电磁学的理论基础麦克斯韦方程组PPT课件

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1、一、场量的定义和计算(一) 电场1. 什么是电场？ 这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。2. 电场强度的定义 单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。电场强度严格的数学表达式为：0limtqtFEq 在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致使原电场发生畸变。第1页/共58页21122120214Rq qFaR3. 库仑定律 1q2q21R 其中： 为真空中介电常数。091201108.851036F/m4. 电场强度的计算220044tRRtqqqEaaq RR 其中： 是源电荷指向场点的方向。Ra(1) 点电荷周围电场

2、强度的计算公式：204RqEaR第2页/共58页(3,2,2)P例1：在直角坐标系中，设一点电荷q 位于点 ， 计算空间点 的电场强度。(5,3,4)P(3,2,2)P(5,3,4)PrrRxyzo解：如图322xyzraaa 点的坐标矢量为：(3,2,2)P点的坐标矢量为：(5,3,4)P534xyzraaa204RqEaR点电荷电场强度的计算公式212xyzRrraaa其中：212|3xyzRaaaRaR222|2123RR所以:0212427xyzaaaqE第3页/共58页结论：3/2222104nixiyiziiiiixxayyazzaqExxyyzz 在直角坐标系中，若源电荷 所在点

3、的坐标为 ，场点P 的坐标为 ，则P 点的电场强度为：q( , )x y z ( , , )x y z3322200()()()4|4()()()xyzxx ayy azz aqRqERxxyyzz多个电荷产生的电场 如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。第4页/共58页(2) 连续分布的电荷源产生的电场a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布 。 线电荷密度定义： 单位长度上的电荷量。0dlimdllqqll dlddlql 上所带的电荷量：dl2200ddd44lRRlqEaaRR产生的电场强度为：dqR该线电荷在空间产生的电场强度： P20

4、d14lRllEaR第5页/共58页0dlimdSSqqSS dS2200ddd44SRRSqEaaRR20d14SRSSEaRRPb.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。 面电荷密度定义：单位面积上的电荷量。 ddSqS 上所带的电荷量：dS 产生的电场强度为：dq该面电荷在空间产生的电场强度： 第6页/共58页c.体电荷分布: 电荷在某空间体积内连续分布 。体电荷密度定义：单位体积内的电荷量。 0dlimdVVqqVV ddVqVdV2200ddd44VRRVqEaaRR 上所带的电荷量：dV 产生的电场强度为：dqRP该体电荷在空间产生的电场强度: 20d14VRVVEaR第7页/共58

5、页解：根据题意，选取圆柱坐标系面元：dd dSr r面元上的电荷量为：dd dSqr r从此电荷源到 z 轴上 P 点的距离矢量为：rzRr aha 距离大小为：22 1/2()Rrh20d14SRSSEaR根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式： 222 3/2000d d4Srzr rr aharh 例2：设有一无限大的均匀带电平面，面电荷密度为 。 求：距平面h高处的电场强度 。SE第8页/共58页 由于电荷分布的对称性，对每一个面元 ，将有一个对称面元 与之对应，这两个面元上的电荷在P点产生的电场强度的径向分量相互抵消，因此P点的电场强度的径向分量为零。 dSdS222 3/20

6、0022 1/2000dd41242SzSzSzr hEr arhharha 可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的,与距离 h无关，方向为该平面的法线方向。第9页/共58页（二）电位 电荷 在电场中受力为：qtetFq EaFeFtaFq E 电荷在静电场中由P点移动到A点，外力所做的功为： tdAPWqEl 电位差定义： 单位正电荷由P点移动到A点，外力所做的功称为A点和P点之间的电位差。 1. 电位差tdAAPPWElq 电荷 在电场中要保持静止，需受外力作用为：qt第10页/共58页dAAPPEl dddsindRlRaRaRa20201d41d4PAPAPRRARRqaRaRqR

7、R0114APqRR结论： 空间两点的电位差只 与两点所在位置有关， 而与积分路径无关。例3：计算原点处一点电荷q 产生的电场中AP之间的电位差。2014RqEaR解：选取求坐标系，点电荷q 产生的电场所以：xyzPAo第11页/共58页（1）电位定义： 外力将单位正电荷是由无穷远处移到A点，则A点和 无穷远处的电位差称为A点的电位。2. 电位01d4AAAqElRAR以无穷远处为零电位参考点。 为电荷源到A点的距离。（2）电位计算：a.点电荷的电位计算：04qR多个点电荷的电位计算：其中： 为第i个电荷源到A点的距离。iR1014NiiiqR第12页/共58页01d4VVVRb.连续分布的电

8、荷源的电位计算线电荷分布：面电荷分布：体电荷分布：dlEl ddEl ddl E 3. 电场强度 与电位 之间的关系E01d4SSSR01d4lllR第13页/共58页例4: 有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，如图， 求：P点的电位和电场强度 。解：取球坐标系， P点的电位lR因为：1cos2lRRcos12lRR222212cos4RlRRR2cos2lRR则：电场强度：sinREaaaRRR 3300cossin24RqlqlEaaRR012114qRR210124RRqR R20cos4qlR第14页/共58页(三) 磁场产生磁场的源： a.永久磁铁 b.变化的电场 c.电流周围

9、，即运动的电荷1. 什么是磁场？ 存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施力的特殊物质称为磁场。tm0tlimvqFaBq vmF可见： 磁场力 、运动速度 和磁感应强度 三者相互垂 直，且满足右手螺旋法则。mFvaBB2. 磁感应强度 的定义BvmFqvB第15页/共58页1I2I22dIl11dI lR电流元22222222ddddddddqlIllqq vtt01121222ddd4RI laFq vRmFqvB01112dd4RI laBR电流元 在空间所产生的磁感应强度为： 11dI l该式称为毕奥萨伐尔定律。安培力实验定律： 3. 磁感应强度的计算02211212d( d)

10、d4RIlI laFR0其中： 为真空磁导率。得到：比较704 10H/m第16页/共58页例5：求如图所示的电流线 I 在O点产生的磁感应强度。IyxO解：取圆柱坐标系02d4RlI laBRABCD将电流线分成 三段分别求这三段电流在O点产生的磁感应强度。 ,AB BC CDaa.闭合电流回路在空间所产生的磁感应强度：02d4RlI laBR特斯拉(T)第17页/共58页（1） 段在O点产生的AB1B1dd ()rlra 1()Rraa 1011121d4RlI laBR0（2） 段在O点产生的BC2B2ddlaa 2()Rraa 0220d()4rIaaaBa 2Ra04zIaa（3）

11、段在O点产生的CD3B3ddrlra 3()Rraa 3033323d4RlI laBR0O点产生的磁感应强度:123BBBB04zIaaIyxOABCD1dl2dla3dl第18页/共58页例6：求长为l ，载有电流 I 的细直导线在P点产生的磁感应强度。解：如图所示，选用圆柱坐标系02d4RlI laBR式中：ddzlz a2tandsecdseccossinRrzzzrzrRraaa 所以： 2dd(cossin)seccos dRzrzlaa zaaa r 212001222seccosd(sinsin)4sec4a rIIBarrodzRaR21r( , , )P rzrz2l2l第

12、19页/共58页odzRaR21r( , , )P rzrz2l2l式中：122sin2lzlrz2（）222sin2lzlrz2（）l于是得：02IBar012(sinsin)4IBar有限长度电流线磁感应强度：无限长载流直导线周围磁感应强度： 即：1/22/2第20页/共58页b. 面电流情况: 电流在某一曲面上流动。面电流密度： 定义为在与电流线垂直的方向上单位长度流过的电流。ddSIIJal ddSIJl 上流过的电流量：dl产生的磁感应强度为：dI110112ddd4SRlJllaBR11dl整个面电流产生的磁场：02d4SRSJaBSR110112d d4SRlJallR(A/m)

13、第21页/共58页SJyzo解：如图，选用直角坐标系01222ddd22()SyJ h yBBahy2dl1dlhP1r1dl 上流过的电流为1dSJl0111dd2SJlBar例7：设一面电流密度为 的无限大均匀导流面，求：距该平 面h高处的磁感应强度？SJ1dB2r与 对称的取线元1dl2dl2dB0222dd2SJlBar2212rrhy其中：12dddlly12cossincossinyzyzaaaaaa22coshhy 第22页/共58页该面电流在P点产生的磁感应强度：0220dSyJ hyBahy001arctan( )SyJ hyahh02SyJa02SnJaB无限大均匀导流面两

14、侧的磁感应强度：第23页/共58页c. 体电流情况: 电流在某一体积内流动。体电流密度： 定义为在与电流线垂直的方向上平面内单位面积流过的电流。 ddIJ S 上流过的电流量：dS产生的磁感应强度为：dI110112d dd4RlJ S laBR整个体电流产生的磁场：02d4RVJaBVR110112d d4RlJaS lRddIIJaS(A/m2)第24页/共58页 (四) 矢量磁位 1. 磁通量 磁感应强度对一个曲面的面积分称为穿过该曲面的磁通量。dSBSdSBS若曲面闭合：02d4RlI laBR02dd4RSlI laSR磁感应强度：21()RaRR 根据梯度规则：2d1()dRI l

15、aI lRR 则有：根据高斯定律：ddSVBSB V01()d d4VlI l VR01 ()d d4VlI lVR 第25页/共58页利用矢量恒等式：()FGGFFG111 ()d d()()dI lI lI lRRR 1()0R已知：01d d4Vl() I lVR d0I l和dSBS00结论： 穿过空间任意闭合曲面的磁通量恒为零。这就是磁通连续性原理。它说明磁感线是连续的闭合矢线，磁场是无散场。 ddSVBSB V0B第26页/共58页2. 矢量磁位的引入根据矢量恒等式：0F引入矢量 ，令 则：BA A0AB 该矢量 称为矢量磁位，单位为韦伯/米（Wb/m）。 A3. 矢量磁位的计算规

16、范条件：0A对线电流的情况：02d4RlI laBR01(d )()4lBI lR21 () RaRR 已知：a.线电流矢量磁位计算第27页/共58页利用矢量恒等式：d11() ()ddI lI lI lRRR 0d()4lI lBR则：01(d )()4lBI lR()f GfGfG 0d()4lI lBR 0d4lI lAR矢量磁位：该式为线电流产生的磁场中的矢量磁位计算公式。为零！第28页/共58页b.面电流矢量磁位计算0d4SSJASR11dl面电流密度：ddSIIJal(A/m)矢量磁位：c.体电流矢量磁位计算0d4VJAVR体电流密度：矢量磁位：ddIIJaS(A/m2)第29页/

17、共58页例8：试求电流为I, 半径为a 的小圆环在远离圆环处的磁感应强度。解：先求 再求 ，选用球坐标系，BA0d4lI lARxyo已知：ddI lIaa2ddsincosxyI lIaaa 2dI l1dI l1ddsincosxyI lIaaa在直角坐标系中12dd2sindxI lI lIaa 1dA2dA2sindIaa 所以：第30页/共58页oRR( , ,90 )oP RxyzKMN如图：222RPMMK 22(cos )PMR222MKNKNM22( cos)( sinsin)aRa22( sin )2sinsinaRaR2222sinsinRRaaR其中：可得：1221si

18、nsinaRRR11(1sinsin)aRRRRa当：第31页/共58页0d4lI lAR将：02221(1sinsin)sind4IaaAaRR 11(1sinsin)aRRR12dd2sindI lI lIaa 02sin4SIaR得：式中 为圆环的面积。 2Sa小电流环的磁矩：nmISa因为 ，最后得：BA 032cossin4RSIaaR2sin1sin00sinRaRaRaBRRRA第32页/共58页二.麦克斯韦方程组的建立(一)安培环路定律麦克斯韦第一方程1. 安培环路定律已知：无限长载流直导线周围的磁感应强度为：02IBar2000d() d2lIBlaarIrdlrdddlra

19、第33页/共58页引入一个新矢量 ，令 则： H0BH1dNiliHlI矢量 称为磁场强度，单位为安培/米（A/m）。 H安培环路定律： 在真空中，磁场强度沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流。dcos ddrlal20000ddd22llIIBlalrIrr若积分回路中包含多个电流则：01dNiliBlI第34页/共58页例9: 如图所示，一无限长同轴电缆芯线通有均匀分布的电流I，外导体通有均匀的等量反向电流，求各区域的磁感应强度。 解: 根据题意，取圆柱坐标系。（1） 区域1Rr 内导体的电流密度为:211/ zJa IR取半径为 r 的圆环为积分回路，根据安培环路定律

20、: 21100dd drzlHlJr ra 21212IrHrRddlra21110dd2lHlHrrH22220011d drIIr rrRR 1212IrHaR磁感应强度为:01212IrBaR 第35页/共58页同理取半径为r 的圆为积分回路，则有: 21RrR（2） 区域2dlHlI22d2lHlrH22IHar022IBar该区域的磁感应强度为:23RrR（3） 区域外导体的电流密度为:22232 /zJa IRR2223200dd drRH rIJ r r 同理，取半径为r 的圆为积分回路，则有: 22332232()2()I RrHaRRr220332232()2()I RrBa

21、RRr可得：（4） 区域3rR40B 第36页/共58页2. 位移电流 传导电流连续是安培环路定律成立的前提。 位移电流的提出： 在电容器两极板间，由于电场随时间的变化而存在位移电流，其数值等于流向正极板的传导电流。如图：1S穿过 的传导电流为 ，则： CICdlHlId0lHl穿过 的传导电流为 ，则： 2S0矛盾？S第37页/共58页0dCddEIIStCddqIt平板电容器极板上的电荷： 00SqCVEdESd位移电流的计算 传导电流：位移电流：位移电流密度：d0dd()dIEJSt引入一个新矢量 ，在真空中令 ，则位移电流密度表示为： D0DEdddDJtddSDISt某曲面上的位移电

22、流：电位移矢量 第38页/共58页3. 全电流定律 引入位移电流之后，穿过 S 面的总电流为：CdIII总电流密度为：CdCDJJJJt某曲面上全电流 I 为： C() dSDIJSt全电流定律： Cd() dlSDHlJSt该方程称为麦克斯韦第一方程。该式的物理意义：它表明磁场不仅由传导电流产生，也能由 随时间变化的电场，即位移电流产生。 第39页/共58页(二) 法拉第电磁感应定律麦克斯韦第二方程1. 法拉第电磁感应定律 磁场中的一个闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生了感应电流，表示回路中感应了电动势，且感应电动势的大小正比于磁通对时间的变化率 。数学表达式为：inddt EdS

23、BS该闭合回路中的感应电动势为：dlElinddddlSElBSt 闭合回路中的磁通量为：可得：第40页/共58页引起磁通变化的原因： dSBStin(2) 闭合回路与恒定磁场之间存在相对运动,这时回路中的感 应电动势称为动生电动势。 dSBStin(3) 既存在时变磁场又存在回路的相对运动，则总的感应电动 势为： dSBSt in(1) 闭合回路是静止的，但与之交链的磁场是随时间变化的， 这是回路中产生的感应电动势称为感生电动势。第41页/共58页例10: 如图所示，一个矩形金属框的宽度d 是常数，其滑动的一边以匀速v 向右移动，求：下列情况下线框里的感应电动势。 （1） 恒定均匀；（2）

24、。 B0sin()zBBt a0zBB a解：（1）已知dSBSt in000ddyvtBSt in其中：dd dzSx ya0000000d dy()dyvtBxB d yvtB dvtt in第42页/共58页（2）已知0sin()zBBt a000000sin(t)d dysin() ()dyvtBxtBt d yvtt in000cos() ()sin()zBt d yvt aBt dv 第43页/共58页2. 法拉第电磁感应定律的推广 当空间某曲面内的磁通随时间变化时，意味着空间存在着感应电场，感应电场沿曲面边界的积分为该曲线上的感应电动势。ddlSBElSt 经麦克斯韦推广的电磁感

25、应定律为：该方程称为麦克斯韦第二方程。该式说明：变化的磁场产生电场。即电场不仅由电荷源产生， 也可由时变的磁场产生。 第44页/共58页(三)电场的高斯定律麦克斯韦第三方程 若以该点电荷为中心，做一半径为R 的球面，则电场强度穿出该球面的通量为2220000dsin d d4RRSqqESaa RR 如果闭合曲面内包含n个点电荷，则：10dniSiqES如果闭合曲面内含有连续分布的电荷，则： 01ddVSVESVddVSVDSV该方程称为麦克斯韦第三方程。该式表明：穿过任何闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围 的净电荷。 第45页/共58页例11：一均匀带电球壳，电荷密度为 ，球壳内外半径分别

26、为a、b，求各区域中的电位移矢量 。0D解：如图，选球坐标系，由于球壳内均匀 带电，所产生的电场具有中心对称性。1ddVSVDSVab0（1） 区域R a取半径为 R 的球面为高斯面，根据电高斯定律: 22111dsin d d4RRSSDSD RaDR 010D 可得：第46页/共58页2ddVSVDSV（2） 区域a R b取半径为 R 的球面为高斯面，根据电高斯定律: 22222dsin d d4RRSSDSDRaDR 33022()3RRaDaR可得：ab0333300444d( )()333VVVRaRa第47页/共58页3ddVSVDSV（3） 区域R b同理取半径为 R 的球面为

27、高斯面，根据电高斯定律: 22333dsin d d4RRSSDSDRaDR 33032()3RbaDaR可得：333300444d()()333VVVbabaab0第48页/共58页数学表达式为：d0SBS该式表明： 通过任何闭合曲面的磁通量恒为零。磁力线总是连续的，它不会在闭合曲面内积累或中断，故称磁通连续性原理。 该方程称为麦克斯韦第四方程。(四)磁场的高斯定律麦克斯韦第四方程第49页/共58页(五)电流连续性方程麦克斯韦第五方程CCdSIJS从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率：CddQIt 设流出封闭曲面的电流为：dVVQV该封闭曲面内的总电荷为：CddVSVJSV

28、t 则：该方程称为麦克斯韦第五方程。该式表明： 从封闭曲面流出的电流，必然等于封闭曲面内正电荷的减少率，反之亦然。 第50页/共58页Cd() dlSDHlJStddlSBElSt ddVSVDSVd0SBS（一）麦克斯韦方程组的积分形式： CddVSVJSVt 一般情况：无源的情况：(0,0)cJddlSBElSt d0SDSd0SBSddlSDHlSt三、麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式第51页/共58页CddlSHlJSd0lElddVSVDSVd0SBS恒定电磁场(存在直流电流) 正弦电磁场（存在时间因子 ） jetCd(j) dlSHlJDSdjdlSElBS ddVSVDSVd0

29、SBS注意：利用积分形式的麦克斯韦方程可直接求解具有对称性的场。如：中心对称性场，轴对称性场，平面对称性场。第52页/共58页例12 ：一无限长均匀带电直导线，线电荷密度为 ， 求：该导线周围的电场强度。l解：该导线周围的电场具有轴对称性， 选柱坐标系，高斯面选柱面。ddVSVDSVQ200dd d2lrrSDSD rzDrl lQl可得：2lrDar02lrEar电场强度：0DE已知：l第53页/共58页（二）麦克斯韦方程组的微分形式 d() dlSHlHS积分形式:CDHJtCd() dlSDHlJStddlSBElSt ddVSVDSVd0SBSCddVSVJSVt BEt ddSVDS

30、D VVD0BCVJt 微分形式:注意：麦克斯韦方程的微分形式只适用于媒体的物理性质 不发生突变的区域。 微分形式的麦克斯韦方程组给出了空间某点场量之间及场量与场源之间的关系。 第54页/共58页例13 ：已知自由空间磁感应强度为 12933 10cos(3 1010 )yBtz a(1)求位移电流密度 ；dJ(2)若 m时， ，求 ms时， km处的电场强度。0,1.1tz0E 1t 9z 解： (1)按题意，空间无传导电流，故：dDHJtd001100 xyzyaaaJBxyzB01yyxzBBaazx1290330 10sin(3 1010 )xtz a 492.626 10sin(3

31、1010 )xtz a （A/ ）2m第55页/共58页(2)由0dEJt得： 49002.626 10 sin(3 1010 )dxJtz aEt4902.626 10sin(3 1010 )dxEtzta49902.626 10cos(3 1010 )3 10 xtz aC399.90 10cos(3 1010 )xtz aC0C 若 m时， ，则：0,1.1tz0E 所以： 399.90 10cos(3 1010 )xEtz a393339.90 10 cos(3 101010 9 10 )7.401 10 xxEaa 当 ms时， km处的电场强度：1t 9z （mV/m） （mV/m

32、） 第56页/共58页 麦克斯韦方程组包含着丰富的内容和深刻的含义。伟大的物理学家爱因斯坦曾这样评价麦克斯韦方程： “这个方程组的提出是牛顿时代以来物理学上一个重要的事情，这是关于场定律的定量的描述。方程中所包含的内容比我们所指出的要丰富得多。在它们简单的形式下隐藏着深奥的内容。这些内容只有靠仔细的研究才能显示出来。它是描述场的结构的定律，它不像牛顿定律那样把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是此处此刻的场只与最近的刚过去的场发生关系。假使我们知道此处此刻所发生的事件，这些方程便可帮助我们预测在空间上稍远一些，在时间上稍迟一些将会发生什么。”第57页/共58页感谢您的观看！第58页/共58页