兰州一中高三9月月考数学试卷及答案

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1、2020-2020-1学期高三九月月考数学试题 一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合,则( B )ABCD2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 （ C ）A B C D3. 给出两个命题:命题命题“存在”的否定是“任意”；命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )A. B. C. D. 4.若函数f(x)x2axa在区间0,2上的最大值为1，则实数a等于( D )A1B1 C2 D 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A )A B C D6已知命题p：x22x30；命题q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 (B)

2、A(，1B1，) C1，)D(，377. 已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B)A(0，2) B(，1 C(，1) D(0，28若f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(C )A(1，) B(4，8) C4，8) D(1，8)9. 已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a30.2f(30.2)，b (log2)f(log2)， cf ，则，间的大小关系 ( A )A B C D10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f()f()2f(2)，则a的取值范

3、围是(D)A(，4 B. (0，4 C. D11(文)已知是奇函数，则（ A ）A.14 B 12 C 10 D-811. (理)若函数的大小关系是 (C )ABC D不确定12已知函数yf(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x)当x(2，3)时，f(x)log2(x1)给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 （ A ）函数yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；函数y|f(x)|是以2为周期的周期函数；函数yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增；当x(1，0)时，f(x)log2(1x)A B CD二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）

4、13.已知实数满足则的最大值_-4_14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有_12_个.16. 存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：； ； 其中存在“稳定区间”的函数有_ .（把所有正确的序号都填上）三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)17.（本小题满分12分）设向量，其中，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.（）求函数的表达式；（）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长解：解：（I）因为，

5、-1分由题意， -3分将点代入，得，所以，又因为 -5分即函数的表达式为 -6分（II）由，即又 -8分由 ，知，所以 -10分由余弦定理知所以 -12分18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀（）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：（）6条道路的平均得分为

6、.-3分该市的总体交通状况等级为合格. -5分来源:Zxxk.Com（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，共个基本事件 -9分事件包括，共个基本事件，答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.-12分18.（理）（本小题满分l 2分）在2020年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中2题的便可通过已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影

7、响(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为、，则的可能取值为1，2，3，P(1)，P(2)，P(3)，考生甲正确完成题数的分布列为来源:Zxxk.Com123PE1232. .4分又B(3，)，其分布列为P(k)C()k()3k，k0，1，2，3；Enp32. 6分(II)D(21)2(22)2(23)2，Dnpq3， DP(2) 10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验

8、通过能力较强12分19（理）在四棱锥中，平面，是的中点，, .（）求证：；（）求二面角的余弦值ABCDPE解：（）取的中点,连接,则.因为所以.1分因为 平面，平面所以 又 所以 平面 3分因为平面,所以 ；又 ，所以 ；又因为 , ；所以 平面 5分因为平面，所以 6分（注：也可建系用向量证明）ABCDPEFyzx（）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则,，,，.8分设平面的法向量为，则 所以令.所以. 9分由（）知平面,平面,所以.同理.所以平面所以平面的一个法向量 . 10分所以， 11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 12分ABCDPE19.(文)在四棱锥中，平面，

9、是的中点， ,，.（）求证：平面；（）求证：证明：（）取的中点,连接,.则有 .ABCDPEFM因为 平面，平面所以平面2分由题意知,所以 .同理 平面4分又因为 平面,平面,所以 平面平面因为 平面所以 平面 6分（）取的中点,连接,则.因为,所以 .7分因为 平面，平面，所以 又 所以 平面 9分因为平面所以 又 ，所以 又因为,所以 平面 11分因为平面所以 12分20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，

10、说明理由【解析】：(1)由题意知，即，又，故椭圆的方程为 4分(II)设，由得，. 7分8分, , , ,12分21（文）已知函数，其中aR.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e. 4分(2)f(x)x2(a2)x2a24a ex 令f(x)0，解得x2a，或xa2， 6分由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a，则2aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x

11、)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值为f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值为f(a2)，且f(a2)(43a)ea2. 9分若aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)0来源:Zxxk.Com0f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，

12、且f(2a)3ae2a. 12分来源:Z*xx*k.Com21. (理)已知函数（）(1) 当 时，证明：在上，；(2)求证：解：(1) 根据题意知，f(x)(x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当af(1)，即f(x)2，所以f(x)20. 6分(2) 由(1)得ln xx320，即ln xx10，所以ln xx1对一切x(1，)恒成立n2，nN*，则有0ln nn1，0， (n2，nN*) 12分四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22（本小题满分10分）选

13、修41：几何证明选讲直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB.O交直线OB于E，D，连接EC，CD.（ ）求证：直线AB是O的切线；（）若tanCED，O的半径为3，求OA的长解：(1)证明：连接OC，OAOB，CACB，OCOB，又OC是圆的半径，AB是圆的切线 4分(2)ED是直径，ECD90，EEDC90，又BCDOCD90，OCDODC，BCDE，又CBDEBC，BCDBEC，BC2BDBE，又tanCED，BCDBEC，设BDx，则BC2x，BC2BDBE，(2x)2x(x6)，BD2，来源:学#科#网OAOBBDOD235. 10分23（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 (t为参数)， (为参数)（）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求解：曲线为圆心是，半径是1的圆曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆4分曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以 10分24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数，且的解集为（）求的值；（）若，且，求证：.解：（）因为，所以等价于，2分由有解，得，且其解集为 4分又的解集为，故（5分）（）由（）知，又， 7分=99分(或展开运用基本不等式) 10分