曲线坐标系最新课件

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1、曲线坐标系最新1. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA：标量标量：任一代数量任一代数量，只用大小描述的物理量。电压、电只用大小描述的物理量。电压、电流、电荷是标量。流、电荷是标量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用一个既有大小又有方向特性的物理量，常用 黑体字母或带箭头的字母表黑体字母或带箭头的字母表示示。电场磁场是矢量。电场磁场是矢量。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A矢量的几何表示矢量的几何表示曲线坐标系最

2、新注意注意：单位矢量不一定是常矢量。单位矢量不一定是常矢量。 常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 位置矢量：位置矢量：zeyexerzyx场矢量场矢量用坐标分量表示用坐标分量表示)()()()(rAerAerAerAzzyyxx变矢量变矢量：大小或方向会改变的矢量大小或方向会改变的矢量。 )()()()(rAerAerAerAzz)()()()(rAerAerAerArr曲线坐标系最新（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。为邻边

3、的平行四边形的对角线。2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB结合律结合律()()AB CA BCABBA交换律交换律（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量zzyyxxkAekAekAeAk曲线坐标系最新（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）cosA BAB A BB A1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B0BA/A BABxxyyzzA BA BA BA B 曲线坐标系最新（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAnABBAsinABBABA矢量矢量 与与

4、的叉积的叉积ABBAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAezyxzyxzyxBBBAAAeeeBA曲线坐标系最新0 xxeexyzeeexzyeeeyxzeee 0yyeeyzxeeezxyeeezyxeee 0zzee曲线坐标系最新（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积(1.1.7)(1.1.11)(1.1.12)(1.1.13)曲线坐标系最新

5、)()()(BACACBCBA(1.1.12)(CBAzyxzyxzyxCCCBBBAAAzyxzyxzyxCCCBBBeeeAzyxzyxzyxAAACCCBBB)(ACBzyxzyxzyxBBBAAACCC)(BAC曲线坐标系最新ddsind2rSrddsindrrS dddrrS dddsind2rrV 球坐标系球坐标系dsinrdddreererrzSdddzVddddzSddddddzSzeeerzdddd 圆柱坐标系圆柱坐标系1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系作业：作业：1.8，1.22计算沿逆时针圆周的线积分计算沿逆时针圆周的线积分曲线坐标系最新 三维空间任

6、意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条三条相互相互正交正交曲线曲线的交点来确定。的交点来确定。 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称为描述坐标轴的量称为坐标变量坐标变量。 1637年，笛卡尔年，笛卡尔(法国，法国，15961650)发表了发表了几何学几何学，创立了

7、直角坐标系创立了直角坐标系,为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分，为一大批数学家的新发现开辟了道路。一大批数学家的新发现开辟了道路。 曲线坐标系最新x yz odzrddxdy 1.2.1 直角坐标系直角坐标系 坐标变量坐标变量zyx,xzy坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee,zeyexerzyx位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量zeyexerzyxdddd)()()(dzedyedxedrzyxdzezeddyeyeddxexedzzyyxx)()()(r牛顿（1643-1727）英国莱布尼茨（1646-1716）德国曲线坐标系最新【例【例1】：求】：求xoy面上

8、圆心在坐标原点半径为面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。方向的的圆周曲线的线元矢量。xyre xe ycosxasinyaxydre dxe dysincosxye ade ad cos()sin()22xye ae addr的方向指向有向曲线的切线方向的方向指向有向曲线的切线方向xyrrda曲线坐标系最新x yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzrddxdy 线元矢量线元矢量zeyexerzyxdddddsxdsydsz面元面元zySxdddyxSzdddzxSyddd体积元体积元zyxVdddd坐标曲面：坐标曲

9、面：x=C1y=C2z=C3rdsxdsydszdxdy dz曲线坐标系最新 1.2.3 圆柱坐标系圆柱坐标系z,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量xyzoP(,z)z曲面曲面： =Const圆柱面圆柱面坐标曲面坐标曲面曲面：曲面： =Const半平面半平面z曲面：曲面： z =Const平面平面曲线坐标系最新 1.2.3 圆柱坐标系圆柱坐标系zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量坐标曲线坐标曲线曲线：曲线：曲面与曲面与z 曲面的交线曲面的交线曲面与曲面与z曲面的交线曲面的交线z曲线：曲线： 曲面与曲面与曲面的交线曲面的交线eeze单位切向矢量单位切向矢量 曲线：曲线：右手螺旋右手

10、螺旋xyzoPzeeze互相垂直互相垂直0zzeeeeeezeeeeeezeeez曲线坐标系最新zzAeAeAeAzzBeBeBeB)()()(zzzBAeBAeBAeBAzzBABABABAzzzBBBAAAeeeBA 圆柱坐标系下的场矢量圆柱坐标系下的场矢量AB曲线坐标系最新xyzor( )A reeAAzAzzAeAeAeAzeererererzzz),(zH2Ie曲线坐标系最新xyzoPzeeze 圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系圆柱坐标系与直角坐标系的变换关系22yx zz 0zcosxsinyzz xeeyecossinxee)2cos()2sin(yecossinyxeeexye

11、e2sincoseeexcossineeey是常矢量是变矢量和zeee0, 0arctan20arctan0,arctanyxxyxxyyxxy20曲线坐标系最新右手螺旋右手螺旋xyzoPzeezexyee2sincosyxeeecossinyxeeesinxeecosyeeeeeeyxsincos0zee0zee 圆柱坐标系的微分圆柱坐标系的微分 （拉梅系数、线元、面元、体积元）（拉梅系数、线元、面元、体积元）曲线坐标系最新zeerz位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量)sincos(yxeezezyexeyxzez)()(zededrdzdzezeddeedzz)()(dzededez0zee

12、eedzzededeedzeeerzdddd曲线坐标系最新dxyzdd线元矢量线元矢量zeeerzdddddze)(tr)(dttrd)(tr),(z)(dttr),(dzzdd曲线坐标系最新dxyzed线元矢量线元矢量zeeerzdddddze曲线坐标系最新zllSzdddddzVdddd体积元体积元面元面元zllSzddddddddddllSz拉梅系数拉梅系数1ddhddh1dzdzhz 圆柱坐标系的微分圆柱坐标系的微分 （拉梅系数、线元、面元、体（拉梅系数、线元、面元、体积元）积元）zeeerzddddddzd曲线坐标系最新xyzoadSS例例2：对半径为：对半径为a高度为高度为h的圆的

13、圆柱表面积分柱表面积分321SSz)d,f(z)d,( fSSSS321z)d,f(z)d,f(z)d,f(SSSSSSdd,0),f(200addh),f(200az)adzd,f(020ah1S3S2Sdzad h020例例1：求半径为：求半径为a高度为高度为h的圆的圆柱侧面的面积。柱侧面的面积。ah2曲线坐标系最新e ad例例3：xoy面上圆心在坐标原点半径为面上圆心在坐标原点半径为a沿着逆时针方沿着逆时针方向的的圆周曲线的线元矢量。向的的圆周曲线的线元矢量。xrrdyzeeerzdddd2IeF曲线坐标系最新例例4： 沿着沿着xoy面上以原点为圆面上以原点为圆心半径为心半径为a的的逆时

14、针圆周的第二型曲线积分。的的逆时针圆周的第二型曲线积分。xrrdyFIeF，求已知2l dFCadeaIe220I曲线坐标系最新1.2.3 球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rPreee),(rP曲线坐标系最新球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP =C半平面半平面曲线：曲线： 曲面与曲面与 曲面的交线曲面的交线曲面与曲面与r曲面的交线曲面的交线曲线：曲线： r曲面与曲面与曲面的交线曲面的交线r曲线：曲线：互相垂直成右手螺旋

15、互相垂直成右手螺旋xyzoPrreeeeeer,曲线坐标系最新 =C半平面半平面xyzoPrreeer0cossinrx sinsinry cosrz 222zyxr)arccos(222zyxz00, 0arctan20arctan0,arctanyxxyxxyyxxy20曲线坐标系最新cossinyxeee =C半平面半平面xyzoPrreee)2sin()2cos(yxeee曲线坐标系最新xreeyecossinsinsincoszesinsincoscoscoszyxeeeexyzoreesin cos 球坐标系与直角坐标系的变换关系球坐标系与直角坐标系的变换关系球坐标系球坐标系0（半

16、平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),(000rP/2+ =C半平面半平面xyzoPrreee)2cos(sin)2sin(cos)2sin(zyxeeee曲线坐标系最新cossinsincossinzyxreeeesinsincoscoscoszyxeeeesinsincossincosyreeee是变矢量和、eeercossinyxeeesincoseeerz0rerresinsincoscoscoszyxeeeerecossinsinsinyxeesinesincoscoscossinxreeee球坐标系球坐标系0（半平面半平面）0（圆锥面圆锥面）0rr （球面球面）),

17、(000rP曲线坐标系最新eersineer0rer0rereecosee0re0ecossineeer =C半平面半平面xyzoPrreee曲线坐标系最新rerr位置矢量位置矢量线元矢量线元矢量dsinrdddreererr)(dredrrdreredrr)(rdededrrerrr)(rdede)sin0(drerdedrersindrer拉梅系数：拉梅系数：1drdrhrsinsinrddrhrdrdhrdeersinree0rerdrsinrd曲线坐标系最新ddsinddd2rllSrddsindddrrllSrdddddrrllSrdddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量

18、dsinrdddreererr线元矢量线元矢量rddrsinrd曲线坐标系最新AeAeAeArrBeBeBeBrr)()()(BAeBAeBAeBArrrBABABABArrBBBAAAeeeBArrr 球坐标系场矢量球坐标系场矢量204)(rqerEr曲线坐标系最新例：坐标原点处有以带电量为例：坐标原点处有以带电量为q的点电荷，它产生的电场的点电荷，它产生的电场为为 ，一单位正电荷沿着半径的方向从半，一单位正电荷沿着半径的方向从半径为径为r1的球面运动到半径的球面运动到半径r2的球面，求电场力做的功。的球面，求电场力做的功。20( )4rqE rer02111()4qrr 1r2rsinrdle dre rde rd l drEuPP)(1P1P20421rqerrrdrer曲线坐标系最新例：以坐标原点为球心半径为例：以坐标原点为球心半径为a的球，求：（的球，求：（1）球）球面的面积；（面的面积；（2）球体的体积。）球体的体积。200 2sinad d 24 aVVdV2sinrdrd d 2000a 343aarSdSS球