD =B +BCD = 90.ABCD例例3 如图，如图，在在 ABC 中中，CD 是边是边 AB 上的高上的高，且且 ，求证求证 ：ACB=9

38、0=ADCDCDBD ADCDCDBD，探究新知探究新知素养考点素养考点 3方法总结：方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等. .3.如图，已知在如图，已知在ABC 中，中，C90，D、E 分别分别是是AB、AC 上的点，上的点，AE：ADAB：AC试问试问:DE 与与AB 垂直吗垂直吗? 为什么为什么?ABCDE证明：证明：DEAB理由如下理由如下: AE：ADAB：AC, 又又AA, ABCAED ADEC90 DE 与与AB 垂直垂直=A EA DA BA C巩固练习巩固练习1.（2017同仁）同仁）如图，已知：如图，已知：

39、BAC=EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40求证：求证：ABCAED连 接 中 考巩固练习巩固练习证明：证明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40 BAC=EAD，ABCAED20.41.217ABAE481.240ACADADACAEAB ， ， ， 1. 如图如图，D 是是 ABC 一边一边 BC 上一点，连接上一点，连接 AD，使使ABC DBA的条件是的条件是 （ ） A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD BC D. AB2 = BD BCDABCDABBCBDAB课堂检测课堂检测基 础

40、巩 固 题基 础 巩 固 题2. 在在 ABC 和和 DEF 中中，C =F=70，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求证求证：DEFABC. .ACBFED证明：证明： AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，又又 C =F = 70， DEF ABC.35DFEF.ACBC课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题3. 如图如图，ABC 与与 ADE 都是等腰三角形都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，DAB=CAE. 求证：求证：ABC ADE.证明：证明：

41、AD =AE，AB = AC，ADAE.ABAC又又 DAB = CAE， DAB +BAE = CAE +BAE，即即 DAE =BAC，ABC ADE.ABCDE课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中中，已知已知 B =ACD， AB=6，BC=4，AC=5， ，求求 AD 的长的长ABCD解：解：AB=6，BC=4，AC=5， ， 45ABBC.CDAC又又B=ACD， ABC DCA， 45ACBCADAC ，254AD. 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题217CD217CD 如图，在如图，在ABC中，中，D

42、，E分别是分别是AB，AC上的点上的点，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，试判断，试判断ADE与与ABC是否相似，某同学的解答如下：是否相似，某同学的解答如下：解：解：AB=AD+BD，而而AB=7.8，BD=4.8，AD=7.8-4.8=3. 这两个三角形不相似这两个三角形不相似. .你同意他的判断吗？请说明理由你同意他的判断吗？请说明理由. . 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测ACAEABAD解：解：他的判断是错误的他的判断是错误的. . AB=AD+BD，而而AB=7.8，BD=4.8， AD=7.8-4.8=3. ， ， 又又A=A， ADEACB

43、 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题课堂检测课堂检测3162ADAC218 . 79 . 3ABAEABAEACAD两边成两边成比例且比例且夹角相夹角相等的两等的两个三角个三角形相似形相似利用利用两边及夹角两边及夹角判定三角形相似判定三角形相似相似三角形的判定定理的相似三角形的判定定理的运用运用 课堂小结课堂小结第四课时返回 观察两副三角尺如图，其中同样角度（观察两副三角尺如图，其中同样角度（30与与60，或或45与与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它

44、们一定相似吗？相等，它们一定相似吗？导入新知导入新知1. 掌握掌握“两角对应相等两角对应相等，两个三角形相似，两个三角形相似”的判的判定方法定方法. .2. 能够运用能够运用三角形相似三角形相似的条件解决简单的问题的条件解决简单的问题.素养目标素养目标3. 掌握判定两个掌握判定两个直角三角形相似直角三角形相似的方法，并能的方法，并能进行相关计算与推理进行相关计算与推理. 作作ABC和和ABC ，使得，使得AA ，BB ，这时它们的第三个角满足这时它们的第三个角满足CC吗？分别度量这两个三吗？分别度量这两个三角形的边长，计算角形的边长，计算 ，你有什么发现？，你有什么发现？ACCACBBCBAA

45、B、满足：满足：C = C探究新知探究新知知识点 1这两个三角形是这两个三角形是相似相似的的 把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ ABC和和ABC相似吗？相似吗？一样一样ABC和和ABC相似相似探究新知探究新知你能试着证明你能试着证明ABCABC吗？吗？如图，已知如图，已知ABC和和ABC中中，A=A, B=B，求证求证: : ABCABC证明：证明：在在ABC的边的边AB（或延长线）上，截取（或延长线）上，截取AD=AB，过点过点D作作DE/BC，交，交AC于点于点E，则有，则有ADEABCADE=B, B=BADE=B又又A=A ，

46、AD=ABADE ABCABCABCABCDEABC探究新知探究新知 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. . A=A，B=B， ABC ABC.符号语言：CABABC归纳：归纳：探究新知探究新知 例例1 如图所示，在如图所示，在ABC和和ABC中，中，BB90，AA，判断判断这两个三角形是否相似这两个三角形是否相似 CBACBA解：解： BB90， AA， ABCABC 探究新知探究新知利用两角相等判断三角形相似利用两角相等判断三角形相似素养考点素养考点 1ABDCACDACB B ADC巩固练习巩固练习1. .如图，点如图，点 D 在在 AB上，当上，

47、当 ( (或或 ) )时，时，ACDABC； 例例2 弦弦AB和和CD相交于相交于 O内一点内一点P,求证求证:PAPB=PCPDACD证明证明: :连接连接AC、BDA、D都是弧都是弧CB所对的圆周角所对的圆周角 A=D同理同理: C=BPACPDBPAPCPDPB即即PAPB=PCPDABPOODCBP探究新知探究新知素养考点素养考点 2利用三角形相似求等积式利用三角形相似求等积式2. 如图如图， O 的弦的弦 AB，CD 相交于点相交于点 P，若若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则则 PD = . 6ODCBAP巩固练习巩固练习 ADAE.ACAB解：解： EDAB，EDA=9

48、0. 又又C=90 ，A=A， AED ABC. 如图如图，在在 RtABC 中，中，C = 90，AB = 10，AC = 8. E 是是 AC 上一点，上一点，AE = 5，EDAB，垂足为垂足为D. 求求AD的长的长.DABCE 8 54.10AC AEADAB探究新知探究新知知识点 2 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似. .归纳：归纳：探究新知探究新知已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：你能证明吗？你能证明吗？可要仔细哟！可要仔细哟！HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1，.1111kCBBCBAAB探究新知探究新知 如

49、图，在如图，在 RtABC 和和 RtABC 中，中，C=90，C=90， . 求证：求证：RtABC RtABC.ABACA BA C CAABBC要证明两个三角形要证明两个三角形相似，即是需要相似，即是需要证明什么呢？证明什么呢？目标：目标：BCABACBCA BAC探究新知探究新知证明：证明：设设 ，则，则AB=kAB，AC=kAC. 由由 ，得，得 . Rt ABC Rt ABC.22BCABAC，22.BCABAC .kB CkB C ABACkA BA C 勾股定理勾股定理BCABACB CA BA C CBCAkBAkCBACABCBBC222222 CAABBC探究新知探究新知

50、 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角边直角边与与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似那么这两个直角三角形相似. .判定两直角三角形相似的定理HLABCABCA1B1C1.即如果那么A1B1C11111,ABBCkABBCRtABC 和 RtA1B1C1.探究新知探究新知 例例3 如图，已知：如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2， ，当当 AB 的长为的长为 时，时，ACB 与与ADC相似相似2CD CABD探究新知探究新知素养考点素养考点 1直角三角形相似的判定直角三

51、角形相似的判定解析：解析：ADC = 90，AD = 2， ，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1） 当当 RtABC RtACD 时，时，有有 AC : AD AB : AC， 即即 ，解得解得 AB=3；2222226.ACADCDCABD22探究新知探究新知2CD6:2:6AB（2）当）当 RtACB RtCDA 时，有时，有 AC : CD AB : AC ， 即即 ，解得，解得 当当 AB 的长为的长为 3 或或 时，这两个直角三角形相似时，这两个直角三角形相似3 2探究新知探究新知6:2:6AB23ABCABD223. 如图如图，在在 R

52、tABC 中，中， ABC = 90，BDAC于于D. 若若 AB=6，AD=2，则，则 AC= ，BD= ，BC= .18DBCA4 212 2巩固练习巩固练习1.（2018永州）永州）如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边AB上的一点上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边则边AC的长为的长为（）（） A2 B4 C6 D8巩固练习巩固练习连 接 中 考B2.（2018绍兴）绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕绕O点旋转到点旋转到AC位置，已知位置，已知ABBD，CDBD，垂足分垂足分别为别为B，D，AO=4m，AB=1.

53、6m，CO=1m，则栏杆则栏杆C端应下端应下降的垂直距离降的垂直距离CD为（为（）A0.2m B0.3m C0.4m D0.5m连 接 中 考巩固练习巩固练习C1. 如图，如图，ABC中中，AE 交交 BC 于点于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则则DC的长等于的长等于（ ） A.154B.125C.203D.174A CABDE课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2. 如图，在如图，在 ABC 和和 ABC 中，若中，若A=60，B =40，A = 60，当，当C= 时，时，ABC ABC.CABBCA80基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课

54、堂检测课堂检测 3. 如图，如图，ABC中，中，DEBC，EFAB， 求证：求证：ADEEFC. AEFBCD证明证明: : DEBC，EFAB，AEDC，AFEC. ADEEFC. 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测证明：证明： 在在 ABC中，中，A=40，B=80， C=180AB=60. 在在DEF中，中，E=80，F=60. B=E，C=F. ABC DEF.4. 如图如图，ABC 和和 DEF 中中，A=40，B=80，E=80 ，F=60 求证求证：ABC DEF. ACBFED基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题课堂检测课堂检测证明：证明： ABC 的高的高A

55、D、BE交于点交于点F， FEA=FDB=90， AFE =BFD （对顶角相等对顶角相等） FEA FDB， 1. 如图如图，ABC 的高的高 AD、BE 交于点交于点 F 求证：求证： .AFEFBFFD.AFEFBFFDDCABEF课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题解：解： A= A, ,ABD=C, , ABD ACB , , AB : AC=AD : AB, , AB2 = AD AC. AD=2, , AC=8, , AB =4. 2.已知已知: :如图如图, ,ABD=C，AD=2, , AC=8，求求AB. 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题

56、 如图如图，BE是是ABC的外接圆的外接圆O的直径的直径，CD是是ABC 的高，的高， 求证：求证：AC BC = BE CD.ODCBAE证明：证明： 连接连接CE，又又BE是是ABC的外接圆的外接圆O的直径，的直径， BCE= 90=ADC， AC BC = BE CD. ACCDBEBC，课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题ACDEBC.A=E，BCE=ADC，则则A=E.两角分两角分别相等别相等的两个的两个三角形三角形相似相似利用利用两角两角判定三角形相似判定三角形相似直角三角形直角三角形相似的判定相似的判定课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选

57、取自主安排配套练习册练习1. . 如何理解如何理解“对应线段对应线段”？2.“.“对应线段对应线段”成比例都有哪些表达形式？成比例都有哪些表达形式？ 【想一想想一想】 探究新知1.如图，已知如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是下列比例式中错误的是 ( ) ( ) A. B. C. D.DFBDCEACBFBDAEACC ED FA EB FACBDBFAE DACEBDFl2l1l3巩固练习巩固练习1. 如图，在如图，在 ABC 中，中，EFBC，AE=2cm，BE=6cm，BC = 4 cm，EF 长（长（ ） AA. 1cm B. cm C. 3cm D. 2cmABCEF43课堂

58、检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 如图所示，如果如图所示，如果D，E，F分别在分别在OA，OB，OC上，上，且且DFAC，EFBC 求证：求证：OD OAOE OB .ODOFOAOCOFOEOCOB，.ODOEOAOB证明：证明： DFAC， EFBC，课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题 例例1 已知已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC=8 cm， AB =12 cm ， BC=18 cm ， AC=24 cm ，试说明，试说明ABC ABC. ABC ABC 探究新知探究新知素养考点素养考点 1利用三边成比例判断三角形相似利用三边成比例判断三角形相似

59、解：解： 61183B CB C41123A BA B81243ACACA BB CA CA BB CA C 1.（2017同仁）同仁）如图，已知：如图，已知：BAC=EAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40求证：求证：ABCAED连 接 中 考巩固练习巩固练习证明：证明：AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40 BAC=EAD，ABCAED20.41.217ABAE481.240ACADADACAEAB ， ， ， 解：解： A= A, ,ABD=C, , ABD ACB , , AB : AC=AD : AB, , AB2 = AD AC. AD=2, , AC=8, , AB =4. 2.已知已知: :如图如图, ,ABD=C，AD=2, , AC=8，求求AB. 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题解：解： A= A, ,ABD=C, , ABD ACB , , AB : AC=AD : AB, , AB2 = AD AC. AD=2, , AC=8, , AB =4. 2.已知已知: :如图如图, ,ABD=C，AD=2, , AC=8，求求AB. 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题