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1、数列专题训练三1,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.()求数列,的通项公式;()记=,求数列的前项和.解：()由.且得 , 在中,令得当时,T=,两式相减得, . (), , =2=, 2已知数列满足（1）求（2）设求证：；（3）求数列的通项公式。（4分）解答：（1）由已知,即，即有由，有，即 同时，（2）由（1）：，有 （3）由（2）： 而，是以2为首项，2为公比的等比数列，即，而，有：3已知 an 是等差数列， bn 是等比数列，Sn是 an 的前n项和，a1 = b1 = 1，（）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式；（）若anN*，是公比为9
2、的等比数列，求证：解: 设等差数列 an 的公差为d，等比数列 bn 公比为q（） ， ，而 a1 = b1 = 1，则 q（2 + d）= 12又 b2是a1，a3的等差中项， a1 + a3 = 2b2，得1 + 1 + 2d = 2q，即 1 + d = q 联立，解得 或 所以 an = 1 +（n1） 2 = 2n1，bn = 3n1；或 an = 1 +（n1）（5）= 65n，bn =（4）n1 （） anN*， ，即 qd = 32 由（）知 q ( 2 + d ) = 12，得 a1 = 1，anN*， d为正整数，从而根据知q1且q也为正整数， d可为1或2或4，但同时满足
3、两个等式的只有d = 2，q = 3， an = 2n1， （n2）当n2时，=显然，当n = 1时，不等式成立故nN*， 4已知函数（，为常数，）.（）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；（）在（）的条件下，若，（），证明：；解：（）依条件有.因为点在函数的图象上，所以. 因为， 所以是首项是，公差为的等差数列. 1分所以. 即数列的前项和. 2分（）证明：依条件有 即解得所以. 所以 因为=，又，所以.即. 21已知数列（）的各项满足：,（，）(1) 判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式；(3) 若数列为递增数列，求的取值范围.解：（1）， 当时，则数列不是等比数列
4、； 当时，则数列是公比为的等比数列 （2）由（1）可知当时， 当时，也符合上式， 所以，数列的通项公式为 (3) 为递增数列，恒成立 当为奇数时，有，即恒成立，由得 当为偶数时，有，即恒成立，由，得 故的取值范围是 5设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（）求数列的通项公式；（）记的前项和为，求.解：（）， 由成等差数列得，即，解得，故； （）， 法1：， 得， 得， 法2：，设，记，则， - 故 6已知数列满足，设数列的前n项和为，令（1）求数列的通项公式；（2）求证：（1）解：由得代入得，整理得 从而有，所以，所以，是首项为1，公差为1的等差数列，即 （2） 7已知
5、数列中，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立解： (1）由已知，（，）， 2分 数列是以为首项，公差为1的等差数列 4分（2），要使恒成立，恒成立，恒成立，恒成立 6分（）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1， 8分（）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值， 10分即，又为非零整数，则综上所述，存在，使得对任意，都有6、（理科）已知点（）满足，且点的坐标为.()求经过点，的直线的方程；() 已知点（）在，两点确定的直线上，求证：数列是等差数列.（）在()的条件下，求对于所有，能使不等式成立的最大实数的值.解：()因为，
6、所以. 所以. 所以过点，的直线的方程为. ()因为在直线上，所以. 所以. 由，得. 即.所以. 所以是公差为2的等差数列. （）由()得.所以.所以. 所以. 依题意恒成立.设，所以只需求满足的的最小值. 因为=，所以（）为增函数. 所以.所以. 所以. 14分8（理科做）已知点，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；解：（1），（ ，.2分，是等比数列。 (2)因为是等比数列，且公比，。当时， ；当时，。因此，。（3），设，当最大时，则，解得，。所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。
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