电磁场与电磁波四之三静态场及其边值问题解PPT课件

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1、1分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场0t0t电磁波按时间变化情况第3章第4、5、6、7、8章第1页/共152页2第2页/共152页300HJEBD 0J出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 静态电磁场问题0t特点：电场和磁场独立第3页/共152页4分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场按场的类型静态磁场第4页/共152页50ED 0J出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件DEJE 1212()0()nnSeEEeDD12(JJ

2、)0ne 静态电场问题按电荷静止或运动情况分类静电场恒定电流场静止 任意0J 匀速运动 有限0J 第5页/共152页60HJB 出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件HB 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题第6页/共152页7 本章内容安排 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法第7页/共152页8静态电场问题按电荷静止或运动情况分类静电场恒定电流场静止 任意0J 匀速运动 有限0J 第8页/共152页9面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般

3、性物理问题？第9页/共152页103.1 静电场分析静电场分析 学习内容 静电场的基本方程和边界条件 电位函数 导体系统的电容与部分电容 静电场的能量 静电力第10页/共152页11面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何突变边界？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第11页/共152页122. 边界条件（一般性问题）0ED微分形式：ED本构关系：1. 基本方程（一般性问题）0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：02t1tn2n1EEDDS或静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）0理想介质：

4、0存在导体：第12页/共152页13介质2介质121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE导体内部的电场为零0nnEDeeS0tnEDS或 理想介质情况 导体情况 界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00DDEE 介质表面的自然边界条件 静电平衡 导体表面的边界条件导体介质2, 011, 020E1EEne第13页/共152页14面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？第14页/共152页150E由( )r称为静电场的标量电位函数或简称电位。1. 电位函数的定义E

5、 电位函数电位函数优越性：求矢量函数的问题转化为求标量函数的问题第15页/共152页16求2. 电场强度与电位函数的关系EdEl 已知EdddlEl 已知求E如何求出电位函数？第16页/共152页17在均匀介质区域中，有3. 电位的微分方程在无源区域，0EED202标量泊松方程拉普拉斯方程介质2介质12122 E11 E21022021 电荷区第17页/共152页184. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题2( )()qrrr 介质 E20 ( )q r r 点电荷源情况：( )4qrCRoxzyRrr r第18页/共152页194. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续)dqd任意电荷

6、源情况：(元电荷产生电位的迭加）( )( )4r dvrCR dqdvl体分布电荷源( )4sdsrCRsdqdSl面分布电荷源( )4ldlrCRldqdll线分布电荷源( )4dqdrCR第19页/共152页2012()0v 5. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题 导体表面边界面D 两理想介质分界面 （无强加自由电荷）0Snn1122常数，SnSnn112221 静电位的边界条件(任意静电场情况)02t1tn2n1EEDDS12c 实际问题中典型的静电场情况第20页/共152页21 6. 由电位函数引出的经典物理量电压（电位差）( )( )dddPPQPQQElPQEl P、Q 两点间的

7、电位差电场力做的功dEl 问题：选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗？第21页/共152页22静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值选参考点令参考点电位为零电位确定值(与零电位点的电压) 选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。 同一个问题只能有一个参考点。7. 电位参考点解决办法：第22页/共152页23 例 求电偶极子的电位和电场强度. 解 在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr302020444cos)(rr

8、rrqdrrpep代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子zodq1r2rr),(rP化简第23页/共152页24ErErrdd21sinCr 将 和 代入上式，解得E线方程为ErE)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线电场线电偶极子的场图电力线的微分方程：等位线方程：求电场强度第24页/共152页25解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r ，则000( )( )ddPPoOPOElErEr rrrrrr若选择点O为电位参考点，即 ，则( )0O0( )PEr rr

9、0ExzOPr 例 求均匀电场的电位分布。用拉普拉斯方程如何求解第25页/共152页26xyzL-L( , , ) z zddlzR 解 建立一个最好的坐标系，如图，则02201()d4()LlLrzCzz2200ln() 4LlLzzzzC220220()()ln4()()lzLzLCzLzL 例3.1.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。0l选一个最利的电位参考点确定C，例如 则C=0 ()0 第26页/共152页2722022000()()( )limln4()()2 ln2lLlzLzLrCzLzLLC任选有限远处的某点为电位参考点，例如，= a 点，则有002ln2l

10、LCa 00( )ln2lar求无限长直均匀线电荷产生的电位最有利的零电位点选择？第27页/共152页28 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为obaxy两块无限大平行板0S121122( ),( )xx 分析用直接积分方法求解？第28页/共152页290110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()

11、( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 最后得xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，0 x 处，1(0)0 xa2( )0a 处，0220( )( )SxbE xxea 确定待定常数利用边界条件方法第29页/共152页30 两区的介质不同？ 用高斯定理求解？ 用Maxwell微分方程求解？ 其它坐标系下的同类问题？延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板0S12121E2E第30页/共152页31面对的问题！分析求解方法！典型应用：l 静电感应l 静电屏蔽关联的一般性物理问题？第31页/共15

12、2页32电容器在实际问题中的作用： 导体系统的导体系统的电容电容与部分电容与部分电容典型的有利作用：储能、滤波、移相、隔直、旁路、选频等典型的不利作用：电容耦合系统和部件产生的电磁兼容问题第32页/共152页33qC 1. 电容 孤立导体的电容 两导体所组成电容器的电容12qqCU *多导体系统中导体两两间形成部分电容 Cq 12Cqq 12311C33C22C12C23C13C111112121313222221213131333331313232()()()()()()qCCCqCCCqCCC第33页/共152页34导体系统的结构、尺寸、形状和其周围的电介质与导体的带电量和电位无关决定电容

13、量大小的因素第34页/共152页35假定导体/两导体带电荷q /q求导体/两导体间的电位/电压 方法一：UqC 求解电容量的方法（利用与导体的带电量和电位无关） 方法二：按定义求得电容假定导体/两导体的电位/电压求导体表面所带电量q 第35页/共152页36 解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压04abqCUba球形电容器的电容04Ca当 时，b 例 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容abo第36

14、页/共152页37 例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线的轴线距离为D ，且D a ，求传输线单位长度的电容。l解 设两导线上的带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷在各导线表面均匀分布。因此导线间x处的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差2100d11 ()dln2D allaUElDaxxDxa故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第37页/共152页38 例 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电

15、位差1( )dd2bblaaUEell 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线ln( / )2lb a第38页/共152页39面对的问题！分析求解方法！典型应用!关联的一般性物理问题:l 静电场的能量l 电容的储能第39页/共152页40 静电场能量的分布空间静电场具有能量的实验证据静电场的能量静电场的能量 第40页/共152页411. 静电场的能量l 通过电位计算体分布电荷情况面分布电荷电容器的储能iq 第i 个导体所带的电荷i 第i 个导体的电位式中： i

16、iiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第41页/共152页422. 电场能量密度EDw21e电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE l 通过电场分布计算第42页/共152页43由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有211 O( O()DRR) 、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故11

17、dd22SVDSE D V 推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV第43页/共152页44 例 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解： 方法一，利用 计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第44页/共152页45)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二

18、：利用 计算 VVWd21e 先求出电位分布 故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第45页/共152页46静态电场问题按电荷静止或运动情况分类静电场恒定电流场静止 任意0J 匀速运动 有限0J 第46页/共152页47面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？第47页/共152页483.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场与静电场的比拟 漏电导第48页/共152页49面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 有何特殊现象？l 边界有何物理量的突变？分析方法？典型应用？关联的一般性物理

19、问题？第49页/共152页50 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！第50页/共152页510ED 0J出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件DEJE 1212()0()nnSeEEeDD12(JJ )0ne 静态电场问题第51页/共152页522. 边界条件（一般性问题）()D微分形式：()DE本构关系：1. 基本方程（一般性问题）12nn12()0()0eJJeEE J d0d0SCSEl积分形式：1n2n1t2t00JJEE或3. 按媒质分类的两类问题（特殊性问题）0导电媒质：0存在介质：恒定电场的基本方程和边界条件00EJ(D d)SqSJE n12(

20、)SeDD1n2nSDD均匀导电媒质中存在净电荷？第52页/共152页531t1n111n122t2n22n2/tan/tan/EEDEED1n2n0SDE 导电媒质情况 存在介质情况 界面两侧场矢量的方向关系1n2n1t2t00JJEE 分界上两侧的边界条件 界面上两侧场量的特殊性导体介质22, 11, 01Ene导电媒质2导电媒质122, 11, 212E1Ene2E面电荷？1n2n()SDD导体是等位体？有限21?第53页/共152页54ab11、第54页/共152页55面对的问题！分析方法：l 哪些方法最适合？典型应用？关联的一般性物理问题？第55页/共152页56什么情况下会产生恒定

21、电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度 基于已知电荷的方法 基于电流（欧姆定律） 基于电位的方法20第56页/共152页57（1）利用欧姆定律（导电媒质的本构关系）表示了电场强度 基于电流求解分析恒定电场问题的方法（2）用已知量（通常是激励电压）表示出未知量JEdQPUEl第57页/共152页58 电位函数满足Laplace方程121212nn 基于电位求解分析恒定电场问题的方法 电位的边界条件201212()snn 1t2t1n2n00EEJJ1n2n()SDD()E 第58页/共152页59 例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1 和 2、2 ，

22、外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。 解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z 方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U2d1d22, 11, zo1212112212()ddUUUE dE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU122112122112()SJUdd 第59页/共152页60 例 如图示设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（1）同轴线中各区域中的电流密度和电场强度分布；（2）各分界面上的自由电荷面密度。J1212I外导体内导体介质2介质1abc11、22、0U第60页/共152页61 （1）设同轴电缆中的径向电流为I ,则由 可得电流密度Sd

23、,JSI()2lIJeac111()2lIJEeab 介质中的电场222()2lIJEebc 解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。J单位长度的径向电流第61页/共152页6212021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()lUIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcllabIIbcUEEab由于于是得到第62页/共152页6312011121ln()ln()

24、SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1222112112021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I第63页/共152页64面对的问题！分析方法！典型应用：l 导体的电阻和电导关联的一般性物理问题？第64页/共152页65UIG IUGR1电阻和电导第65页/共152页66(1) 假定两电极间的电流为I ；(2) 由 ，求出两导 体间的电位差；(3) 由定义求电导：21dlEUUIG/ 计算电导的方法一： 计算电

25、导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为U； (2) 由 ，求出两导体 间电流； (3) 由定义求电导：SISJdUIG/ 计算电导的方法三：静电比拟法：CG第66页/共152页67恒定电场与静电场的比拟基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（ 区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场EEDJqI恒定电场GC0d, 0dlESDCS第67页/共152页68 例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a 、b，长度为l ，其间媒

26、质的电导率为、介电常数为。解：直接用恒定电场的计算方法电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则IlIJ2lIJE2设由内导体流向外导体的电流为I 。第68页/共152页69012222000, 0U 方程通解为21CC 例 在一块厚度为h 的导电板上， 由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。 解： 设在沿 方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易判定电位 只是变量 的函数，因此电位函数 满足

27、一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到10020/,CUCU 环形导电媒质块r1hr20J第69页/共152页70电流密度00UJEe 两电极之间的电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿 方向的两电极之间的电阻为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以00UEee 第70页/共152页71面对的问题！分析方法！典型应用！关联的一般性物理问题：l 功耗第71页/共152页72 导体媒质的功耗 功耗密度和功耗JwEJdvvW E为什么电阻R消耗的功率是WIV第72页/共152页73分类分析求解电磁问题分类分析求解电磁问题静态电磁场0t0t电磁波按时间变化情况第3

28、章第4、5、6、7、8章第73页/共152页74分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场按场的类型静态磁场静电场恒定电场第74页/共152页75NoImage 一、静止电荷产生的场（静电场）n 导体（ ）内部的电场为零n 导体表面的切向电场为零 等势体n 导体内部的电荷为零n 电荷只能位于导体表面，密集于表面类锐部分n 应用：静电感应，静电屏蔽，避雷针， 静态电场的典型现象和结论0第75页/共152页76NoImage 二、运动电荷产生的直流电场（恒定电场）n 导体（ ）内部可存在电场n 导体表面的切向电场一般非零 非等势体n 导体内部可有运动电荷，但净电荷量为零n 净电荷

29、只能位于导体表面n 理想导体（ ）内部电场为零，电流为零n 理想导体边界上的电场垂直于表面 等势体典型静电场现象 0,JE第76页/共152页77NoImage进一步理解静电场和恒定电场思考题：导体0U求：1） ；2）储能或功耗？,?E导体0wt0tU第77页/共152页78分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场按场的类型静态磁场第78页/共152页79面对的问题？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第79页/共152页80恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场的能量 磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析第80页/共1

30、52页81面对的问题:l 存在什么源？l 在何媒质环境中？l 突变边界上有何现象？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第81页/共152页820HJB 出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件HB 1212()()0snneeHHJBB 静态（恒定）磁场问题第82页/共152页832. 边界条件（一般性问题）微分形式：本构关系：1. 基本方程（一般性问题）积分形式：恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件0HJB0dddSSCSBSJlHBHSJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或第83页/共152页84面对的问题:l 存在什

31、么源？l 在何媒质环境中？l 突变边界上有何现象？分析方法？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第84页/共152页85面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第85页/共152页86( )A r 称为矢量磁位或简称磁矢位。1. 矢量磁位的定义恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位优越性：可以任意选择规定磁矢位的散度0BBA 在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。0A如何求出电位函数？第86页/共152页872. 磁矢位的微分方程（一般性问题）在无源区：ABHJ0A0J JA202 A矢量泊松方程

32、矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 第87页/共152页883. 无限大均匀媒质空间中的问题（特殊性问题）21( )( )rr 类比方法求解1( )( )4Vr dvrCR211222233AJAJAJ 123123JxyzxyzA eA eA eJ eJ eJ eAJA2( )( )4iiiVJ r dvA rCRJ( )A( )C4Vr dvrR 第88页/共152页893. 无限大均匀媒质空间中的问题(续)对于电流的不同分布形式：l体电流分布l面电流分布l线上的电流J( )A( )C4Vr dvrR J ( )A( )C4ssr dsrR ( )A( )C4lI r dlrR 第89页/共

33、152页90 4. 存在不同媒质空间中的问题（一般性问题） 磁矢位的边界条件0A12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJSCSBlAdd2t1tAA 2n1nAA12AA121211()nSeAAJJA2第90页/共152页91面对的问题！分析求解方法：l 已有方法及其适用范围？l 利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？典型应用？关联的一般性物理问题？静态磁场第91页/共152页92面对的问题！分析求解方法！典型应用：l 电感（自感、互感）关联的一般性物理问题？静态磁场第92页/共152页931. 磁通与磁链电感 C回路l 磁通CSSlASASBdddl 磁链CI电流

34、回路特征：回路可以是任意几何回路与所有电流回路铰链的总磁通特征：l 回路是电流回路l 计入电流存在的所有回路l 每个回路是计入与之铰链的全部磁通I第93页/共152页94n: 为磁场铰链的电流与回路电流I 之比（不一定为整数） n 单匝线圈 多匝线圈CI细回路 粗导线回路iCIo粗回路l 磁链计算oio :外磁链； i :内磁链第94页/共152页95IL称为导体回路 C 的自感系数，简称自感。 外自感ILiiILoo2. 自感 内自感；粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流和磁链的大小无关。 自感的特点：特征：磁链是I自已产生的iC

35、Io粗回路第95页/共152页9621211111 (=)MMLI回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。21212IM 3. 互感同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为C1C2I1I2特征： 在C2中看由I1产生的磁链特征： 在C1中看由I2产生的磁链纽曼公式122112012dd4CCMMMllMR 112C1 中总磁链:1总 =1+12221C2 中总磁链:2总 =2 +21思考： 1总 =？； 2总 =？第96页/共152页974. 纽曼公式的证明111021d4)(CRlIrAC1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r纽曼公式22112dCAl所以：2102112211dd4

36、CCllMIR 同理：120211221dd4CCllMMR 12012dd4CCllMR 2210 1122112ddd4CCCIllAlR 而：故：第97页/共152页98面对的问题！分析求解方法！典型应用！关联的一般性物理问题：l 磁场能量l 电感的储能静态磁场第98页/共152页99 磁场能量的分布空间磁场具有能量的实验证据恒定磁场的能量cFIdlB 哪里有磁场，哪里就有磁场能量！第99页/共152页1001. 通过磁场分布计算磁场能量磁场能量密度：磁场能量：积分区域V内的磁场能量对于线性各向同性媒质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111d

37、dd222VVVWB H VH H VHV第100页/共152页101体分布电流时面分布电流时m1d2VWJ A V m1d2sSWJA S 回路线电流时md22CIIWAl 总2. 通过磁矢位计算磁场能量第101页/共152页1023. 通过电感计算磁场能量电感储能（单个载流回路）：电感储能（ N个载流回路）：2m122IWI L总m11111221 2NNNjjjkjjjkNNjkjkjkWIII I M 总22m1 1221 21111222NNjkjkjkWI I ML IL IMI I例如对2个载流回路第102页/共152页103面对的问题！分析求解方法！典型应用！关联的一般性物理问

38、题！静态磁场！第103页/共152页104 解：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离 。则22()RzzddzI le I z( , , )Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln() 4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例 求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位 L 02( )ln2zILA reCxyzL-L( , , ) z zddzI le I zR第104页/共152页105 解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I ，由安培

39、环路定理0ii22,22IIHBaa处面元的磁通为0ii2ddd2IBSla(0)a 例 求同轴线单位长度的自感。得则其磁链为30ii4ddd2IIlIaabadIiB2222idaIaIIlHC第105页/共152页106因此内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIlla0ii8LIl故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。00ooddln22baIIblla00ioln82bLLLa02IB0ooddd2Il则o0oln2bLIla故单位长度的外自感为单位长度的总自感为第106页/共152页107 例 计算平行双线传输线单位长度的自感。（D a ）00o11d()dln2D

40、aaIIDaBSlxlxDxa011( )()2yIB xexDx外磁链为， 解 应用安培环路定理和叠加原理 可得，xyzxDaPII于是单位长度的外自感为，o00olnlnDaDLIaa第107页/共152页10800ioln4DLLLa00i284L两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为第108页/共152页109 例 试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。 解：由安培环路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc第109页/共152页11022220m322() () 2 d22cbIcWcb 三个区域单位长度内的磁场能量分别为22

41、00m120() 2 d2216aIIWa 2200m2() 2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb第110页/共152页111单位长度内总的磁场能量为mm1m2m3222422000222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感422000m22222223lnln822 ()4()WbcccbLIacbbcb内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感第111页/共152页112分类分析求解静态电磁场问题分类分析求解静态电磁场问题静态电场按场的类型静态磁场第112页/共152页11300HJEB

42、D 0J出发点Maxwell方程组条 件本构关系边界条件DEHBJE 12121212()()0()0()nSnnnSeHHJeEEeBBeDD12(JJ )0ne 直接针对场量计算的静态电磁场分析方法第113页/共152页114 电位函数满足Poisson方程1212121212snnnn 基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的边界条件2 ()E 通过位函数间接计算静态电磁场的分析方法第114页/共152页115l 磁矢位的边界条件12AA121211()nSeAAJ2 ,(B=A) AJ l 磁矢位函数满足Poisson方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法第115页/共152页1

43、16l 具有强对称性的问题l 无限大的均匀媒质空间中的问题 已经学习掌握的分析能力 待求场量或位函数具有单一坐标变量依赖的特征！（一维问题）（包括高维问题）第116页/共152页117对于高维问题(多自变量) 如何着手分析？ 求解边值问题！l边值问题的描述l边值问题的解法第117页/共152页1183.4 静态场的边值问题静态场的边值问题 讨论内容讨论内容 边值问题的类型边值问题的类型 惟一性定理惟一性定理边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的 泊松方程或拉普拉斯方程第118页/共152页119 求解边值问题：l边值问题的描述l边值问题的解法第119页/共152页120 边值问题的类型边值

44、问题的类型1|( )Sf S给定22212|() ; SfSSSSn111|()Sf S、2|( )SfSn第一类边值问题（或狄里赫利问题）给定 给定第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）SVV：求解域S：V的包围面第120页/共152页121有限值rrlim 自然边界条件 （无界空间）rS要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法第121页/共152页12222220 xy例：(0, )0, ( , )0ya y0( ,0)0, ( , )xx bU（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0 x0 x22220 xy00,0 xx axx0( ,

45、0)0, ( , )xx bU（第三类边值问题）例：第122页/共152页123 求解边值问题：l边值问题的描述l边值问题的解法镜象法分离变量法有限差分法.第123页/共152页124 在求解域V内保持待求量的方程不变，同时，在V的包围边界面S上保持给定的 或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内的解惟一。 n惟一性定理SV惟一性定理的重要意义给出了边值问题具有惟一解的条件为求解场问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述V：求解域S：V的包围面第124页/共152页125 镜像法的基本原理 接地导体平面的镜像 导体球面的镜像 导体圆柱面的镜像 点

46、电荷与无限大电介质平面的镜像 线电流与无限大磁介质平面的镜像 3.5 镜像法第125页/共152页1261. 问题的提出几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。qq非均匀感应面电荷等效电荷镜像法的基本原理第126页/共152页127 接地导体球附近有一个点电荷，如图。 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。q非均匀感应电荷q等效电荷问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？第127页/共152页1282. 镜像法的原理方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用3. 镜像法的理论基础目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题解的

47、惟一性定理第128页/共152页129 像电荷的个数、位置及其电量大小确定“三要素” 4. 镜像法应用的关键点5. 确定镜像电荷的两条原则明确等效求解的“有效场域”镜像电荷的确定像电荷必须位于求解域以外像电荷的个数、位置及电荷量的大小的选择目标 是保持问题的边界条件不变第129页/共152页1301. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像,qq hh 11()4qRR00zRR满足原边值问题，所得的结果正确！接地导体平面的镜像镜像电荷电位函数因z = 0时，有效区域RR qhhq qh0z （）第130页/共152页131求接地平板导体上的感应电荷面密度和总电荷量qh22222211( , , )

48、4()()qx y zxyzhxyzh(0)z 2223 202()Szqhzxyh in2223 2d dd2()SSqhx yqSxyh 222 3 200d d2()qhqh 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为第131页/共152页1322. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像2 , ,0;00,lx zhzz 镜像线电荷：ln(0)2lRzR电位函数：边值问题当z = 0 时，rr 0,llhh hhl 有效区域RR l满足原边值问题，所得的结果正确！第132页/共152页1333. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像1231111()4qRRRRq对于平面1:有镜像

49、电荷q1=q，位于(d1, d2 )q对于平面2:有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 )求得电位函数为：d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1q1对于平面2及q2对于平面1:有镜像电荷q3=q，位于( -d1, d2 )第133页/共152页134 例 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？解：20( ), F ( )( )4(2 )xqE xexqE xxe22200( ) d1d4(2 )16ddWqE xxqqxxd 2oe016qWWd qqx =0d-d第134页/共152页135导体球面的镜像1. 点电荷对接地导体

50、球面的镜像1()4qqRR方法: ? dq? 问题： PqarRdqPaqrRRdd边界条件！( )0a第135页/共152页136=0r aqqRRr aRqRq 2add aqqd 像电荷的位置像电荷的电量addadada常数qPqaRRddOr aqRaqRd第136页/共152页1372222221()42cos()2 ()cosqarardrddradr ad22223 2()4 (2cos )Sr aq dara adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq daaaqSqaadadd 可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。求球面上

51、的感应电荷密度和总电荷导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度为第137页/共152页138点电荷对接地空心导体球壳的镜像,aqqd 2add | q|q|与外半径 b 无关（为什么？）aqdobqrRRaqdOd1()4qqRR()ra第138页/共152页139220223 2()4 (2cos )Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq adaqSqaadad 感应面密度为：导体球内表面的总感应电荷为22222201()42cos()2 ()cosqarardrddradr ad求球壳内表面上的感应电荷密度和总电荷等效电荷

52、量总是等于感应电荷量？等效电荷量总是等于感应电荷量？ NO！第139页/共152页1402 . 点电荷对不接地导体球的镜像2,aaqq ddd 导体球不接地时的特点： 导体等势但不为零 球面上感应电荷总量为零PqarRdO负电荷分布同接地球球分布？正电荷均匀分布？qPaqrRRddqOqq 01()4qqqRRr 感应电荷的面分布为：第140页/共152页141用镜像法要求分析求解的问题用镜像法要求分析求解的问题第141页/共152页142分析方法总结分析方法总结第142页/共152页1433.6 分离变量法分离变量法 分离变量法解题的基本原理 直角坐标系中的分离变量法 圆柱坐标系中的分离变量

53、法 球坐标系中的分离变量法第143页/共152页144 将未知函数对其多自变量（高维问题）的依赖关系，化为对各自变量单独依赖的关系（变量可分离），从而实现将高维问题转化为一维问题求解分离变量法是求解边值问题的一种一般性方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本原理第144页/共152页145在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为02222 yx直角坐标系中的分离变量法22221d( )1d( )( )d( )dX xY yX xxY yy 将 (x, y) 表示为两个一维函数 X( x )和Y( y )的乘积，即( , )( ) ( )x

54、yX x Y y2222d( )d( )( )( )0ddX xY yY yX xxy将其代入拉普拉斯方程，得再除以 X( x ) Y( y ) ，有分离常数第145页/共152页146222d( )( )0dX xk X xx222d( )( )0dY yk Y yy 若取k2 ，则有000( )( )Y yY yC yD( )( )sinh()cosh()nnnnnY yYyCk yDk ysin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnAk xBk xCk yDk y( )sin()cos()nnnnX xAk xBk x当0nkk( , )( , )( )( )nnnx y

55、x yXx Y x0000000( , )( , )( )( )()()x yx yXx Y yA xBC yD当0k 000( )( )X xXxA xB第146页/共152页14700001( , )()()sin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y将所有可能的 (x, y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取k2 ，同理可得到00001( , )()()sinh(_cosh()sin()cos()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件

56、确定。第147页/共152页148 例 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。222200(0, )0, ( , )0(0)( ,0)0, ( , )(0)xyya yybxx bUxa 解：位函数满足的方程和边界条件为0Ubaoxy00001( , )()()sin()cos()sinh()cosh()nnnnnnnnnx yA xBC yDAk xBk xCk yDk y因 (0 , y)0、 (a , y)0，故位函数的通解应取为第148页/共152页1490, 00nBB确定待定系数0001( , )

57、()sin()sinh()cosh()nnnnnnnx yA x C yDAk x Ck yDk y00,sin()0nnA aAk a00,sin()0nAk a00,nnAka1( , )sin()sinh()cosh()nnnnn xn yn yx yACDaaa(0, )0y( , )0a y0001()sin()sinh()cosh()0nnnnnnnA a C yDAk a Ck yDk y0001()sinh()cosh()0nnnnnnB C yDB Ck yDk y第149页/共152页150( ,0)0 x1sin()0nnnn xA Da0nD11( , )sin()si

58、nh()sin()sinh()nnnnnn xn yn xn yx yA CAaaaa0( , )x bU01sin()sinh()nnn xn bAUaasin()n xa将U0 在（0, a）上按 展开为傅里叶级数，即01sin()nnn xUfa00041,3,5,2sin()d02,4,6,anUnn xfUxnaan其中第150页/共152页151011sin()sinh()sin()nnnnn xn bn xAUfaaa041,3,5,sinh( / )sinh()02,4,6,nnUnfnn b aAn bna由01,3,5,4( , )sin()sinh()sinh( / )nUn xn yx ynn b aaa故得到第151页/共152页152感谢您的观看！第152页/共152页