江西省宜市上高二中高三下4月月考数学试卷文科解析版

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1、2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|（x+1）（x10）0，B=yN|y6，则AB等于（）AB（1，6）C1，2，3，4，5D0，1，2，3，4，52已知（1+xi）（12i）=y（其中x，yR），则（）Ax=2，y=3Bx=2，y=3Cx=2，y=7Dx=2，y=53函数f（x）=的图象如图所示，则f（3）等于（）ABC1D24已知函数f（x）=sin（2x+）（0）下的最小正周期为，则函数的图象（）A关于直线x=对称B关于点（，0

2、）对称C关于直线x=对称D关于点（，0）对称5已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=4，a2+a3+a4=18，则使Z的正整数n的值为（）A3B4C3或5D4或56设正数x，y满足1xy2，则z=2x2y的取值范围为（）A（，4）B（0，4）C（，4）D（4，+）7抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则|PF|等于（）A1+B1+2C1+D1+28若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（mod m），例如104（mod 6）下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A17B16C15D

3、139如图，在正六边形ABCDEF中，|+|=6，则等于（）A6B6C2D210已知函数f（x）=4x3ax+1存在n（nN）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）AA（0）=（，3BA（1）=2CA（2）=（3，+）DA（3）=（3，+）11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +8B24+8C16+16D8+1612设A（3，0），B（3，0），若直线y=（x5）上存在一点P满足|PA|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）ABC或D或二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，

4、公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为14若为锐角，cos2=，则tan（+）=15一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为16已知Sn为数列an的前n项和，若，则数列的前n项和Tn=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，c=b（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，BCD的面积为，求BD的长18某洗衣机生产流水线

5、上有三条不同的作业线，每条作业线上的质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该洗衣机的等级若S5，则该洗衣机为特等品；若4S5，则该洗衣机为一等品；若S4，则该洗衣机不合格现从这一批洗衣机中，随机抽取10台作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）从编号为A1到A6的6台洗衣机中，随机抽取2台，用

6、产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2台洗衣机中，恰有一台是一等品一台不合格”，求事件B发生的概率19如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4（1）若DP=DD1，证明：PQ平面ABB1A1；（2）若P是D1D的中点，证明：AB1平面PBC20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求的值21设aR，f（x）

7、=ax2lnx，g（x）=exax（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率大于1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）g（x）0对x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做ADBC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G（）证明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圆O的半径选修4-4；坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程

8、为=2cos（）2sin（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2x|+|x2+|（x0）（1）求证：f（x）2；（2）若x1，3，使f（x）成立，求实数a的取值范围2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|（x+1）（x10）0，B=yN|y6，则AB等于（）AB（1，6）C1，2，3，4，5D0，1，2，3，4，5【考

9、点】交集及其运算【分析】先化简集合A，B，再根据交集的定义即可求出【解答】解：集合A=x|（x+1）（x10）0=x|1x10，B=yN|y6=0，1，2，3，4，5，6，则AB=0，1，2，3，4，5，故选：D2已知（1+xi）（12i）=y（其中x，yR），则（）Ax=2，y=3Bx=2，y=3Cx=2，y=7Dx=2，y=5【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的代数形式混合运算，通过复数相等求解即可【解答】解：（1+xi）（12i）=y，可得1+2x+（x2）i=y，即：，解得：，故选：D3函数f（x）=的图象如图所示，则f（3）等于（）ABC1D2【考点】

10、函数的图象【分析】由条件利用函数的图象可得a（1）+b=3，ln（1+a）=0，由此求得a、b的值，从而求得f（3）的值【解答】解：根据函数f（x）=的图象，可得a（1）+b=3，ln（1+a）=0，求得a=2，b=5，f（x）=，f（3）=2（3）+5=1，故选：C4已知函数f（x）=sin（2x+）（0）下的最小正周期为，则函数的图象（）A关于直线x=对称B关于点（，0）对称C关于直线x=对称D关于点（，0）对称【考点】正弦函数的图象【分析】由题意和函数的周期性可得值，验证可得对称性【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）（0）下的最小正周期为，=，解得=1，f（x）=sin（2x+），

11、由2x+=k+可得x=+，kZ，结合选项可知当k=2时，函数一条对称轴为x=，故选：A5已知Sn为等差数列an的前n项和，a1=4，a2+a3+a4=18，则使Z的正整数n的值为（）A3B4C3或5D4或5【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意可得a3=6，a2=5，由等差数列的求和公式和性质验证可得【解答】解：a2+a3+a4=3a3=18，a3=6，公差d=（a3a1）=1，故a2=5，=2Z， =1Z，当n=1、2、4、6、7、8时， Z故选：C6设正数x，y满足1xy2，则z=2x2y的取值范围为（）A（，4）B（0，4）C（，4）D（4，+）【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作

12、出可行域，令t=x2y，化为直线方程的斜截式，求出t的范围，结合指数函数的值域得答案【解答】解：由，得可行域如图：令t=x2y，由图可知，当t=x2y过A（2，0）时，t有最大值2，t2，则z=2x2y4又指数函数的值域为（0，+），z=2x2y的取值范围为（0，4）故选：B7抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M上一点P满足PAPF，则|PF|等于（）A1+B1+2C1+D1+2【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意，点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上，联立圆与抛物线的方程，求出点P的横坐标，利用抛物线的定义求出|PF|【解答】解：由题意，A（1，0），F（1，

13、0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x1=0，m0，m=2+，点P的横坐标为2+，|PF|=m+1=1+故选：C8若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为Nn（mod m），例如104（mod 6）下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的（中国剩余定理），执行该程序框图，则输出的n等于（）A17B16C15D13【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出

14、同时满足条件：被3除余2，被5除余2，即被15除余2，最小两位数，故输出的n为17，故选：A9如图，在正六边形ABCDEF中，|+|=6，则等于（）A6B6C2D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可知，ACE为等边三角形，继而求出三角形的高，再根据向量的数量积公式即可求出【解答】解：在正六边形ABCDEF中，AB=DC，ACE为等边三角形，|+|=6，ACE为的高为3，AC=2，AB=2，=22cos=6，故答案为：610已知函数f（x）=4x3ax+1存在n（nN）个零点对应的实数a构成的集合记为A（n），则（）AA（0）=（，3BA（1）=2CA（2）=（3，+）DA（3）=（3

15、，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】令f（x）=0得出a=4x2+，令h（x）=4x2+，判断h（x）的单调性，作出h（x）的函数图象，利用函数图象判断方程h（x）=a的解的个数，从而得出A（n）【解答】解：令f（x）=0得a=4x2+，当f（x）有n个零点时，方程a=4x2+有n个不同的解设h（x）=4x2+，则h（x）=8x=，当x时，h（x）0，当x0或0时，h（x）0作出h（x）=4x2+的大致函数图象如下：由图象可知当a3时，h（x）=a只有一解，当a=3时，h（x）=a有两解，当a3时，h（x）=a有三解A（0）=，A（1）=（，3），A（2）=3，A（3）=（3，+）故选D1

16、1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A +8B24+8C16+16D8+16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是长方体和四棱锥，下面是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是长方体和四棱锥，下面是半个圆柱，且圆柱的底面半径是2，母线长是4，长方体的长、宽、高分别是4、2、2，四棱锥的底面是边长为4、2的长方体、高是2，该几何体的体积V=故选：A12设A（3，0），B（3，0），若直线y=（x5）上存在一点P满足|PA|PB|=4，则点P到z轴的距离为（）ABC或

17、D或【考点】双曲线的简单性质【分析】根据条件得到P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，求出双曲线的方程，联立方程组求出P的坐标即可得到结论【解答】解：A（3，0），B（3，0），P满足|PA|PB|=4|AB|，P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，其中c=3，2a=4，则a=2，b2=94=5，即双曲线方程为=1，若直线y=（x5）上存在一点P满足|PA|PB|=4，则有消去y得16x2+90x325=0，即（2x5）（8x+65）=0，得x=或（x=0舍），此时y=，即点P到z轴的距离为，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13某服装设计公司有1200名员工，其中老年、中

18、年、青年所占的比例为1：5：6，公司十年庆典活动特别邀请了5位当地的歌手和公司的36名员工同台表演节目，其中员工按老年中年、青年进行分层抽样，则参演的中年员工的人数为15【考点】分层抽样方法【分析】根据总体中年员工的所占的比例、样本的容量，求出应抽取中年员工的人数【解答】解：因为老年、中年、青年所占的比例为1：5：6，所以参演的中年员工的人数为：36=15，故答案为：1514若为锐角，cos2=，则tan（+）=3【考点】三角函数的化简求值【分析】由为锐角，cos2=2cos21，解得cos，可得sin=，tan=代入展开tan（+）即可得出【解答】解：为锐角，cos2=2cos21，解得co

19、s=，sin=tan=则tan（+）=3故答案为：315一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，若球心O到此正三角形所在的平面的距离为，则球O的表面积为40【考点】球的体积和表面积【分析】先求出正三角形外接圆的半径，再求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积S【解答】解：一边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的表面上，正三角形外接圆的半径r=3=，球心O到此正三角形所在的平面的距离为d=，球O的半径R=，球O的表面积S=4R2=40故答案为：4016已知Sn为数列an的前n项和，若，则数列的前n项和Tn=【考点】等差数列的前n项和【分析】令n=1，可得求得a2=1，当n2时，由an=S

20、nSn1，求得=，由T1=，利用等比数列的求和公式求得Tn的结果【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，若，令n=1，可得 a1=1=a2+2，求得a2=1当n2时，an=SnSn1=nan+1+2n（n1）an2n1，n（anan+1）=2n1；=，T1=，数列的前n项和Tn=+=+=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60，c=b（1）求角A，B的大小；（2）若D为边AC上一点，且a=4，BCD的面积为，求BD的长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由C=60，可得sinC

21、，由c=b，可得：，又由正弦定理可得：，解得sinB，结合bc，可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值（2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）C=60，可得：sinC=，由c=b，可得：，又由正弦定理，可得：，解得：sinB=，由已知可得bc，可得B为锐角，可得：B=45，A=BC=75（2）BCD的面积为，即： aCDsinC=，解得：CD=1，由余弦定理可得：BD=18某洗衣机生产流水线上有三条不同的作业线，每条作业线上的质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该洗衣机的等级若S5，则该洗衣机为特等品；

22、若4S5，则该洗衣机为一等品；若S4，则该洗衣机不合格现从这一批洗衣机中，随机抽取10台作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标（x，y，z）（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，z）（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）从编号为A1到A6的6台洗衣机中，随机抽取2台，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2台洗衣机中，恰有一台是一等品一台不合格”，求事件B发生的概率【考点】列举法计算基本

23、事件数及事件发生的概率【分析】（1）计算10台洗衣机的综合指标S，由此能估计该批洗衣机的特等品率（2）从A1到这6台洗衣机中，随机抽取2台，利用列举法能求出所有可能的结果设事件B为“在取出的2台洗衣机中，恰有一台是一等品一台不合格”，利用列举法求出事件B发生的所有可能结果，由此能求出P（B）【解答】解：（1）计算10台洗衣机的综合指标S，如下表： 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中，S5的有A3，A6，A8，A10，共4台，故样本的特等品率为：p=0.4，从而可估计该批洗衣机的特等品率为0.4（2）从A1到这6台

24、洗衣机中，随机抽取2台，基本事件总数n=15，所有可能的结果为：A1，A2，A1，A3，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种结果设事件B为“在取出的2台洗衣机中，恰有一台是一等品一台不合格”，则事件B发生的所有可能结果为：A1，A4，A2，A4，A4，A5，共3种，P（B）=19如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且A1A底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1，BC上，BQ=4（1）若DP=DD1，证明：PQ平面ABB1A1；

25、（2）若P是D1D的中点，证明：AB1平面PBC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，由已知可证四边形BQPN为平行四边形，从而证明PQBN，即可判定PQABB1A1（2）取A1A的中点M，连接PM，BM，PC，可证PMBC，又由BCAB，BCA1A，可证BCAB1，由tanABM=tanA1AB1，可得ABM=A1AB1，证明AB1BM，从而可证AB1平面PBC【解答】证明：（1）在AA1上取一点N，使得AN=AA1，DP=DD1，且A1D1=3，AD=6，PNAD，又BQAD，PNBQ，四边形BQPN为平行四边形，PQBN，B

26、N平面ABB1A1，PQABB1A1PQABB1A16分（2）如图所示，取A1A的中点M，连接PM，BM，PC，A1，A，D1D是梯形的两腰，P是D1D的中点，PMAD，于是由ADBC知，PMBC，P，M，B，C四点共面，由题设可知，BCAB，BCA1A，BC平面ABB1A1，BCAB1，tanABM=tanA1AB1，ABM=A1AB1，ABM+BAB1=A1AB1+BAB1=90，AB1BM，再由与BCBM=B，知AB1平面PBC12分20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y3）2=4的公共弦长为4（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶

27、点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求的值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值【解答】解：（1）由题意可得e=，a2b2=c2，椭圆C与圆M：x2+（y3）2=4的公共弦长为4，可得椭圆经过点（2，3），即有+=1，解得a=4，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设过右顶点A（4，0）的直线l

28、为y=k（x4），由直线与圆x2+y2=相切，可得=，解得k=，将直线y=（x4），代入椭圆+=1，消去y，可得31x232x368=0，设B（x0，y0），可得4x0=，则=（4，0）（x0，y0）=4x0=21设aR，f（x）=ax2lnx，g（x）=exax（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率大于1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）g（x）0对x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率大于1，求出

29、a0，运用导数的正负求出f（x）的单调区间；（2）由f（x）0对x（0，+）恒成立，a（）max，设h（x）=（x0），求出a的范围，结合f（x）g（x）0对x（0，+）恒成立，得到a对x（0，+）恒成立设H（x）=，求出a的范围，取交集即可【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+）f（x）=ax2lnx，f（x）=2ax，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率大于1，f（1）=2a11，a0令f（x）0，x，f（x）0，0x，f（x）的单调递增区间是（，+）；单调递减区间是（0，）；（2）若f（x）0对x（0，+）恒成立，即ax2lnx0对x（0，+）恒成立，则a（）max

30、，设h（x）=（x0），则h（x）=，当0x时，h（x）0，函数h（x）递增；当x时，h（x）0，函数h（x）递减所以当x0时，h（x）max=h（）=，ah（x）无最小值，f（x）0对x（0，+）恒成立不可能f（x）g（x）0对x（0，+）恒成立，g（x）=exax0，即a对x（0，+）恒成立设H（x）=，H（x）=，当0x1时，H（x）0，函数H（x）递减；当x1时，H（x）0，函数H（x）递增，所以当x0时，H（x）min=H（1）=e，ae综上可得，ae请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，BC是圆O的直径，点F在

31、弧上，点A为弧的中点，做ADBC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G（）证明：AE=BE（）若AC=9，GC=7，求圆O的半径【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）证明：ABF=BAD，即可证明AE=BE（）由ABGACB，求出AB，直角ABC中由勾股定理知BC，即可求圆O的半径【解答】证明：（）连接AB，点A为弧的中点，=，ABF=ACB又ADBC，BC是圆O的直径，BAD=ACB，ABF=BAD，AE=BE （）由ABGACB知AB2=AGAC=29AB=3 直角ABC中由勾股定理知BC=3 圆的半径为 选修4-4；坐标系与参数方程23已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐

32、标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为=2cos（）2sin（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P、Q分别为直线l与曲线C上的动点，求|PQ|的取值范围【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）化简曲线方程C，可得=2cos，即2=2cos，结合sin=y，cos=x，即可得曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离，结合图形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范围【解答】解：（1）曲线C的方程为=2cos（）2sin=2cos+2sin2sin=2cos，2=2cos，又sin=y，co

33、s=x，曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即C的直角坐标方程为（x1）2+y2=1，（2）直线l的参数方程为（t为参数），消去t可得，l的普通方程为y=（x+2），即x+2=0，圆C的圆心到l的距离为d=，|PQ|的最小值为d1=1，|PQ|的取值范围为1，+）选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2x|+|x2+|（x0）（1）求证：f（x）2；（2）若x1，3，使f（x）成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）问题等价于2x2xa，求出2x2x的范围，从而求出a的范围即可【解答】证明：（1）f（x）=|x2x|+|x2+|x2x（x2+）|=|x+|=|x|+|2，当且仅当x=1时取“=”，f（x）2；解：（2）当x1，3时，x2x0，x2+0，f（x）=2x2x+，f（x）等价于2x2xa，当x1，3时，2x2x1，15，若x1，3，使f（x）成立，则a15，故实数a的范围是（，15