湖南省师大附中高三数学摸底考试试题理

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1、2020年春季高二期末考试暨2020届高三摸底考试数学(理科)时量：120分钟满分：150分得分：_第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数z满足(2i)z2i(i为虚数单位)，则z等于A34i B34iC.i D.i2已知Px|x25x40，Q，则PQ等于A(1，4) B2，4)C(1，2 D(，23已知两组样本数据x1，x2，xn、y1，y2，ym的平均数分别为h和k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A. B.C. D.4已知an为等比数列，a10，a4a72，a5a68，则a1a4a7a10等于A

2、7 B5 C5 D75如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正确的有A1个 B2个 C3个 D4个6已知双曲线1(a0，b0)以及双曲线1(a0，b0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1(a0，b0)的离心率为A2或 B.或C2或 D.或7函数f(x)sin(2x)(0)图像向右平移个单位后关于y轴对称，则的值是A0 B. C. D.8在正三角形ABC内任取一点P，则点P到A，B，C的距离都大于该三角形边长一半的概率为A

3、1 B1 C1 D19底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.10在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为A. B. C(62) D.11已知函数f(x)F(x)f(x)x1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为A(，0 B(，1)C1，) D(0，)12已知表示大于x的最小整数，例如4，1，下列命题中正确的是函数f(x)x的值域是；若an是等差数列，则也是等差数列；若an是等比数列，则也是等比数列；若x(1，2 018)，则方程x有2 017个根A B C D选择

4、题答题卡题 号123456789101112得 分答 案第卷二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分13从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为_(结果用最简分数表示)14九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V(底面的圆周长的平方高)，则该问题中圆周率的取值为_(注：一丈10尺)15.(1x)6展开式中x2的系数为_(结

5、果用数字表示)16如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若xy，则xy的最大值是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分11分)如图，ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记BAD，ADC.(1)求2cos cos 的最大值；(2)若BD1，cos ，求ABD的面积18.(本小题满分11分)已知正项等比数列的公比为q，且a3a4a5，3a5是a3，a4的等差中项数列满足b11，数列的前n项和为2n2n.(1)求数列

6、的通项公式；(2)求数列bn的通项公式19.(本小题满分12分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形(1)设为中点，若.求证：平面C1；(2)设二面角C1大小为，求sin 的值20.(本小题满分12分)某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改若整改后经复查仍不合格，则强制关闭设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率(精确到0.01)2

7、1.(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)，其焦点为F1，F2，离心率为，若点P满足|PF1|PF2|2a.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm(k，mR)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，AOB的重心G满足：，求实数m的取值范围22.(本小题满分12分)设函数f(x)ln(xa)x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)exx2f(x)，当a2时，证明：g(x)0.炎德英才大联考湖南师大附中2020年春季高二期末考试暨2020届高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1D【解析】由(2i)z2i，得zi，故选D.2C【解析】解x25

8、x40，即(x1)(x4)0，得1x4，故P(1，4)Q表示函数y的定义域，所以42x0，所以x(，2，即Q(，2故PQ(1，2故选C.3B【解析】因为样本数据x1，x2，xn的平均数为h，y1，y2，ym的平均数为k，所以第一组数据和为nh，第二组数据和为mk，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为，故选B.4B【解析】由等比数列的性质可得a5a6a4a78，又a4a72，解得a42，a74或a72，a44，因为a7a1q60，所以a42，a74，a7a4q32q34，所以q32，所以a11，a10a7q38，所以a1a4a7a105，故选B.5B【解析】将展开图还原为几何体(如图

9、)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，正确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错故选B.6A【解析】由题意可知，双曲线1(a0，b0)的渐近线的倾斜角为30或60，则k，k或，则e，e2或.7D【解析】f(x)sin(2x)(0)图像向右平移个单位后得到的函数是g(x)sin，又g(0)sin1，得k(kZ)，k(kZ)，故选D.8A【解析】满足条件的正三角形ABC如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积

10、SABC4.满足到正三角形ABC的顶点A，B，C的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S阴影，则使取到的点到三个顶点A，B，C的距离大于1的概率P1，故选A.9D【解析】设四棱锥为PABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PAPBPCPD1的外接球的半径为R，过P作PO1底面ABCD，垂足O1为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，设球心为O，连接AO，由于AOPOR，AO1PO1，OO1R，在RtAOO1中，R2，解得R，V球R3.10A【解析】设直线l：2xy40.因为|OC|AB|d1，其中d1为点C到直线l的距离，所以圆心C的轨迹为以O

11、为焦点，l为准线的抛物线圆C半径最小值为d2，其中d2为点O到直线l的距离，圆C面积的最小值为.故选A.11B【解析】因为F(x)f(x)x1，且函数F(x)有2个零点，即f(x)x10有2个实数根，所以当x0时，令exx10，解得x0，此时只有一个实数根，当x0时，令f(x)x10，即x2(a1)x0，即xx(1a)0，此时解得x1a，要使得函数F(x)有2个零点，则1a0，所以a1，故选B.12D【解析】当xZ时，x1，f(x)xx1x1；当xZ时，令xna，nZ，a(0，1)，则n1，f(x)x1a(0，1)，因此f(x)x的值域是；0.9，1，1.1是等差数列，但1，2，2不成等差数列

12、；0.5，1，2是等比数列，但1，2，3不成等比数列；由前分析可得当xZ时，f(x)1；当xZ，xna，nZ，a(0，1)时，f(x)1a1(xn)n1x，所以f(x1)f(x)，即f(x)x是周期为1的函数，由于x(1，2)时f(x)2x，x，即一个周期内有一个根，所以若x(1，2 018)，则方程x有2 017个根正确，故选D.二、填空题13.【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为.143【解析】圆柱体体积公式Vr2h，而由题意有V(2r)2h，所以3.1530【解析】因为(1x)61(1x)6(1x)6，则(1x)6展开式中含x2的项

13、为1Cx215x2，(1x)6展开式中含x2的项为Cx415x2，故x2的系数为151530.165【解析】令正三角形边长为3，则(1，0)，设直线AB与OC的交点为点D，若xy，则xy1.又由线性规划知识知当P在C点时，xy有最大值，此时5，故xy的最大值是5.三、解答题17【解析】(1)由ABC是等边三角形，得，0，故2cos cos 2cos cossin，故当，即D为BC中点时，原式取最大值.5分(2)由cos ，得sin ，故sin sinsin cos cos sin ，7分由正弦定理，故ABBD1，9分故SABDABBDsin B1.11分18【解析】(1)依题意，a3a4a5，

14、6a5a3a4，则a5，a3a4，得，即6q2q10，解得q或q(舍)，所以q，a11，数列的通项公式为an.5分(2)设cn(bn1bn)an，数列的前n项和为Sn，则Sn2n2n，所以cn，解得cn4n1.7分所以bn1bn(4n1)2n1，故bnbn1(4n5)2n2，n2，bnb1(4n5)2n2(4n9)2n37213，9分设Tn3721(4n9)2n3(4n5)2n2，2Tn32722(4n9)2n2(4n5)2n1，所以，Tn342142n342n2(4n5)2n1，因此Tn(4n9)2n15，n2，又b11，所以bn(4n9)2n16.11分19【解析】(1)证明：该几何体的正

15、视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直且BC4，BA4，BB18，AN4，以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图则N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4)，C(0，0，4)，M(2，0，0)，P(0，0，1)，则(2，0，1)，设n2(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，则取n2(1，1，2)，n2(2，0，1)(1，1，2)0，又PM平面CNB1，MP平面CNB16分(2)由(1)可知平面C1的一个法向量为(4，0，0)，平面C1的法向量为n2(1，1，2)，则cos ，sin .12分【注】本题只给出向量

16、法，其他方法请参照标准酌情给分20【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是10.50.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P1C(10.5)20.53.4分(2)由题知，必须整改的餐饮店数服从二项分布B(5，0.5)从而的数学期望是E50.52.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P2(10.5)(10.8)0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P310.950.41.12分21【

17、解析】(1)由e，可设椭圆C的方程为1，点P满足|PF1|PF2|2a，等价于点P在椭圆上，1，a22，所以椭圆C的方程为y21.5分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220，则.7分设AOB的重心为G(x，y)，由，可得x2y2.由重心公式可得G，代入式，整理可得(x1x2)2(y1y2)24(x1x2)2k(x1x2)2m24，将式代入式并整理，得m2，10分则m211.又由0可知k0，令t0，t24t0，m21，m(，1)(1，).12分22【解析】(1)解法1：f(x)的定义域为(a，)，f(x)方程2x22ax10的判别

18、式4a28.()若0，即a0，故f(x)单调递增()若0，则a或a.若a，x(，)，f(x).当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)单调递增若a，x(，)，f(x)0，f(x)单调递增()若0，即a或a，则2x22ax10有两个不同的实根x1，x2.当a时，x1a，x2时，x1a，x2a，f(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，即f(x)在定义域上不单调综上：实数a的取值范围为a.6分解法2：很显然f(x)不可能有连续零点，若f(x)为定义域上的单调函数，则f(x)0或f(x)0恒成立，又f(x)2x，因为xa0，所以f(x)2a22a211，所以当a0时2x22ax10恒成立；()当a0时，a0，所以(2x22ax1)min1，所以10时2x22ax10恒成立，解得00.当a2时，函数g(x)ex在(2，)上单调递增，又g(1)0，故g(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1，0)，当x(2，x0)时，g(x)0，从而当xx0时，g(x)取得最小值g(x0)由g(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故g(x0)ex0ln(x02)x00，所以g(x)g(x0)0.综上，当a2时，g(x)0.12分