新课标人教版数学第五讲数学方法之特殊解法

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1、新课标人教版数学第五讲数学方法之特殊解法一知识探究：1换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中

2、有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4220，先变形为设2t（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y的值域时，易发现x0,1，设xsin ，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr（r0）时，则可作三角代换xrco

3、s、yrsin化为三角问题。均值换元，如遇到xyS形式时，设xt，yt等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t0和0,。2待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的

4、数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为

5、媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。4配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和

6、未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。二命题趋势配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它们不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法，事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势，在题目上还是很注意特殊解法应用，应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等

7、作用。预测07年的高考命题趋势为：（1）部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法；（2）这些解题方法都对应更一般的解法，它们的规律不太容易把握，但它们在实际的考试中会节省大量的时间，为后面的题目奠定基础；三例题点评1配方法典例解析例1（1）（06全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解析：依题意可设P(0，1)，Q(x，y)，则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2。因为

8、|y|1，a1，若a，则|1，当y=时，|PQ|取最大值；若1a4分类讨论。(1)当a4时，如图(1)可知函数在y=4处取得最小值，令，得a2=4。所求双曲线方程为。(2)当a4时，如图(2)可知函数在y=a处取得最小值，令，得a2=49，所求双曲线方程为。点评：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的，其中利用配方法求解二次函数的最值问题，由于二次函数的定义域与参数a有关，因此需对字母a的取值分类讨论，从而得到两个解，同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题。例4是否存在常数a、b、c，使得等式1223n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。 （89年全国高考题）

9、分析：是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。解析：假设存在a、b、c使得等式成立，令：n1，得4(abc)；n2，得22(4a2bc)；n3，得709a3bc。整理得：，解得，于是对n1、2、3，等式1223n(n1)(3n11n10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：假设对nk时等式成立，即1223k(k1)(3k11k10)；当nk1时，1223k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k2)（3k5）(k1)

10、(k2)（3k5k12k24）3(k1)11(k1)10，也就是说，等式对nk1也成立。综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。点评：建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列12n、12n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n1)n2nn得S1223n(n1)(12n)2(12n)(12n)2(3n11n10)，综上所述，当a8、b11、c10时，题设的等式对一切自然数n都成立。3

11、换元法典例解析例5（1）（06江苏卷）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；（）求g(a)。解析：（）令要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1，t0 t的取值范围是由得m(t)=a()+t=（）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a的最大值和最

12、小值。解析：设sinxcosxt，则t-,，由(sinxcosx)12sinxcosx得：sinxcosx，f(x)g(t)(t2a)（a0），t-,，t-时，取最小值：2a2a，当2a时，t，取最大值：2a2a；当02a时，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值为2a2a，最大值为。点评：此题属于局部换元法，设sinxcosxt后，抓住sinxcosx与sinxcosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t-,）与sinxcosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称

13、轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinxcosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例6点P(x，y)在椭圆上移动时，求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。解析：点P(x,y)在椭圆上移动，可设，于是 = =令，|t|。 于是u=，(|t|) 当t=,即时，u有最大值。=2k+(kZ)时，。4参数法典例解析例7过坐标原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F，求直

14、线l的倾斜角。解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y=kx，将它代入椭圆方程整理得 (*)，由韦达定理,(1),(2)， 又F(1,0)且AFBF,，即， 将,代入上式整理得，将(1)式,(2)式代入，解得。故直线l的倾斜角为或。点评：本题设交点坐标为参数,“设而不求”,以这些参数为桥梁建立斜率为k的方程求解。例8实数a、b、c满足abc1，求abc的最小值。分析：由abc1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设at，bt，ct，代入abc可求。解析：由abc1，设at，bt，ct，其中ttt0，abc（t）（t）(t)(ttt)tttttt，所以abc的最小值是

15、。点评：由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：abc(abc)2(abbcac)12(abc)，即abc。两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力。四思维总结1配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）；x(x)2(x)2 ； 等等。2如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：（1）利用对应系数相等列方程；（2）由恒等的概念用数值代入法列方程；（3）利用定义本身的属性列方程；（4）利用几何条件列方程。比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。