第二章三角形

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1、第二章 三角形2.1 三角形2.1.1 三角形的三边关系（第1课时）教学目的 1.让学生通过作三角形(已知三条线段)的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。 2会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。 重点、难点 1. 重点；三角形任何两边之和大于第三边的应用。 2难点：已知三角形的两边求第三边的范围 教学过程 一、复习提问 1.三角形的三个内角和是多少?三角形的外角有什么性质? 2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种? 二、新授 我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，

2、今天我们要探索三角形的三边之间的不等量关系。 1让学生拿出预先准备好的四根牙签(2cm，3cm，5cm，6cm各一根)，请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?若不是，哪些可以，哪些不可以?你从中发现了什么? 从4根中取出3根有以下几种情况： (1)2cm，5cm，6cm (2)3cm，5cm，6cm(3)2cm，3cm，5cm(4)2cm，3cm，6cm 经过实践可知(1).(2)可以摆出三角形，(3)、(4)不能摆成三角形。我们可以发现在这三根牙签中。如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形的任何两边的和大于第三边。 2下面我

3、们再通过用圆规、直尺画三角形来验证 画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。 画法步骤如下： (1)先画线段AB=7cm (2)以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧， (3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C； (4)连接AC、BC ABC就是所要画的三角形。 这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等。 试一试： 能否画一个三角形，使它的三边分别为 (1)7cm，4cm，2cm (2)9cm，5cm，4cm 大家在画图过程中，发现两条弧不会相交，这就是说不能作出三角形。 你能否利用前面说过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性? 例1有两根长度分别为5cm和8cm的木

4、棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢?用长度为3cm的木棒行吗?为什么?长度为14cm的木棒呢? 3三角形的稳定性。 教师演示简易的教具用木条钉成的三角形和四边形，用力一拉四边形变形了，而三角形却一点不变。 这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形就不具有这个性质。 三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用；如桥拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构(如教科书图9113) 你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗? 三、巩固练习 教科书第44页练习1、2。 四、小结 本节课我们研究、探索了三角形

5、中边的不等量关系，三角形任何两边的和大于第三边。注意“任何”两宇，如三角形的三边分别为a、b、c，则a+bc，a+cb，b+ca都成立才可以，但如果确定了最长的一条线段，只要其余两条线段之和大于最长的一条，它们必定可以构成三角角形。如果已有两条线段，要确定第三条应该是什么样的长度才能使它们构成三角形?第三边的取值范围是大于这两边的差而小于这两边的和。 五、作业 P49 A组 1、2 补充作业（略）。2.1.2 与三角形有关的线段（第2课时）教学目的1、 掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，2、会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法。让学生从实践中得到三角形的三条

6、中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。 重点、难点 1重点：三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。 2难点：钝角三角形高的画法。教学过程 一、复习提问 1什么叫角平分线?如何画一个角的平分线?2已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线。 BlA 二、新授 今天我们要学习三角形中的三种重要线段中线、角平分线和高。 1三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。如图，点D是BC边的中点，即AD是ABC的中线。 A B D C 问：三角形有几条中线?若已知AD是三角形的中线，你可得

7、到什么结论? 2三角形的角平分线：三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。如图，1=2，那么CE是ABC的角平分线。 A E 2 B C 1 问：三角形有几条角平分线?三角形的角平分线和角平分线有什么不同? 3三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。如图BFAC，垂足为F，则BF是ABC的高，三角形有3条高。 A F B C如图ABC，边BC上的高画得对吗?为什么? A A A B B C B C B C A C 分析：根据三角形高的概念，BC边上的高应是BC边所对的顶点 A向BC作垂线，顶点A与垂足间的线段，所以(1)，(3)，

8、(4)都错了，只有(2)是对的。 4做一做：让学生拿出昨天做的三个锐角三角形。 (1)分别画出中线、角平分线、高。 (2)你能用折纸的办法得到这些线段吗?试一试。 (只要求折出一条中线、一条高，一条角平分线) (3)把锐角三角形换成直角三角形、钝角三角形再试一试。 将你的结果与同伴进行交流。 5议一议： (1)一个三角形中三条中线(高、角平分线)之间的位置关系怎样? 三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点 (2)一个三角形的三条中线(角平分线)的交点与三角形有怎样的位置关系? 三条中线(角平分线)相交于一点，这一点在三角形内部 (3)直角三角形的三条高，它们有怎样的位

9、置关系?钝角三角形呢? 直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。 (4)你能折出钝角三角形的三条高吗? 三、巩固练习 P45 练习1、2。 第l题 也可以让学生剪下一个等腰三角形，用折纸的方法验证底边上的高、中线、角平分线互相重合。 四、小结 1三角形的三种重要线段中线、高、角平分线的概念。 2三角形的中线、高、角平分线的画法。 3三角形的三条中线(高、角平分线)之间的位置关系以及它们与三角形间的位置关系。 五、作业 P49 A组3， 2.1.3三角形的内角和

10、外角（第3课时） 教学目的 1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念。 2.会将三角形按角分类。 重点、难点 1重点：三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念。 2难点：三角形的内角和的性质。 教学过程 一、引入新课 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。 本章我们将学习三角形的基本性质。 二、新授1、三角形的内角概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如BAC。 每个三角形有几个内角? 合作学习：请每个学生利用手中的三角形（已备），把三角形的三个角撕（或剪）下来，然后把这三个角拼起来

11、，然后观察这三个角拼成了一个什么角？请学生归纳这一结论，教师板书：三角形的三个内角的和等于180O你能证明这个结论吗？（可以把角B平移到点C使点B和点C重合）2、三角形的外角的概念：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中ACD是ABC的一个外角，它与内角ACB相邻。A 外角 BCD与ABC的内角ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系?练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来。AD BC(2)指出ADC的三个内角、三条边。 学生回答后教师接着问：ADC能写成D吗?ACD能写成C吗?为什么? (3)有人说CD是ACD和BCD的公共的边，对吗?AD是A

12、CD和ABC的公共边，对吗? (4)BDC是BCD的什么角?是ACD的什么角?BCD是ACD的外角，对吗? (5)请你画出与BCD的内角B相邻的外角。 2三角形按角分类。 让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?并用量角器或三角板加以验证。 123第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角。 所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。三角形按角分类可分为：锐角三角形 (三个内角都是锐角)直角三角形 (有一个内角是直角)钝角三角形 (有一个内角是钝角) 3等腰三角形、等

13、边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点? A A AB C B C B C 12 3 经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(ABAC)；第三个三角形的三边都相等。 (1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形。 相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰。 (2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形) 问：等边三角形是不是等腰三角形? 等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形三角形按边来分，可分为：三边都不相等的三角形只有两边相等的三角形等边三角形 三、巩固练

14、习 P48 练习 1,2 教科书图中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角边、直角三角形、钝角三角形。 四、小结 l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角。 2三角形的分类：按角分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。按边分为三类：三边都不相等的三角形；等腰三角形。等边三角形 等边三角形只是等腰三角形中的一种特殊的三角形。 五、作业 P49习题A组 4, B组 62.1.3三角形的外角和（1）（第4课时）教学目的 1使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形

15、的外角和。 2会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。 重点、难点 1重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和。2难点：三角形外角的性质证明的过程教学过程 一、复习提问 1什么叫三角形的外角?三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系? 2三角形的内角和等于多少? 二、新授 我们已经知道三角形的内角和等于180。 1现在我们探索三角形的外角及外角和。如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角B、C与它不相邻。 A DB C 问：三角形的外角与和

16、它相邻内角有什么关系?(互补) 探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图2-15所示的图形，然后把ACB、BAC剪下拼在一起放到CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。 由此可知：三角形外角有两条性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 A如图： D是ABC边BC上一点，则有 ADCDAB+ABD B D C ADCDAB，ADCABD问：ADB()+()2探索证明

17、“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。 (1)你能用“三角形的内角和等于180”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和呢?(2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？3、探索三角形的外角和（1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。（2）探索三角形的外角和是多少？（3）探索三角形的外角和是360的证明方法。三、巩固练习P48 练习3四、小结1、 三角形的内角和与外角和各是多少？2、 三角形的外角有哪些性质？五、作业P49 习题 A组 5 2.1.3三角形的

18、外角和（2）（第5课时） 教学目的 使学生能熟练灵活地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。 重点：利用三角形的内角和与外角的两条性质来求三角形的内角或外角。 难点：比较复杂图形，灵活应用三角形外角的性质。 教学过程 一、复习提问 1三角形的内角和与外角和各是多少? 2三角形的外角有哪些性质? 二、新授 例1在ABC中，ABC，求ABC各内角的度数。 分析：由已知条件可得B2A，C3A所以可以根据三角形的内角和等于180来解决。做一做：如图,在ABC中，ADBC，AE平分BAC，B80，C46 A B D E C (1)你会求DAE的度数吗?与你的同伴交流。 (2)你能发现D

19、AE与B、C之间的关系吗? (2)若只知道BC20，你能求出DAE的度数吗? 分析：(1)DAE是哪个三角形的内角或外角? (2)在ADE中，已知什么?要求DAE，必需先求什么? (3)AED是哪个三角形的外角? (4)在AEC中已知什么?要求AEB，只需求什么? (5)怎样求EAC的度数?三、巩固练习1 如图，ABC中，BAC50，B60，AD是ABC的角平分线，求ADC，ADB的度数。 A B D C 2已知在ABC中，A2B-10，BC+20。求三角形的各内角的度数。四、小结三角形的内角和，外角的性质反映了三角形的三个内角外角是互相联系与制约的，我们可以用它来求三角形的内角或外角，解题时

20、，有时还需添加辅助线，有时结合代数，用方程来解比较方便。五、作业布置P49 B组 7、82.2 命题与证明2.2.1 定义、命题、证明（1）教学目标1、知识与技能：了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解。会区分命题的条件和结论。2、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。重点与难点 1、重点： 找出命题的条件（题设）和结论。 2、难点： 命题概念的理解。教学过程一、复习引入 教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等。根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确。1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

21、；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等。二、探究新知（一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4水错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。 教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.，那么.”的形式。用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。 有的命题的题设与结论不

22、十分明显，可以将它写成“如果.，那么.”的形式，就可以分清它的题设和结论了。例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等。”（二）实例讲解 1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.，那么.”的形式，并分别指出命题的题设和结论。学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”。这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”。 2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.，那么.”的形式，并说出它们的条件和结论。（1）对顶角相等；（2）如果a b,b c, 那么a=

23、c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等。 学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案。（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等（2）条件：如果a b,b c；结论：那么a=c。（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等。（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等。对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫原命题，另一个命题叫逆命题。 说出上题的逆命题，并讨论。三、随堂练习 P52 练习1、2、3。四、总结1、什么叫命题？什么叫互逆命题？2、命题都可以写成

24、“如果.，那么.”的形式。五、布置作业 P58 习题A组 1、2。2.2.1 定义、命题、证明（1）教学目标1、知识与技能：了解真命题和假命题；知道判断一个命题是假命题的方法。2、过程与方法： 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。教学过程一、复习引入：什么叫命题？命题由哪两部分构成？什么叫互逆命题？二、探究新知（一）命题、真命题与假命题 学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子正确的，还是错误的。像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（二）假命题的证明 教师讲解：要判断一个命题是

25、真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”。 例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可。三、练习 P55 练习1、2、3四、总结1、什么叫命题？什么叫真命题？什么叫假命题？2、命题都可以写成“如果.，那么.”的形式。3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。五、布置作业 P59 习题A组32.2.2公理、定理教学目标1、知识与技能：了

26、解命题、公理 、定理的含义；理解证明的必要性。2、过程与方法： 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3、情感、态度与价值观： 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。 重点与难点 1、重点： 知道什么是公理，什么是定理。 2、难点： 理解证明的必要性。 教学过程一、复习引入 教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。这节课，我们将探究怎 样证明一个命题是真命题。二、探究新知 （一）公理 教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理

27、。我们已经知道下列命题是真命题： 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行； 在本书中我们将这些真命题均作为公理。（二）定理 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。 1、教师讲解：请大家看下面的例子： 当n=1时，（n2-5n+5)2=1; 当n=2时，（n2-5n+5)2=1； 当n=3时，（n2-5n+5)2=1。 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25。 2、教师再提出一个问题

28、让学生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我们猜想：当a b时，a2 b2。这个命题是真命题吗？答案：不正确，因为3 -5，但3 2 （-5）2 教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。我们把经过证明为真的命题叫做定理。如“三角形的内角和等于180度”称为“三角形内角和定理”定理也可以作为

29、判断其他命题(三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余。教师板书证明过程。教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。三、随堂练习 课本P55 练习1、2、3。四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。五、布置作业 P59 习题2.2 A组 第3题。2.2.3证明与反证法（1）教学目标1了解证明的含义。

30、2体验、理解证明的必要性。3了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。教学重点、难点重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式。难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。教学过程一、 新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度。通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、 新课教学1、 合作学习参考教科书P74： 一组直线a、b、c、d、是否不平行（互相相交），请通过观察、先猜想结论，并动手验证2、 证明的引入（1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的 倍”是真命题吗？请说明理由分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的

31、已知条件和要说明的结论。 教师对具体的说理过程予以详细的板书。小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。（2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求 例2、 证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。 分析：根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。 证明过程的具体表述 （略） 小结：证明几何命题的表述格式 按题意画出图形； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 在“证明”中写出推理过程。（3）练习：P76课内练习2三、 例题教学P57例题1例3、 已知

32、：如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。求证： ABCD （证明略）四、 练习巩固P58 练习1、2、3五、 小结（1） 证明的含义（2） 真命题证明的步骤和格式（3） 思考、探索：假命题的判断如何说理、证明？六、作业布置 P59 习题2.2 A组6、7、2.2.3证明与反证法（2）教学目标1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.重点：反证法证题的步骤.难点：理解反证法的推理依据及方法.教学方法讲练结合教学.教学过程提问：1、通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原

33、命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。二、探究P57例题2 已知：A，B，C是ABC的内角。求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于600课本上这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得

34、到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。三、应用新知例1 在ABC中，ABAC,求证：B C证明：假设，B C，则ABAC这与已知ABAC矛盾假设不成立B C小结： 反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c. 求证：a/b证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 a/b.小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾三、练习1、 求证：在一个三角形中，至少有一个内

35、角小于或等于60。已知：ABC , 求证：ABC中至少有一个内角小于或等于60证明： 假设ABC中没有一个内角小于或等于60则A60,B60,C60A+B+C60+60+60=180即A+B+C180，这与三角形的内角和为180度矛盾假设不成立ABC中至少有一个内角小于或等于602、试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.（学生完成，教师引导）已知： ；求证： ；证明：假设 ，则可设它们相交于点A。那么过点A 就有 条直线与直线c平行，这与“过直线外一点 ”。矛盾,则假设不成立。 。四、课时小结本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握

36、还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。五、课后作业：P60 B组 9教学反思：“反证法”是初中数学学习中一种特殊的证明方法，对于一些证明体它有着独特，简便，实用的方法。故反证法的学习非常重要，在反思本节内容的教学中得出以下几点体会：1.分清所证命题的条件和结论如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是指教”其中条件是“一个三角形”结论是“不能有两个角是直角”熟记步骤第一步:假设即假设命题的结论的反面为正确的.如引用上述命题即“假设能有两个叫是直角不妨设 ”第二步：推理后发现矛盾。一般利用假设进行推理如继上可知 发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，

37、即为第三步：推翻假设，证明原命题成立。2、抓住重点，突破难点反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点。如： 的反面是 ，易错写成 ；又如“写出线段AB,CD互相平分的反面”，线段AB,CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面应包括以下三种情况：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第（3）种情况，即AB，CD互相不平分。注重规范 在用反证法证明的命题中 经常会出现文字命题。如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求

38、证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分。然后再按一般步骤证明。反证法不仅能提高学生的演绎推理能力，而且在后继的学习中有着不可忽视的作用，虽然在初中教材中所占篇幅很少，但本人认为不应轻视，应让学生掌握其精髓，合理的去运用。2.3 等腰三角形2.3.1 等腰（边）三角形的性质（1）教学目的 1使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。 2通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。 重点：等腰三角形等边对等角性质。 难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。 教学过程 一、复习引入 1让学生在练习本上画一个

39、等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形? ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。 2日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象? 二、新课 1指出ABC的腰、顶角、底角。 相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角ABC、ACB叫做底角。 2实验。 现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三 角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。 可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论： (1)等腰三角形是

40、轴对称图形 (2)BC (3)BDCD，AD为底边上的中线。 (4)ADBADC90，AD为底边上的高线。 (5)BADCAD，AD为顶角平分线。 结论(2)用文字如何表述? 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么? 等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合 (简称“三线合一”)。 例l已知：在ABC中，ABAC,B80，求C和A的度数。 本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。 引申：已知：在ABC中，ABAC，A80，求B和C的度数。 小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。 三、练习巩固 P63

41、 练习 1 补充： 填空：在ABC中，ABAC，D在BC上， 1如果ADBC，那么BAD_，BD_ 2如果BADCAD，那么AD_，BD_ 3如果BDCD，那么BAD_，AD_ 四、小结 本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等 (简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语言表述如下： 1ABC中，如果ABAC，那么BC。 2ABC中，如果A月AC，D在BC上，那么由条件(1)BADCAD，(2)ADAC，(3)BDCD中的任意一个都可以推出另外两个。 五、作业

42、 P66 习题2.3 A组1、2。2.3.1 等腰（边）三角形的性质（2）（第12课时） 教学目的 1使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。 2通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。 重点，等腰三角形的性质及其应用，等边三角形的性质。 难点：简洁的逻辑推理。 教学过程 一、复习巩固 1叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的? 等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB与AC重合，点B与点 C重合，线段BD与CD也重合，所以BC。 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线

43、合一”。由于AD为等腰三角形的对称轴，所以BD CD，AD为底边上的中线；BADCAD，AD为顶角平分线，ADBADC90，AD又为底边上的高，因此“三线合一”。 2若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少? 二、新课 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 等边三角形具有什么性质呢? 1请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。 2你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的? 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到ABC，又由ABC180，从而推出ABC6

44、0。 3上面的条件和结论如何叙述? 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。 等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 等边三角形也称为正三角形。 P62 例题1 例2在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，B30，求1和ADC的度数。 分析：由ABAC，D为BC的中点，可知AB为 BC底边上的中线，由“三线合一”可知AD是ABC的顶角平分线，底边上的高，从而ADC90，lBAC，由于CB30，BAC可求，所以1可求。 问题1：本题若将D是BC边上的中点这一条件改为AD为等腰三角形顶角平分线或底边BC上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样? 问题2：求1是否还有其它方法?

45、 三、练习巩固 1判断下列命题，对的打“”，错的打“”。 a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( ) b有一个角是60的等腰三角形，其它两个内角也为60( )2在ABC中，已知ABAC，AD为BAC的平分线，且225，求ADB和B的度数。3、P63 练习 2四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。 五、作业 1、P66 习题2.3 A组 3。 2、补充：如图(3)，ABC是等边三角形，BD、CE是中线，求CBD，BOE，BOC，EOD的度数。2

46、.3.2 等腰（边）三角形的判定（第13课时） 教学目的 1通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。 2能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。 重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。 难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。 教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。 二、新课 对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。 我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过

47、来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： 1在半透明纸上画一个线段BC。 2以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。 3用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。 问题1：AB与AC是否重合? 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”。 也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。 例1在A

48、BC中，已知A40，B70，判断ABC是什么三角形，为什么?P64 例题2问题3：三个角都是60的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗?三个角都是600的三角形是等边三角形有一个角是600的等腰三角形是等边三角形P65 例题3等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5：请你画一个等腰直角三角形，使C90，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、练习巩固 P65练习l、2、3。 四、小结 这节课，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角

49、对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。 五、作业 1P66 习题2.3 A组 6、7。 2.3.2 等腰（边）三角形的性质和判定小结与复习（第14课时） 教学目的 1使学生对本节的学习内容做一回顾，系统地把握知识要点和基本技能。 2通过例题和练习，使学生能较好地运用本节知识和技能解决有关问题。 重点、难点 等腰三角形的性质和判定及其应用是教学重点，而灵活运用上述性质解决问题是教学难点。 教学过程 一、知识回顾 问题1：等腰三角形有什么性质? 等腰三角形底边的中线、高线、顶角的平分线互相重合，等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)，等边三角形的三

50、个角都等于60。 问题2：如何判断三角形是等腰三角形?等边三角形? 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；有两个角是60的三角形是等边三角形，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 二、例题 1下列图案是轴对称图形的有( ) A1个 D2个 C3个 D4个 2如右图所示，已知，OC平分AOB，D是OC上一点，DEOA，DFOB，垂足为E、F点，那么 (1)DEF与DFE相等吗?为什么?(2)OE与OF相等吗?为什么? 三、巩固练习已知ABAC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB12cm，BCl0cm，A491454.求BCD的周长和DBC度数。

51、四、课堂小结 通过本节课复习，同学们应掌握本章知识和技能，并运用所学知识和技能解决问题， 五、作业 P67 习题2.3 B组 8、9、102.4 线段的垂直平分线2.4.1 线段垂直平分线的性质和判定（第15课时）教学目标（一）知识要求 了解线段垂直平分线的性质和判定。（二）能力训练要求1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。2、探索并了解线段垂直平分线的有关性质和判定。（三）情感与价值要求通过师生的共同活动，培养学生的动手能力，进一步发展其空间观念。教学重点 探索线段垂直平分线的性质。教学难点 体验轴对称的特征。教学方法 启发诱导法。教学过程一、巧设现实情景

52、，引入新课1、我们探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而显得异常美丽。那什么样的图形是轴对称图形呢？如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、大家想一想，我们以前学过的哪些几何图形是轴对称图形呢？正方形、矩形、圆、菱形、等腰三角形、角、线段。3、刚才有人提出“线段是轴对称图形”。今天我们就来研究这个简单的轴对称图形。二、讲授新课1、线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？线段是轴对称图形，它的对称轴是与线段垂直的且垂足是线段中点的直线。线段还可以沿它所在的直线对折，使得与原来的线段重合，所以说：线段所在的直线也是线段的对称轴。（1）画一条线段AB，对折AB使点A、B重合，折痕与AB的交点为O。