一元三次函数性质总结

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1、-三次函数的图像及性质形如的函数叫做三次函数，其中是自变量，是常数。它具有以下性质：1、图像、单调区间与极值三次函数求导以后是二次函数，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：2、零点个数假设方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，故有唯一的零点。假设方程的判别式，方程有两个不等的实根、，它们是函数的极值点，则：i当时，有一个零点；ii当时，有两个零点；iii当时，有三个零点。3、对称中心三次函数一定有对称中心。其对称中心的横坐标为。三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)的图象的对称中心在其导函数f(*)=3a*2+2

2、b*+c的图象对称轴上假设三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点4、过平面一点能作三次函数图像切线的条数三次函数的三大性质初探随着导数容进入新教材，函数的研究围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十清楚朗，本文给出三次函数的三大主要性质.1 单调性三次函数,(1) 假设，则在上为增函数；(2) 假设，则在和上为增函数，在上为减函数，其中.证明, =，(1) 当即时，在 R上恒成立，即在为增函数. (2) 当即时，解方程，得或在和上为增函数.在上为减函数.由上易知以下结论: 三次函数,(1) 假设，则

3、在R上无极值；(2) 假设，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.2根的性质三次函数(1) 假设，则恰有一个实根；(2) 假设,且，则恰有一个实根；(3) 假设,且，则有两个不相等的实根；(4) 假设,且，则有三个不相等的实根.证明 (1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与*轴只相交一次，即在R上为单调函数或两极值同号，所以或，且.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与*轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与*轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 由上易得以下结论：三次函数在上恒正的充要条件是(m*2

4、),或且(m*2) .3 对称性三次函数的图象关于点对称，并且在处取得最小值，其图象关于直线对称.证1 易知是奇函数，图象关于原点对称，则关于点对称.，当时，取得最小值，显然图象关于对称.证2 设的图象关于点对称，任取图象上点，则A关于的对称点也在图象上,由上又可得以下结论：是可导函数，假设的图象关于点对称，则图象关于直线对称.证明的图象关于对称，则图象关于直线对称.假设图象关于直线对称，则图象关于点对称.证明图象关于直线对称，则，图象关于点对称.掌握上面的研究方法和三次函数的三大性质，对于解决有关三次函数的问题是十分有益的.【常用结论】1 重点三次函数的单调性由a来决定；b、c决定函数有没有

5、极值。d确定函数图象与y轴交点。2 重点函数f(*)的极值由导函数f(*)=3a*2+2b*+c的判别式决定：0无极值，单调区间为R0既有极大值，又有极小值。有三个单调区间。3了解三次函数图象的对称性：三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)的图象是中心对称图形，其对称中心是三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)的图象的对称中心在其导函数f(*)=3a*2+2b*+c的图象对称轴上假设三次函数f(*)=a*3+b*2+c*+d(a0)有极值，则它的对称中心是两个极值点的

6、中点【典例精析】例题.设aR,讨论关于*的方程*3+3*2-a=0的相异的实根的个数？【实战演练】1.假设函数f(*)=a*3+*恰有三个单调区间，则实数a的取值围是。2.函数f(*)=*3+3a*2+3(a+2)*+3既有极大值又有极小值，则a的取值围是.3.函数y=f(*)=*3+p*2+q*的图象与*轴切于非原点的一点，且y极小=-4,则p=,q=.4函数f(*)=-*2+8*与g(*)=6ln*+m的图象有且只有两个不同的交点，数m的值？5.f(*)=*3-3*,过点A(1,m)(m-2)可作曲线y=f(*)的三条切线，数m的取值围？6.设函数f(*)=*3-6*+5,*R.1求函数f

7、(*)的单调区间和极值2假设关于*的方程f(*)=a有三个不同的实根，数a的取值围.3当*(1,+)时, f(*)k(*-1)恒成立,数k的取值围.三次函数与导数例题与练习答案例1.(14全国大纲卷文21,总分值12分函数.1讨论函数的单调性；2假设函数在区间1，2是增函数，求的取值围.解：，的判别式=361-a.当a1时，0，则恒成立，且当且仅当，故此时在R上是增函数.当且，时，有两个根：，假设，则, 当或时，故在上是增函数；当时，故在上是减函数；假设，则当或时，故在和上是减函数；当时，故在上是增函数；当且时, ,所以当时，在区间1，2是增函数.当时，在区间1,2是增函数，当且仅当且，解得.

8、综上，的取值围是.例2.(14文数 20)本小题总分值13分设函数，其中。1讨论在其定义域上的单调性；（1） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.的定义域为，令，得所以当或时，；当时，故在单调递减，在单调递增因为，所以当时，由知，在0，1上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值当时，由知，在0，上单调递增，在，1上单调递减，因此在处取得最大值又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值。例4.14年*文科19,总分值14分函数（1） 求的单调区间和极值；2假设对于任意的，都存在，使得，求的取值围解：由，有令，解得或当变化时，的变化情况如下表：0-0+0-0

9、所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，当时，有极小值，且极小值；当时，有极大值，且极大值解：由及知，当时，；当时，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得等价于，显然，.下面分三种情况讨论：1当，即时，由可知，而，所以不是的子集。2当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值围包含，则所以，3当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。综上，的取值围是课后练习、作业1.设.(1)假设在上存在单调递增区间,求的取值围；(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：1，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的局部（2） , 在上取到最小值，而的

10、图像开口向下，且对轴轴为，则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，此时，由，所以函数2函数，1讨论函数的单调区间；2设函数在区间是减函数，求的取值围4解：1求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增2，且解得：3.设函数当求曲线处的切线斜率求函数的单调区间与极值；【解析】解：(09*文21)本小题总分值12分1当所以曲线处的切线斜率为1.2解：，令，得到因为当*变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和减函数，在增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=3解：由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为假设，而，不合题意假设则对任意的有则

11、又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值围是4.函数，假设在上的最小值记为。1求；2证明：当时，恒有解：(14文21,15分)因为，所以当时，假设，则，故在上是减函数；假设，则，故在上是增函数；所以当时，有，则，故在-11上是减函数，所以综上，证明：令，当时，假设，得，则在上是增函数，所以在设的最大值是，且，所以，故假设，得，则在上是减函数，所以在设的最大值是令，则知在上是增函数，所以，即，故当时，故，得此时在-1，1上是减函数，因此在-1，1上的最大值是，故综上，当时，恒有5. (14文数21) 函数1求函数的单调区间；2当时，试讨论是否存在，使得解：

12、1，方程的判别式，所以，当时，此时在上为增函数；当时，方程的两根为当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；当时，此时为增函数；综上时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为2所以，假设存在，使得，必须在上有解，方程的两根为，因为，所以只能是依题意，即所以，即又由，得，故欲使满足题意的存在，则所以，当时，存在唯一的满足当时，不存在使得6.函数.(1)假设，求的单调区间；(2)假设在单调增加，在单调减少，证明:6.21解：(09理21)本小题总分值12分当时，故当当从而单调减少.()由从而因为所以将右边展开，与左边比拟系数得，故又由此可得于是7.设函数1对于任意实数，恒成立，求的最

13、大值；2假设方程有且仅有一个实根，求的取值围解：(1) , 因为, 即恒成立, 所以, 得，即的最大值为 (2) 因为当时, ;当时, ;当时, ;所以当时,取极大值; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,取极小值;故当或时, 方程仅有一个实根. 解得或.8.函数，曲线在点0,2处的切线与轴交点的横坐标为-2.1求；2证明：当时，曲线与直线只有一个交点。解：14年新课标文21，本小题总分值12分，曲线在点0，2处的切线方程为由题设得，所以由知，设由题设知当时，单调递增，所以在有唯一实根。当时，令，则在单调递减，在单调递增，所以故在没有实根综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。. z.