北京市海淀区高三数学一轮复习平面向量不等式复数讲义

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1、高三一轮总复习平面向量、不等式、复数前言 对高三一轮复习的认识一、复习课的目的(梳理知识、训练技能、发展思维) 1、高三复习课的意义和价值 2、高三复习的特点3、复习课要有效率二、课程设计策略1、梳理知识网络，整体把握知识体系，提高学生的归纳概括能力2、沟通知识间联系，加深学生对知识本质的理解，对知识运用的综合3、精选、巧编问题，为复习的教学目标选好载体三、给出的参考题目建议从以下几个方面来选择使用能够从知识点的考查内容上来运用、从知识点的考查要求上来选择、能够从知识的整合的程度上来连接、能够用联系的观点来指导学生解题、能够用发展的眼光来选择习题帮助学生四、要对复习课的教学效果进行反思对照考纲

2、，逐条反思教学效果反思主要方式可以通过课堂观察，作业问题，答疑情况，考试分析等调查了解，整体定位，为下一阶段复习做好学情总结，做好教法思考第一部分 平面向量一、 对平面向量课标精神、高考要求的理解及一轮复习的基础和目标（一）平面向量问题解决能力提高的几条有效途径1、确认学生残缺的知识体系，进而有针对性的完善知识结构（而不是一味的给出复杂的知识体系表）2、关注学生解决向量问题的数学语言习惯，规范或引导学生找寻适合问题解决的语言表达“图形符号坐标”三种数学表示是向量问题解决的基本语言，既要强调问题解决的向量语言的适用性，也要关注多种语言间问题解决的一致性（验证结果）3、接受学生类比推广实数运算律的

3、思维习惯，通过对向量运算法则的理解来抵消死记硬背符号运算律的消极影响（而不是通过大量的、反复练习来固化向量中的运算规律）（二）一轮复习的基本前提和切实目标1、理解和准确记忆向量的有关概念2、理解和掌握向量的加减法、数乘和数量积运算是向量的重要运算，理解与实数相应运算律的区别和联系3、在向量的运算中提高基本技能，在向量的运算中培养数形结合的思想和方程思想（三）两个附表1、向量三种语言表述下的运算知识表2、2020年北京卷中与平面向量有关的高考题二、平面向量一轮复习的内容和要点（一）平面向量知识内容的归纳整理（二）建议课时（6-7课时）1、知识内容结构（1 课时）2、平面向量的概念（1 课时）3、

4、平面向量的运算 向量的加减法和实数与向量的积（1-2 课时） 向量的数量积（1课时）4、向量的应用（1课时）5、综合练习反馈（1课时）（三）知识点解读1、向量概念及表示（1）向量的概念：向量定义、模、零向量、单位向量、平行（共线向量）、相等向量、相反向量（2）向量的表示：几何表示法有向线段或； 坐标表示法2、向量的三种运算及运算的三种形式向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量每一种运算都可以有三种表现形式：图形语言、符号语言、坐标语言（1）向量运算知识表（附表1）（2）与运算有关的三个基本图形（几何意义）向量加、减法

5、法则（几何意义）三角形或平行四边形；实数与向量乘积（几何意义）共线；平面向量基本定理的特殊情形的几何意义（定比分点基本图形）起点相同的三个向量终点共线3、平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对实数1，2，满足=1+2，称1+2为，的线性组合（1）向量与坐标根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对（1,2）一一对应，称（1,2）为在基底，下的坐标；当取，为单位正交基底，时，定义(1，2)为向量的平面直角坐标（2）向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若，则；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若

6、，则4、一个夹角公式、两个充要条件（刻画两个向量相对位置的数量）（1）向量的模与相等向量的数量积的关系 公式：设，则（2）两个向量的夹角公式符号语言：坐标语言：设，则（3）平行和垂直 两个向量平行的充要条件符号语言：若，则=坐标语言：设，则或 两个向量垂直的充要条件符号语言：=0坐标语言：设，则5、向量的应用三、平面向量参考题目（一）与概念有关1 下列命题正确的是 （ ）D （A）单位向量都相等 （B）任一向量与它的相反向量不相等 （C）平行向量不一定是共线向量 （D）模为的向量与任意向量共线2 下列命题正确的是（ ）D （A）若，则 （B）若，则或（C）若，则 （D）若，则3下列说法正确的是

7、（ ） C （A）任何一个非零实数与向量的积都是一个非零向量（B）零与任何一个向量的积都是零（C）对于任何一个非零向量，（）可以表示所有与共线的向量（D）非零向量的单位向量为4（2020辽宁）已知点 ，则与向量同方向的单位向量为（）A （A） （B） （C） （D）5 已知下列命题：（1）对任意向量，都有;（2）若，则点D是线段AB的中点；（3）在四边形ABCD中,若,则ABCD为平行四边形；（4）在中，若，则其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）（2）（3）6(2020浙江理5)设a，b是两个非零向量, 下列命题正确的是（ ）C （A）若|ab|a|b|，则ab （B）若ab，则|ab

8、|a|b|（C）若| ab|a|b|，则存在实数，使得ab （D）若存在实数，使得ab，则|ab|a|b|(二)与线性运算有关1（2020陕西）关于平面向量有下列三个命题： 若，则若a与bc都是非零向量且“ab=ac”则“abc)”非零向量和满足，则与的夹角为其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）2（2020广东文）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题： 给定向量，总存在向量，使； 给定向量和，总存在实数和，使； 给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； 给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）BA1

9、B2C3D43已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则（ ） AA 2 B C 3 D4（12东城一模文12）在中，分别为的中点，为上的点，且若（），则 35(2020福建) 在下列向量组中，可以把向量a(3，2)表示出来的是（ ）B（A） e1(0，0)，e2(1，2) （B） e1(1，2)，e2(5，2) （C） e1(3，5)，e2(6，10) （D） e1(2，3)，e2(2，3)6 化简：=_ 7 (2020广东文3)已知向量，则（ ）B （A） （B） （C） （D）8 已知点，向量绕点逆时针旋转到的位置，那么点的坐标是 9 如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分

10、点，那么（ ）D（A） （B） （C） （D）10 （2020四川文6）设点是线段的中点，点在直线外， ，则（ ） C （A）8 （B）4 （C）2 （D）11如图，设为内一点，/，且， ，试用，表示 答案: =, =12（2020北京文14）已知点，若平面区域由所有满足的点组成，则的面积为 313 如图：OM/AB,点P在由射线OM、线段OB以及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且,则的取值范围是 ；当时，的取值范围是 14（1）设M,N,P分别是三边BC，AC，AB上的点，且，设，试用表示 （，）（2）在四面体中，a,b,c,为的中点，为的中点，则 （用表示） 答案 15（2020

11、湖南理6）若是单位向量， 若向量满足，则的取值范围是（ ）A （A） （B） （C） （D）（三）与向量的数量积有关1（14西城文理5）设平面向量，均为非零向量，则“”是“”的（ ）B（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件2 设，为非零向量，且相互不共线，下列命题（ ）D ()()=0 | ()()不与垂直 (32)(32)=9|24|2其中真命题是：（A） （B） （C） （D）3 下列结论正确的是（ ）D （A） （B） （C）若 （D）若与都是非零向量，则的充要条件为4（2020辽宁） 设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，b

12、c0，则ac0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是（ ） A （A）pq （B）pq （C） (p)(q) （D）p(q)5 (2020山东文理12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，另，下面的说法错误的是（ ）B（A）若与共线，则 （B）（C）对任意的，有 （D）6 如果向量与，的夹角都是，而，且，求的值-1 7 （06四川）如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）A（A） （B） （C） （D）8 (2020上海文17题)如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为 个 39(202

13、0浙江) 设为两个非零向量a，b的夹角已知对任意实数t，|bta|的最小值为1（） B（A）若确定，则|a|唯一确定 （B）若确定，则|b|唯一确定（C）若|a|确定，则唯一确定 （D）若|b|确定，则唯一确定10（1）（2020新课标文）已知两个单位向量，的夹角为，若，则_2（2）已知向量和的夹角为60，| = 3，| = 4，则(2)等于 12（3）若，且，则与的夹角是 （4 ）（11全国理12）设向量a，b，c满足，则的最大值 211 （12东城理6）如图，在中，,，是的中点，则 ( ) B （A） （B） （C） （D）不能确定12 （2020天津理15）如图，在中，则 13（2020

14、江苏）如图13所示，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_2214（2020福建理9文12）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，,=，则 的值一定等于（ ）B （A）以，为邻边的平行四边形的面积 （B） 以，为两边的三角形面积（C），为两边的三角形面积 （D） 以，为邻边的平行四边形的面积15（14海淀理14）已知向量序列：满足如下条件：，且（）若，则_9_；中第_项最小 3（四）与平行与垂直有关1（1）已知A(-1,-3)，B(1,1)，C(x,3)三点共线，则_ x=2 （2）已知向量反向，则m=_1 2(1)已知为不共线向量，使与共线的

15、实数为 (2)设为非零向量，其中任意两向量不共线，已知与共线，且与共线，则= 3设是平面内两不共线向量， (k,mR)，则A，B，C三点共线的充要条件是 ( ) D（A）k+m=0 （B）k=m （C）km+1=0 （D）km=14（2020陕西文）已知向量a（2，1），b（1，m），c（1，2）若（ab）c，则m15 已知向量，且，则的坐标_（，），（，）6（2020重庆卷）已知向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，且(2a3b)c，则实数k 37（2020湖北） 设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_38（2020浙江）已知向量，若向量满足，则（）DA B C

16、 D （五）综合应用1 (09福建)一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) D （A） 6 （B） 2 （C） （D） 2 在四边形中，则该四边形的面积为（ ）C（A） （B） （C） 5 （D）10 3（2020新课标全国卷）已知A，B，C为圆O上的三点，若，则与的夹角为_904（1）已知ABC满足，则ABC是 ( )C（A）等边三角形 （B）锐角三角形 （C）直角三角形 （D）钝角三角形（2）已知ABC中,=a, =b,ab|a|=3,|b|=5,则等于( ) C（A）30（B）-150（C）150（D）30或150

17、5（1）（09宁夏海南理）已知O，N，P在所在平面内，且，则点O，N，P依次是的 ( ) C（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心（2）若，则点所在直线过的_心（内心）第二部分 不等式一、知识结构图及考试说明要求知识结构两个实数的大小比较不等关系不等式的基本性质一元二次不等式的解法均值不等式及其应用一元二次不等式的实际应用及其参数确定一元二次不等式(组)表示的平面区域简单的线性规划及其应用不等式的综合应用考试说明考试内容要求层次ABC不等式一元二次不等式解一元二次不等式简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域简单的线性规划问题基本不等

18、式：（）用基本不等式解决简单的最大（小）值问题二、问题与对策（1）不等式复习常见障碍（2）不等式高效复习的策略三、把脉高考梳理题型思考障碍高效教学掌握知识构成及考察要求层级，挖掘高考题目中的基本成分，完成一轮教学的根本任务。从高考题目的演变和流转中，把脉高考，挖掘数学本质，夯实基础。四、典型题目及复习策略 （一）抓住“数感”和比较大小的基本方法进行不等式的性质的复习1【2020北京文5】设、是实数，则“”是“”的（ ）D A充分而不必要条件 B必要而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2【2020北京文2】设，且，则（ ）D（A） （B） （C） （D）3【2020四川理4】若，

19、则一定有（ ）DA B C D4【1999上海理】若，则下列结论中正确的命题是（ ）B【特值法，作差法，数感，函数观】A和均不能成立 B和均不能成立C不等式和均不能成立D不等式和均不能成立（二）理解均值不等式的概念本质，树立代数的结构观，打破数形壁垒1 均值定理的本质（1）选择一个题目清查出学生均值定理的理解和应用上的错误（2）编制一个题目考察出学生复习后的掌握情况2 复习中“度”的把握3 弃用、慎用和扬长避短的题目（弃用）【2020年天津文】已知 则当a的值为 时取得最大值【答案】4（慎用）【2020年福建文】若直线过点，则的最小值等于（ ）CA2 B3 C4 D5（扬长避短）【2020-4

20、顺理5】若，则的取值范围是（ ）D 4. 考察形式（1）嵌入式考察【2020北京理6】设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）CA若，则 B若，则C若，则 D若，则【2020北京文6】已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）BA BC若，则 D若，则【2020陕西理9】【2000全国7】设，若，则下列关系式中正确的是（ ）CA B C D（2）工具式考察【2020北京理19】已知椭圆过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值综上：（其中）当且仅当，即时，取等号，的最大值为2【2020-4海理11】已知是等差数列，那么=_

21、；的最大值_ _（3）直接考察【2020北京理7】如果正数满足，那么（）AA，且等号成立时的取值唯一B，且等号成立时的取值唯一C，且等号成立时的取值不唯一D，且等号成立时的取值不唯一【2020上海理15】若a，bR，且ab0则下列不等式中，恒成立的是（ ）DAa2b22ab B C D【2020福建理5】下列不等式一定成立的是（ ）CA BC D【2020陕西文3】设，则下列不等式中正确的是 （ ） B （数轴模型揭示） （A） （B）（C） （D）wks5（三）关于线性规划 1 夯实线性规划基本问题解决能力，避免程序化步骤教学2 从线性规划中运动变化的问题培养思维能力（1）看考题的流转和演变

22、【2020北京理2】若，满足则的最大值为（ ）DA0B1C D2【2020北京文13】如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 【答案】7【2020北京文13】若、满足，则的最小值为 【答案】1【2020北京文12】设为不等式组表示的平面区域，区域上的点与点之间的距离的最小值为_ _【答案】【2020高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 【答案】3【2020北京理2文3】设不等式组表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）DA B C D （2）形式的变化引发理解的深入【2020海淀一模文/理7】若满足则下列不等式恒

23、成立的是（ ）D（A） （B） （C） （D）【2020东城一模文7】设集合，则下列命题中正确的是（ ）B（A）， （B），（C）， （D），【2020课标，理9】不等式组的解集为D,有下面四个命题：， ， ，其中的真命题是（ ）BA B C D【2020海淀二模理14】设关于的不等式组表示的平面区域为，已知点，点是上的动点 ，则的取值范围是 【2020东城二模理】若实数满足不等式组则的取值范围是（ ）D（A） （B） （C） （D）【2020安徽理4】设变量满足则的最大值和最小值分别为（ ）BA1，1 B2，2 C1，-2 D2，1【2020湖北卷8】已知向量，若，满足不等式，则的取值范围为

24、（ ）A A B C D 【2020西城期末】设D为不等式组表示的平面区域，点为坐标平面内一点，若对于区域D内的任一点，都有成立，则的最大值等于（ ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）3（3）通过对运动变化问题的讲授，培养思维深度【2020北京理6】若、满足，且的最小值为，则的值为（ ）DA2 B C D【2020北京理8】设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点满足，求得的取值范围是（ ）CA B C D 【2020年山东理科】已知满足约束条件若的最大值为4，则（ ）B(A) (B) (C) (D) 【2020课标全国，理9】已知a0，x，y满足约束条件若的最小值为1，则()BA B

25、C1 D2【2020年福建文科】变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）CA B C D （四）和不等式有关的应用问题关注应用问题的理解、表示和解决（数学化的能力）【2020文7】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）B （A）60件 (B)80件 （C）100件 （D）120件甲乙原料限额（吨）（吨）【2020陕西理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1

26、吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）DA12万元 B16万元 C17万元 D18万元第三部分 有关复数的复习一、考试要求：复数的基本概念，复数相等的条件，复数的四则运算是B层次要求，复数的几何意义，复数加减法的几何意义是A层次要求二、复习要点1、复数的概念复习要细致全面2、复数相等的练习要多变式3、复数的运算法则要清晰准确4、复数与几何图形的简单关系和简单的复数方程要涉及三、复习参考题目题目组复数概念1如果复数是纯虚数，那么实数等于 （ ）C A B0 C0或1 D 0或 2已知复数z与复数3i4共轭，则z=（ ）CA3i+4 B3i+4 C3i4 D4

27、+3i3已知，则x=_，y=_ x=1，y=74复数的虚部是_，实部是_1，25已知复数 当实数取什么值时，复数是 (1) 虚数； (2) 纯虚数； (3) 复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数答案(1) 且 (2) (3) 或题目组复数运算1 i是虚数单位，若，则乘积的值是（ ）B （A）15 （B）3 （C）3 （D）152 i是虚数单位，i(1+i)等于（D）（A）1+i （B）-1-i （C）1-i （D） -1+i3 复数（ ）D（A）0 （B）2 （C）-2i （D）24 已知=2+i,则复数z=（ ）B （A）-1+3i （B）1-3i （C）3+i （D）3-i题目组复数的几何意义1复数对应的点z在复平面的（ ） B（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限2 在复平面内，O是原点，向量对应的复数为53i，与关于y轴对称，则点B对应的复数是（ ）D（A）5-3i （B）-5-3i （C）3+5i （D）-5+3i 3关于复数的方程在复平面上表示的图形是 （ ）BA椭圆B圆 C抛物线D双曲线4已知,则等于( )CA B C D