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1、闸北区2020学年度第一学期高三数学期末练习卷（一模）考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码3. 本试卷共有18道试题，满分150分考试时间120分钟一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分1已知，其中是虚数单位，那么实数 2已知的展开式中，的系数为，则 3设是公比为的等比数列，且，则 4设双曲线的右顶点为，右焦点为过点且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点，则
2、的面积为5函数则的值为6一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为 米（结果化简）7已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为8甲、乙、丙人安排在周一至周五的天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有 种9（理）设不等式的解集为，若，则 （文）若实常数，则不等式的解集为 10（理）设函数 则方程的实数解的个数为（文）设函数 则方程有实数解的个数为 二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答
3、题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11（理）曲线与直线有公共点的充要条件是【 】 A B C D（文）圆与直线没有公共点的充要条件是 【 】 A BC D12已知向量，满足：，且（）则向量与向量的夹角的最大值为 【 】A B C D13以下四个命题中，真命题的个数为 【 】集合的真子集的个数为；平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角；设，若，则且； 设无穷数列的前项和为，若是等差数列，则一定是常数列A B C D 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤14（本题满分12分，第1小题满分6分
4、，第2小题满分6分）已知函数，（1）请指出函数的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求的取值范围15（理）（本题满分14分） 如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区域之间设有米宽的非种植区已知种植区的占地面积为平方米，问：应怎样设计试验田的长与宽，才能使其占地面积最小？最小占地面积是多少？（文）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田内种植三种农作物，三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非
5、种植区已知种植区的占地面积为平方米（1）设试验田的面积为，求函数的解析式；（2）求试验田占地面积的最小值16（理）（本题满分15分，第1小题满分7分，第2小题满分8分）假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念，但还没有学习过对数的相关概念由指数函数在实数集上是单调函数，可知指数函数存在反函数，请你依据上述假设和已知，在不涉及对数的定义和表达形式的前提下，证明下列命题： （1）对于任意的正实数，都有；（2）函数是单调函数（文）（本题满分15分，第1小题满分9分，第2小题满分6分）设定义域为的奇函数在区间上是减函数（1）求证：函数在区间上是单调减函数； （2）试构造一个满足上述题意且在内不
6、是单调递减的函数（不必证明）17（理）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为（1）求椭圆的方程； （2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，满足，求的取值范围（文）（本题满分16分，第1小题满分7分，第2小题满分9分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点（1）求数量积的取值范围；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围18（理）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分） 若数列满足：对于，都有（常数），则
7、称数列是公差为的准等差数列如：若 则是公差为的准等差数列（1）求上述准等差数列的前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，试研究：是否存在实数，使得数列有连续的两项都等于若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由（文）（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列满足：对于，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列如：若 则是公差为的准等差数列（1）求上述准等差数列的第项、第项以及前项的和；（2）设数列满足：，对于，都有求证：为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列的前项和为，若，求
8、的取值范围闸北区2020学年度第一学期高三数学期末练习卷答案一、1； 22； 33； 4； 5； 6； 7； 820； 9； 10（理）；（文）2二、11C 12B 13B三、14解： （3分）（1），是非奇非偶函数 （3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如，不是奇函数 （2）由，得， （4分）所以即 （2分）15解：设的长与宽分别为和，则 （3分） （2分）试验田的面积 （2分）令，则， （4分）当且仅当时，即，此时， （2分）答: 试验田的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. （1分）16（理）证明：（1）设，由题意，有，（2分）所以， （3分）所以，即 （2分）（
9、2）当时，是增函数 证明：设，即，又由指数函数是增函数，得，即 （4分）所以，当时，是增函数 （2分）同理，当时，是减函数 （2分）16（文）解（1）任取，则由 （2分）由在区间上是单调递减函数，有， （3分）又由是奇函数，有，即 （3分）所以，函数在区间上是单调递减函数 （1分）（2）如 或等 （6分）17（理）解：（1）设，则有， （1分） （3分）由题意， （2分）所以，椭圆的方程为 （1分）（2）由(1)得，设的方程为， （1分）代入，得 （2分）设，则， 设的中点为，则， （2分），即 （2分）因为直线不与坐标轴垂直的，所以 （2分）17（文）解：（1）由题意，可求得， （1分）设，
10、则有， （3分） （2分）所以， （1分）（2）设直线的方程为， （1分）代入，整理得，（*） （2分）因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根设，中点为，则， （2分）线段的垂直平分线的方程为 （1分）令，则（2分）因为，所以即点横坐标的取值范围为 （1分）18（理）解：（1） （4分）（2）（） -得（） （2分）所以，为公差为2的准等差数列 （1分）当为偶数时， （2分）当为奇数时，解法一：； （2分）解法二：； 解法三：先求为奇数时的，再用求为偶数时的同样给分 （1分）（3）解一：当为偶数时，； （1分）当为奇数时， （1分）当为偶数时，得 （1分）由题意，有； （1分）或 （1分）所以， （1分）解二：当为偶数时，, （1分）当为奇数时， （1分）以下与解法一相同18（文）解：（1）， （2分） （4分）（2） -得 所以，为公差为2的准等差数列 （2分）当为奇数时，； （2分）当为偶数时， （2分） （3）解一：在中，有32各奇数项，31各偶数项，所以， （4分）， （2分）解二：当为偶数时， 将上面各式相加，得 （4分）， （2分）
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