现代控制技术PPT课件

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1、Lyapunov Aleksandr Mikhailovich Lyapunov （18571918），俄罗斯数学家、力 学家和物理学家。 Lyapunov 在微分方程、位势理论、 系统稳定性理论以及概率论等领域 做出了重大贡献。编辑了欧拉 （Euler）文集第18、19卷。 Lyapunov 是俄罗斯科学院院士，意大利林琴科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。第1页/共51页Lyapunov 1892年，莫斯科大学的博士学位论文： “运动稳定性的一般问题” （The General Problem of The Stability of Motion） Lyapunov稳定性理论对于现代控制

2、理论的发展具有非常重要的意义，为此国际控制界于1992年还举行了该论文发表100周年的纪念活动。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。第2页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念第3页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念第4页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念第5页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念第6页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念 平衡状态00( , ) ( )( ;, )eeeexf x ttxx tt x txx系统的平衡状态是保持恒定不变的特殊的状态轨迹。即：若在 时刻从 出发的状态轨迹平衡满足 则状态（平称为系

3、统的衡点）。第7页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念 平衡状态的求法(, )0 ()eexf x tt平衡状态 为满足下列方程的常向量：( ) : ( )0eexA t xA t xx回顾线性自治系统的平衡点为线性方程 的常值解 例 。( , )0exf x tx总是假定系统有一个平衡状态为。第8页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念第9页/共51页一、李亚普诺夫稳定性概念 各种稳定之间的关系全局指数稳定指数稳定全局一致渐近稳定一致渐近稳定一致稳定全局渐近稳定渐近稳定稳定第10页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 李亚普诺夫方法 间接方法（第一方法） 基本思想是将系统在平衡点附近线性化，求解

4、所得线性系统的特征根，判断特征根的位置。属于小范围稳定性分析方法。 直接方法（第二方法） 属于直接根据系统结构判断系统稳定性的方法。 构造广义能量函数（称为李亚普诺夫函数），判断广义能量是否衰减（即李亚普诺夫函数沿着系统运行轨迹的导数是否为负值）。 第二法适用于任何复杂系统。 李亚普诺夫稳定性理论已成为现代控制理论一个非常重要的基础组成部分。第11页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第12页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第13页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第14页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第15页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第16页/共51页二、李亚

5、普诺夫稳定性基本定理 稳定性定理0( , )0( , ):|,( , )( , )( , ):( , )exf x txx txR ttV x tV x tdV x tVVf x tdttx时变自治系统在平衡点的是:存在定义在某个区域 上的李亚普诺夫函数满足： ； 。#充分必稳定要条件负定定且有界且有界正1:nVVVxxx第17页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 稳定性定理( )0 :|( ):( )exf xxxxRV xdVVf xdtx负负时不变自治系统在平衡点的 是存在定义在某个区域上的李亚普诺夫函数满足如下条件: 。充定分必要条件稳定定 ( ( )V x t ( )x t1x2

6、xV第18页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 一致稳定性定理0( , )0 ( , ):|,( , )( , ):( , )exf x txx txR ttV x tV x tdVVVf x tdttx时变自治系统的平衡点的 是存在定义在某个区域上具有一阶连续偏导数的李亚普诺夫函数满足: 正定且有界负半定有 且 。 界#充分必要条件一致稳定第19页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 一致渐近稳定性定理0( , )0 ( , ):|,( , ) ( , ) :( , )exf x txx txR ttV x tV x tdVVVf x tdttx时变自治系统的平衡点的 是存在定义在某区

7、域上的李亚普诺夫函数满足如下条件: 正定且有。界定 负且 有界#一致渐近稳定充分必要条件问题：渐近稳定问题：渐近稳定 导数负定？导数负定？ 第20页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 关于渐近稳定性的条件 ( , )V x tdVdt具有上界或 负定的条件对于渐近稳定性不是必要的！第21页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 时不变系统的渐近稳定性定理( )0 :|( )( ):( )( )exf xxxxRV xV xdVVf xdtxxV x 时不变自治系统在平衡点的一个是: 存在定义在某区域 =上的李亚普诺夫函数: 正定 负定 当，有#充分条件大范围渐近稳定第22页/共51页二、李

8、亚普诺夫稳定性基本定理 时不变系统的渐近稳定性定理0( )0 :|( )( ):( )( ( )0( )exf xxxxRV xV xdVVf xdtxdV x txdtxV x 时不变自治系统的平衡点的一个是存在定义在某区域 =上的李亚普诺夫函数满足: 正定 负半定 对任意非零 ,不能使得当， 有。 #大范围渐近稳定充分条件第23页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第24页/共51页回顾：极限环 极限环是非线性系统的一种特殊运动情况。 在时间响应上表现为非线性的自持振荡 在相平面上成为闭合的相轨迹 0 0 0 2x1x2x1x2x1x第25页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第26页

9、/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第27页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 全局一致渐近稳定性定理( , )0( , ) ( , ) :( , )enxf x txV x tV x tdVVVf x tdttx时变自治系统的平衡点的一个是存在定义上的李亚普诺夫函数满足如下条件: 有无穷大下界、有上界 且负定。 充分条件全局一致渐近稳定第28页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 全局一致渐近稳定性定理( )0( ) ( ):( , )(0)( )( ( ) 0ennxf xxV xV xdVVf x tdtxxx tdV x tdt 时不变自治系统的平衡点的是存在定义在上的李亚普诺

10、夫函数满足: 无穷大正定半负定 从任意非零初态出发的轨迹不能得。 使#充分条件全局渐近稳定第29页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 不稳定性定理0( , )0( , ):|,( , ) ( , ):( , ) exf x txx txR ttV x tV x tdVVVf x tdttx时变自治系统的平衡点的一个是存在定义在某区域上的李亚普诺夫函数满足如下条件: 正定且有界， 正定且有界。#充分条件不稳定第30页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理 不稳定性定理( )0 :|( ) ( )exf xxxxRV xdVVf xdtx时不变自治系统的平衡点的一个是存在定义在某区域上的李亚普

11、诺夫函数满足如下条件: 正定充分不稳定条件第31页/共51页二、李亚普诺夫稳定性基本定理第32页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 线性系统的平衡点:00.exAxAxx线性系统的平衡点是线性方程组的解。例如，至少有一个解11122212111102222xxxxxxxx例：的平衡点满足，即直线上的任意点为平衡点。第33页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 稳定性的特征根判据: xAxA线性系统在平衡点稳定的是:的特征根都在的左半复平面内， 且在虚轴上的特征根对应的约当块闭均充分必要条件为一阶的。:xAxA充分必要线性系统在平衡点的是: 的特征根都在开的左半条复渐近稳件定平面内。Hurwi

12、tz判据判据第34页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 稳定性的特征根判据注记:稳定性是一致的；渐近稳定性是全局的；特别，只有一个平衡点；渐近稳定等价于指数稳定；A的特征根均在开的左半复平面内时称A为Hurwitz矩阵。Atexe稳定有界第35页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 稳定性判据的李亚普诺夫直接法 ( ) ( )()() ()0TTTTTTTTexx Vx PxVx Pxx PxAxPxx P AxxA PPA xx Qxx充分性：正定负定根据李亚普诺夫定理，系统在平衡点渐近稳定。注意：Q的选择是任意的， 通常可取为单位阵I第36页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 稳定性判

13、据的李亚普诺夫直接法000000()() TTTTTTA tAtTTTA tAtA tAtTA tAtA tAtAtA tdededtdtA tAtA tAtddtAeQe dteQe dtAQA eQeeQe A dtQQeeQdtQeQedtQeQeQ 00TTeA tAtxA PPAQPeQe dt 必要性：如果平衡点渐近稳定，则有解 0TA tAttAeQe注意到：渐近稳定，故第37页/共51页1、线性定常连续系统的稳定性分析（4）应用MATLAB求解李雅普诺夫方程： A=0 1;-1 -1; A=A; 将A转置 Q=1 0;0 1; P=lyap(A,Q)结果为： P =1.5000

14、 0.5000 0.5000 1.0000注意：应先将A矩阵转置后再代入LYAP()函数。 等价判据：系统矩阵A的特征值全部具有负实部。第38页/共51页三、时不变线性系统的稳定性 带有稳定裕度的李亚普诺夫稳定性判据:02TxAxQPA PPAPQ 线性系统的特征根的实部小于（其中）的是对任意给定的正定矩阵 唯一存在正定矩阵 满足李亚普诺夫方程。充分必条件()()TxAxxAI xPAIPP AIQ的特征根的实部小于渐近稳定唯一存在正定矩阵 满足李亚普诺夫方程 (第39页/共51页四、时变线性系统的稳定性 平衡点 基于状态转移矩阵的稳定性判据000:( ) ,( ),0ettttxAxxxx，

15、至少有一平衡0000000( )( )( , )|( , )|(,etttt tt tttttxAxx线性系统的平衡点 = 0 在 时刻稳定的是存在实数使得系统的状态转移矩阵满足条件)。进一步，如果充分必要与 无关时，是条一致稳定性的。件 第40页/共51页四、时变线性系统的稳定性 基于状态转移矩阵的渐近稳定性判据000000000()0et(t )tt(t )t,t|(t,t )|(t,ttlim|(t,t )|t 0#渐近充分必要稳定一稳条渐定件致近 xAxx 系统 在 时刻在平衡点= 附近的是存在一个依赖于 的实数，使得系统的状态转移矩阵满足条件:)。进一步，如果 与 无关，系统是的。第

16、41页/共51页四、时变线性系统的稳定性 基于状态转移矩阵的指数稳定性判据20120()01( ),( , )|( , )|et ttt tt te xAxx线性系统在平衡点=的是：存在正常实数使得系统的状态转移矩阵满足条件充分。必要条件指数稳定0 第42页/共51页四、时变线性系统的稳定性 李亚谱诺夫直接法判椐0( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ),eTtttttttttttt AxAxxQPPAPPAQ假定分段连续且一致有界，则系统的平衡点的是对任意的一致有界和一致正定的对称矩阵存在一致有界和一致正定的对称矩阵满足李亚普诺充夫方程一致渐近稳定分必要条件010(

17、)0( )tttt MMI1对称矩阵称为一致正定的，如果存在常数使得，220( )0( )tttt MMI对称矩阵称为一致有界的，如果存在常数使得，第43页/共51页六、离散时间线性系统的稳定性 李亚普诺夫稳定性定理(1)( ( )0( )( ( )( ( ) :( (1)( ( )(0)( )( ( )0( )( ( )ennkfkVVkVkVkVkkVkkVk RR时不变离散时间自治系统的平衡点的一个是存在定义在上的李亚普诺夫函数满足如下条件: 正定；半负定；且从任意非零初态 出发的自由运动轨迹不能使得； 当，有。# #全局渐近稳定充分条件xxxxxxxxxxxxx第44页/共51页六、离

18、散时间线性系统的稳定性 线性系统稳定性的特征根判椐(1)( ) kk线性系统在平衡点的是：的特征根都在复平面中，且在单位圆上的特征根对应的约当块均为的。#闭的单位圆内一阶充稳定分必要条件xGxG(1)( ) kk线性系统的平衡点的是的特征根都在复平面上。充分必要条渐开的单位圆件内近稳定xGxG第45页/共51页六、离散时间线性系统的稳定性 线性系统稳定性的李亚普诺夫判据(1)( ) Tkk 线性系统在平衡点的是对任意正定矩阵 唯一存在正定对称矩阵满足离散李亚普诺夫方程： 充分渐近稳定必要条件xGxQPG PGPQ第46页/共51页六、离散时间线性系统的稳定性 线性系统稳定性的李亚普诺夫判据(1

19、)( )001 1 eTkk 02线性系统在平衡状态点= 以实数为，即 的特征根在复平面上以 ，（）为半径的圆内的是：对任意正定矩阵唯一存在正定对称矩阵 满足离散李亚普诺夫方程： 充分必要幂指数条件稳定xGxxGQPG PGPQ第47页/共51页七、外部稳定性与内部稳定性 内部稳定性与外部稳定性定义 系统内部稳定是指系统（内部）状态的李雅普诺夫渐近稳定。 系统外部稳定是指有界输入的响应是有界的（又称为BIBO稳定性）。00( )( ):,( )( )( )ttttt xAxBuxxyCxDu( ) tu( ) ty1| ( )|tk u2| ( )|tk y第48页/共51页七、外部稳定性与内部稳定性 时不变线性系统的外部稳定性判据0( )( ) 0 :|( ) |(, )ijijH thtkhtdtki j 线性时不变系统的是其脉冲相应矩阵满足条件充分必要条件外部稳定( )G s线性时不变系统的是其传递函数矩阵是真的或者严格真的，且所有极点在的内。充分必要条件开左稳定半复平面外部第49页/共51页七、外部稳定性与内部稳定性 时不变线性系统内稳与外稳的关系 1）系统内稳 系统外部（BIBO）稳定 2）系统外部稳定 系统内稳 3）系统能控能观时，系统内稳 系统外部稳定注：BIBO有界输入有界输出第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页