泰勒公式课件PPT课件

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1、一、泰勒公式一、泰勒公式0 xx nf x P x0nx x当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0时，是比高阶的无穷小.附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0)附近的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式函数近似表示f (x)且当)(xPn0annxxaxxaxxa)()()(020201机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共49页012,naaaa首先首先确定多项式函数的系数假定f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到 0010200,1!,2!, !nnaf xafxafxn afx这样,对Pn(x) 求各阶导数,然后

2、分别代入以上等式得即得 (n+1)阶的导数，并且要求满足条件：, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn)( 0!212xPan, )(0 xf ,)(0)(!1xPannnn)(0)(xfn!21!1n)(00 xPan, )(0 xf)(01xPan, )(0 xf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共49页把所求得的系数代入得)(xPn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21 nnf xP xRx0nxx其次其次证明是较显然,Rn(x)在(a,b)内具有直到(n+1)阶导数，且据此重

3、复使用洛必达法则，可推得高阶无穷小)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共49页0)()(lim100nnxxxxxR0 xx0nx x时，是比高阶的无穷小.即当Rn(x)于是f (x)可表示)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共49页一、问题的提出1.1.设设)(xf在在0 x处连续处连续, ,则有则有2.2.设设)(xf在在0 x处可导处可导, ,则有则有 )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxf

4、xf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共49页xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 例如例如, , 当当x很小时很小时, , xex 1 , , xx )1ln(（如下图）（如下图）机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共49页不足之处不足之处问题问题:寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1、精确度不高、精确度不高2、误差不能估计。、误差不能估计。设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内具有直到内具有直到)1(

5、n阶导数阶导数, ,)(xP为多项式函数为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、nP(x)和和nR(x)的确定的确定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x,),()(且近似程度要好且近似程度要好若要若要xPxfn ?)(应应满

6、满足足什什么么条条件件xPn第8页/共49页设设 nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得 nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa ),(! 202xfa ,).(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(00 xfxPn 得得由由),()(0)(0)(xf

7、xPnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共49页三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: : 其中其中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x与与 x之间之间) ). . )()(!)()(!

8、 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共49页定理定理:泰勒泰勒(Taylor )中值定理中值定理),(bax有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则对于任一 )0(之间与在xx如果f (x)在含有点x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共49页特例特例:当 n = 0 时, 泰勒公式)(xf)(0 xf)(0

9、 xxf变成拉格朗日中值定理)0(之间与在xx公式称为f (x)按 (x-x0) 的幂展开的带有拉格朗日型公式 称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 .余项的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共49页拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即机动 目录 上

10、页 下页 返回 结束 第13页/共49页注注: :取取00 x, , 1.1.当当0 n时时, ,泰勒公式变成泰勒公式变成 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 10)1(00)(200000)(!)()(!)()(! 2)()()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf )10()(. 200 xxx又又 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共49页二、几个函数的麦克劳林公式二、几个函数的麦克劳林公式,0间之与在则x上述公式称为f(x)的麦克劳林麦克劳

11、林( Maclaurin)公式公式 .,00 x因此可令 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!) 1()()(nnnxnxfxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中取, ) 10 (x从而泰勒公式变为较简单的形式,即 )(xRn其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共49页xexf)(xe1x!33x!nxn!22x故!) 1( n) 10(1nxxe例例1:1:求函数解解: :因为的n阶麦克劳林展开式.所以 nxfxfxfxe， 00001.nffff机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共49页xxfsin)(xsinx!33x!55x! ) 12(1

12、2mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm令n=2m，于是有例例2:2:求函数解解: :因为的n阶麦克劳林展开式.所以 cos ,sin ,cos ,fxx fxx fxx 4sin ,sin,2nfxxfxx n 11sin,2nnfxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共49页! )2(2mxm类似地,可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx22x33xnxn)1ln(xx)(xRn其中)(xRn11)1 (1

13、) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共49页)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(!2 ) 1(! n) 1() 1(n以上介绍的几个函数的麦克劳林展开式，在应用中经常遇到，应该熟记！机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共49页三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式求较为复杂的函数的麦克劳林展开式或泰勒展开式 2cosf xx211coscos2 ,22xx例例3:3:求解解: :因为 又 的麦克劳林展开式.! )2(2

14、mxmxcos1!22x!44xm) 1(!)22(m)cos() 1(1xm) 10(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共49页 242211111cos12212222!4!2!mmxxxxm 所以221222cos22 !2mmxxm，mmxm212!)2(2x2cos故12! 22x4! 423xm) 1(!)22(m)2222cos(212mxm) 10(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共49页 0ln 11f xxx在1ln 1ln 21ln 2 12xxx所以 23111 111111ln2 ln 1ln2122223 22nnxxxxx

15、n 例例4:4:求函数 解解: :因为 处的泰勒展开式.22x33xnxn)1ln(xx11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共49页1111110112112nnnxnx ，即 21x2222) 1(xnnnx2) 1()1ln(x2ln111)1(21 ) 1(2) 1() 1(nnnnxxn) 10(1) 1(n3323) 1(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共49页例例 5 5 计算计算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxx

16、x )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 )241.(21)(2lim, 01cos)(lim20420 xxfxxxfxxx求求练习：练习：利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共49页2. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(xe例例5:5:利用的8阶麦克劳林展开式计算e的近似值,并估计误差.e11!31!1n!21!) 1(1n) 10(e解解: :

17、取n=8，进行计算得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共49页111 12.71829,2!8!e 581113 10 .9!9!Re 其误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共49页xy xysin 五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第27页/共49页xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第28页/共49页xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Tayloray

18、lor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第29页/共49页xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第30页/共49页xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第31页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第32页/共49页2 2. .T

19、Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第33页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第34页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第35页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第36页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第37页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思

20、想-局部逼近局部逼近. .第38页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第39页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第40页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第41页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第42页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第43页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第44页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第45页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第46页/共49页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第47页/共49页习题3-3（P91) 1(2)、2 第48页/共49页感谢您的观看！第49页/共49页