罗必达法则应用课件

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1、罗必达法则应用洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及:00 型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 罗必达法则应用洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当 xFxfxFxfxaxxax例如例如,lim0 xtgxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( 罗必达法则应用.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()()

2、,()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则. .,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxax罗必达法则应用证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内内任任

3、取取一一点点在在 ,为端点的区间上为端点的区间上与与在以在以xa,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xFxf则有则有)()()()()()(1111xFxfaFxFafxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax 罗必达法则应用例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原原式式. 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()0

4、0(罗必达法则应用例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解. 2coslimsinlim00 xeexeexxxxxx原式原式罗必达法则应用注：注：1、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件、用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件(1);2、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦、若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例例： 3220)

5、1(22lim xxxxxxeeexexe例例：求求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。、运算过程中有非零极限因子，可先算出极限。罗必达法则应用注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例5 5解解.tansinlim20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原原式式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 罗必达法则应

6、用.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或为为无无穷穷大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外点点点点的的某某领领域域内内在在设设定理定理2.,该该法法则则仍仍然然成成立立时时及及时时当当 xaxax罗必达法则应用)0(lim)2);0(lnlim)16 为正整数，为正整数，求求例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原式原式解解 xnxexlim)2xnxenx 1

7、lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！无穷大量无穷大量的的阶阶数数依依次次递递增增。、xxxexx ln罗必达法则应用例例7 7解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 33sinsin3limcos3coslimcos3sin3cossinlim222 xxxxxxxxxxx原式原式例例8 8.3tantanlim2xxx 求求)( 解解罗必达法则应用型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例8 8解解.lim2xxex 求求)0( x

8、exx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 罗必达法则应用例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为通过通分或分子有理化及其它初等变换转化为 或或 不定型。不定型。00罗必达法则应用型型00,1

9、,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 通过通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0型。型。例例1010解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 罗必达法则应用例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(limln10 xxctgx 求求)(0 ,)()ln(ln1ln1ctgxxxectgx 取对数得取对数得)l

10、n(ln1lim0ctgxxx xxctgxx1sin11lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式罗必达法则应用例例1313.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx 注意：注意：洛必达法则只用于洛必达法则只用于)( )00(用洛必达法则过程中要及时化简用洛必达法则过程中要及时化简, 并灵活结合其他并灵活结合其他求极限方法求极限方法.1212sinlim30 xxxx洛必达法则有时并不适用洛必达法则有时并不适用,lim:xxxxxeeee 求求如如,sinlimsin0 xxeexxx 求求.22lim2xxxxx 罗必达法则应用

11、例例1414解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 100102lim15xexx 例例99310100)2(lim2xxexx 原式原式解解102101002lim2xexx 50lim tett解：原式解：原式ttet50lim 050lim49 ttet罗必达法则应用例例: 求xxxlim0(00型)设y=xx 则 lny=xlnx .xxyxxlnlimlnlim00(0型)xxx1lnlim0).(型2011limxxx)(lim0 xx=

12、0解法一解法一:罗必达法则应用又 y=eln y所以 .yxlim0yxeln0limyxelnlim0=e0=1罗必达法则应用解法二解法二. xxxxxexln00limlimxxxelnlim0 xxxe1ln lim02011 limxxxe= e0 = 1罗必达法则应用例例: 求210)(coslimxxx(1型)解法一解法一: 21)(cosxxxxecosln12xxxcosln1lim 20( 0型)20coslnlimxxx).00( 型xxxx2)sin(cos1lim0 xxxxsincos21lim021所以: 210)(coslimxxxxxxecosln1lim202

13、1 e罗必达法则应用解法二解法二: 210)(coslimxxx(1型)21cos1cos10) 1(cos1limxxxxx211coslim 20 xxx而21210)(coslim exxx故罗必达法则应用xxx)arctan2(limxxxe)arctan2ln(lim2/1)arctan2ln(limeexxx例例罗必达法则应用例例解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(c

14、otln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式罗必达法则应用例例: 求xxx)1(lnlim0( 0型)1ln(ln)1(lnxxxex)1ln(lnlim0 xxxxxx1)1ln(lnlim0(0型).(型解解: 罗必达法则应用2201)1(111ln1limxxxxxxxx10)1(lnlim= 0 xxx)1(lnlim0 )1ln(ln0limxxxe)1ln(lnlim0 xxxe=e0 = 1所以罗必达法则应用4)4)法则不是万能的法则不是万能的xxxxxxxxx2221lim/1lim/1lim罗必达法则

15、应用但是 )()(limxxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeeelim).(型罗必达法则应用例例: 求)( lim 型xxxxxeeeexxxxxeeeelimxxxxxeeee11lim )11 ()11 (lim22xxxxxeeeexxxee221111lim111解解: 罗必达法则应用5 5）洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但）洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好与其它求极限方法结合使用，效果更好. .方法包括：方法包括：1。该分出的因子应及时分出；。该分出的因子应及时分出；2。能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；

16、。能用等价无穷小代替的因子应及时用等价无穷小代替；3。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。能用恒等变换简化的因子应及时用恒等变换简化。罗必达法则应用常用八个等价无穷小常用八个等价无穷小: :,0时时当当 x2 sin tan arcsin arctan1 ln(1)11 cos2(1)1(0)xaxxxxxxxxxxxexxxaxa罗必达法则应用例例1 1.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 罗必达法则应用例例2 2.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsi

17、n,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原原式式. 1 )1(lim0 xx罗必达法则应用例例3 3.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 罗必达法则应用例例1 1解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式22031seclimxxx .31 .31 0limx22tanxx罗必达法则应用例例2: 求xxx

18、x30sinarcsinlim).00( 型解解: 当 x0时. sin3x x3xxxx30sinarcsinlim30arcsinlimxxxx).00( 型2203111limxxx222011131limxxxx罗必达法则应用2202011lim131limxxxxx).00( 型xxxx2)2()1 (21lim31212020121lim31xx61罗必达法则应用例例3 3.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx .1212sinlim30 xxxx罗必达法则应用例例 设设f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处具有二阶导数，处具有二阶导数，

19、求极限求极限hhxfhxfhhxfxfhxfhh2)( )( lim0/0)()(2)(lim00020000)(2)()(lim0/00000 xfhxfhxfh)( )( lim)( )( lim212)( )( lim000000000hxfhxfhxfhxfhhxfhxfIhhh20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：20000)()(2)(limhhxfxfhxfh解：解：=f”(x0)罗必达法则应用三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 罗必达法则应用用洛必达法则

20、求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx = = 2 2、xxxarctan)11ln(lim = =3 3、xxctgx2lim0= 4= 4、)1112(lim21 xxx= =5 5、xxxsin0lim = 6= 6、xxxtan0)1(lim = =7 7、xxx)arctan2(lim = =罗必达法则应用 1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. . 练习题答案练习题答案罗必达法则应用Z 思考思考1、设、设)()(limxgxf是不定型极限，如果是不定型极限，如果)(

21、)(xgxf 的极限不的极限不存在，是否存在，是否)()(xgxf的极限也一定不存在？举例说明的极限也一定不存在？举例说明. 2 2、设设0)(lim)(lim xFxfaxax，且且在在点点a的的某某邻邻域域中中（点点a可可除除外外） ，)(xf及及)(xF都都存存在在， 且且0)( xF, , 则则 )()(limxFxfax存存在在是是)()(limxFxfax 存存在在的的（ ）. . （A A）充充分分条条件件； （B B）必必要要条条件件； （C C）充充分分必必要要条条件件； （D D）既既非非充充分分也也非非必必要要条条件件 . .B罗必达法则应用解答解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在