2020届高三数学上学期第一次月考试题(含解析)

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1、学2020届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合A. BB.晚豳则L =(DJ【答案】B【解析】故选B.2.若 上,则f的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】 直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】 0a= 产二：口 b = log0.51.2 1.20 = 1,bac c.故选：C.【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数 函数的单调性，是基础题.3I11%3.已知复数对应复平面上的点三，复数 满足,，则()A. B.图 C.1小 D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用复

2、数代数形式的乘除运算化简求得 z2,再求模长即 可.【详解】由已知可得z1 = 1+i,|z2K.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求 法，是基础题.4.函数一卜瓦-旬的值域是（）A. / B.C.2叱 D, *【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形 式，然后求解函数的值域.【详解】因为函数 y = cos2x+sin2x =cos2x cos2xcos2x .因为 x W R,所以 cos2x 1 - 1 ,泗卜所以 c cos2x W 0 ,1.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，二倍角的余弦函数的 应用，求三

3、角函数的值域是解题的关键，考查计算能力.tt r D5 .函数的大致图象为（）9111=1ieRA.B.邮I仙MD.C.【答案】B【解析】【详解】由,所以函数版d为奇函数，图象关于原点对称，又以一4一4鼎，所以函数的图象应对应选项B,故选B.6 .下列命题中正确的是（）A.函数5#*七*的图象恒过定点B. E, h”是砥、5”的充分必要条件C.命题“若-，则“。或的逆否命题为“若,或 a,则，HiD.若*【答案】D【解析】【分析】由指数函数过定点判断A；利用基本不等式判断B,利用逆否命题 判断C,构造函数判断D【详解】对A,因为A1恒过（0,1）,故函数的图象恒过定点101=0,故A错误；对B

4、,而匚。的充分必要条件是口则叫 故B错误；对C,命题“若=上户,则6。或的逆否命题为“千且a,则，8 = n八，取C错误；对D,令双，则,易得函数为单调递减 函数,故|至底|,则D正确故选：D【点睛】本题考查命题真假，熟练掌握函数单调性，基本不等式，逆否命题等知识是关键，是中档题7.已知RR内角力八0的对边分别为.，若此布，则反为的形状是（A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理将W中化边代入，结合g然求解即可【详解】由题当4一*历，三角形邺直角三角形当与一芳一，则Oa，a0,又吟诬,则三角形为等腰 三角形故选：D【点睛】本

5、题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是易错题8.函数上3一户3(),满足上,且对任意乱都有A.比,则以下结论正确的是B.C. Q4TBD. o【解析】【详解】解：函数f (x)满足一, . f x关于点(,0)对称,且对任意x W R,都有.及”是f (x)的对称轴,令 x=0,得 f （0） = asin0+bcos0 =b = f （*-） =0,，b=0, f （x） = asin 3 x,A 正确；f X）是定义域R上的奇函数，B错误；可得aw0,b = 0, a产肺工b, C错误；由题意，3 = 6k+3, kWZ,昔误；综上，正确的结论是A.故选：

6、A.9.若不等式组（世为常数），表示的平面区域的面积8,则飙力的最小值为（）A. 1 B. ? C. D. 2【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的（a为常数）表示的平面区域，根据目标函数z=x2+y的几何意义是曲线y= x2+z与y轴交点的纵坐 标，利用数形结合可以得到答案.C【详解】满足约束条件的可行域如下图所示，若可行域的面积为8,则a = 2设 z = x2+y由图可得当z=x2+y与直线 却 相切时z最小，联立两曲线得x2-x-z=0, v ，得摩卜）此时J，丫门,故x2+y取最“古掘小值,故选：B.【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条 件对应的可行域是解答本题的

7、关键.10.已知函数4dd在区间，.手上满足 三 ,且*=.设,则当朋2时，下列不等式成立的是（）A.第庐 B. X-1 C.林帆 D.不能确定【答案】A【解析】【分析】求导数，利用f (x) +f xQ 0,可得F (x) =exf (x)的单 调性，根据0VxF (阳)，即可得 出结论.【详解】令 F (x) =exf (x) ,，F xX =exf (x) +f (x);又: f x) +f x0 0, F xl 0, F x)是(0, +)上的减函数；令0VxF (耐)，可得f (x)工吟出，HP pi下面证明：,即证明Tx+2lnx0,unff令 g (x) UQx+2lnx ?则：

8、g X) ，0, g (x)在(0, 1) J, g (x) g (1), 即犯 .xf x)珈f (词)，即好声故选：A【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性， 考查大小比较，正确构造函数求号是关键.二、填空题。11 .在几句中，后皿，“min,忙一匚，一,则闻的最小 值为,又若则一最.【答案】(1). H (2).【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算飞，将其转化为有关 于g的二次函数的最小值，可得出 以2的最小值，由9.、,得 出这口. A ,利用平面向量数量积的运算律和 定义可求出实数工“的值.【详解】?因为,所以所以当g a时，I取最小值;*,解得就”故答

9、案为：的J【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算以及垂直向量数量 积的转化，解题时应充分转化为平面向量数量积，考查运算求 解能力，属于中等题.12 .已知函数与式至3)= 3,则函数也W的增区间是最小值是【答案】 .(2). 4【解析】【分析】去绝对值分段，得的解析式，则增区间和最小值可求【详解】易知 *,则函数的增区间是 弋血乜，又，仅卜工i，则函数的最小值为4故答案为k弧、；4【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数增减性及最值, 是基础题13 .若锐角满足=,则,、;函数的单调增区间为.【解析】【分析】 根据题意由同角三角函数和二倍角求出 力的值，利用降曷公式 化简函数f (x),再求出

10、它的单调增区间.【详解】锐角（）满足sin （1）- co少（）,/. 1 2sin （）COs,（j）j=l，sin2 ； 又 sin ()f (tfl 岫一2 1解得小）； ，函数f (x) =sin2 (x+()Hos巴,/. 2k % 2x1)2k % +% , kWZ;解得k同xw k兀,kWZ；(kWZ).，f X）的单调土f区间为k争，k兀 故答案为解金【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，准确 利用三角变换化简是关键，是中档题.14 .已知函数而布十加1,若好打/也则有 个零点脚【答案】（1）.1或域7（2）. 4【解析】【分析】分情况讨论泄M正负解方程即可求解鞭此

11、则其乘积可求，利用换 元法结合内外层函数求解根的个数即可【详解】当用帅均大于0,则尸（弓女或或 或尸。）=4或M啊此时1或小当那均小于0,不合题意舍去.又令Q/ ,故 2或1解得E%4则改衣刈与E力田交点个数分别 明个,0个,3个,综上有4个零点脚!故答案为1或4或屋；4【点睛】本题考查分段函数及性质，函数的零点，注意函数复合的应用，是难题15 .已知函数 4 2 则不等式 *，的解集是.答案【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再构造函数解不等式即可【详解】 -故Ed为奇函 数，且单调递减，则令晟萍眄萍眄7,故工薄热萍热节为奇函数且 单调递减，故 W等价于-=,即一三，即3.3 :工强

12、眄,解得方=(A)故答案为 口)【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，准确判断 144的奇 偶性和单调性，构造新函数是关键，是中档题16 .已知删嘟为正实数，且,则电”的最小值为【答案】9【解析】【分析】将(4通分整理代入所求式子，配凑基本不等式形式求解即 可【详解】则“&且/号则q坳2当且仅当网等号成立故答案为9【点睛】本题考查基本不等式求最值，将条件灵活变形是关 键，是中档题17 .已知是平面上两个定点，平面上的动点 心人满足 人4一口，若对于任意的代卜他不等式恒成立，则 实数3的最小值为 .II【答案】以【解析】【分析】建立坐标系，得点心卜的轨迹方程，分离参量求范围即可求解【详解】不妨设

13、“?W,以A为原点，AB所在直线为x轴建立 直角坐标系，则Tv“-1 ,故动点小的轨迹为圆，由人工；恒成立，则1jc0 I2标36(2)若比吁刖网;而牛心西(LO) SD!-=-()椒则1的最小值为吗当 “时，g严联时，取得最小值。【点睛】本题考查向量的数量积，模长夹角运算，其中模长最 值是易错点，是中档题20 .已知锐角国为中，角 4 的对边分别为。=犯，向量/=内?加4中醛叶券且一(1)求角一；Jr(2)求丁的取值范围.V【答案】(1) h ； (2)【解析】【分析】(1)由力亭结合二倍角公式求解即可；(2)利用正弦定理边 化角，再利用内角和为此，结合三角变换化为F的函数求解即可 详解】(

14、1).卬地，:由锐角2故产CDl JC=CI JgQJff”词为锐角三角形,则(n0 13j故一丁的取值范围是【点睛】本题考查数量积垂直的坐标运算，三角恒等变换，及 正弦定理，准确计算是关键，是中档题21 .已知函数(1)当也，；鹫时,若存在实数曲,当 神C时,恒成立, 求实数w的最大值。(2)若对任意出雅，总存在唯一，使得成立.求实数，的取值范围.【答案】(1) 4; (2)皿或题【解析】【分析】(1)不等式物恒成立，转化为/ /(50)恒成立，换元转化为二次函数求最值即可求解；(2)对火附论求(=值域，由44d的值域为1=值域的子集，利 用集合的包含关系列不等式求解即可【详解】(1) ，二

15、.存在实数，当时，金后恒 成立；即那恒成立.()恒成立.设当於:，则即B6E川甩川，且dx4，二实麹幡最大值是4。-点 VaVl也.q = o;函数，的值域为/飞其次，由题意知： = (%(%(%吩(2,且对任意砸岫蚪,总存在唯一 ER ,使得5(T*河.以下分三种情况讨论：当方叫寸，则,解得皿；二6 -124)当/时，则”句，解得一：;c-2 也二口当C 一上时，则或16 12 ，解得U；综上：a的取值范围是a2或aL【点睛】本题考查二次函数不等式恒成立问题，双变元问题，注意题目的等价转化是关键，是中档题22 .已知函数, y.(1)若变与如0的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程；工 叵

16、(2)若阳为整数，且叩A三恒成立，求阳的最小值.【答案】(1) *物拗”；(2) 2【解析】【分析】(1)设公共点为，利用切线斜率相等，及点在两个函数上列蛔方程组求解即可求解切线方程；(2)分离参数 代叫 构造函数求最值即可求解36_【详解I设公共点为“ft,则有2 13 ,解得网嘲，故切线方程是用一厂:5k万恒成立，.w.3 MMM恒成立邮W照恒成立，令人阳邛丽丽画 ，3Gno /M昨酬? ?川，”川单调递增,5 4?所以存在，/3使叩咽K,所以邛愣在的配上单调递增，在打单调递减,因为贴为整数，所以阳的最小值为2.【点睛】本题考查与数的几何意义，利用与数解决不等式恒成 立问题，函数最值问题，

17、准确转化是关键，是中档题学2020届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合，“跄百 E,则,=（）A. ? B. 画9 C.例力 D. I I【答案】B【解析】隼例12-21故选B.2 .若，则S的大小关系是（）A.【答案】CC.D.【解析】【分析】直接利用对数函数和指数函数的单调性求解.【详解】V 0=, b = log0.51.2 1.20=1,二 ba c.故选：C.【点睛】本题考查对数值大小的比较，考查了对数函数和指数函数的单调性，是基础题.3.已知复数对应复平面上的点 二,复数满足，则上卜.（）L4,J卜臼

18、 口 A.B. C.J D.L .【答案】A【解析】【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z2,再求模长即可.【详解】由已知可得z1 = 1+i,I i |z2|故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.4 .函数r J 1 G二卜”词的值域是（）A,， B./Q） C. *伴用 D. K【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解函数的值域./（X）神麻【详解】因为函数 y= cos2x+sin2x =cos2x cos2x cos2x .因为x C R,所以 cos2x C 111,泮卜所以 c

19、 cos2xC0,1.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，二倍角的余弦函数的应用，求三角函数的值域是解题 的关键，考查计算能力.5 .函数的大致图象为（）而TxeKA.B.（g（j=|C.D.【答案】B【解析】【详解】由 R G ,所以函数4 %”为奇函数，图象关于原点对称，点扇或-或4又，所以函数的图象应对应选项B,故选B.6 .下列命题中正确的是（）A.函数1c的图象恒过定点一8. E , h ”是“ ”的充分必要条件c.命题“L 科,则11at或一尹的逆否命题为“若或Q ,则（O,-B-ddJD.若1 h，则2【答案】D【解析】【分析】由指数函数过定点判断A；利用基本不等式判断

20、B,利用逆否命题判断C,构造函数判断D【详解】对A,因为工二1包过（0,1）,故函数的图象恒过定点 叫,故A错误；对B,蹴匚a的充分必要条件是口则叫故b错误;对C,命题“若#,则履工优或时力”的逆否命题为“若e且上E ,则 ，（今Tf,9错误；TE,易得函数为单调递减函数，故对D,令m ，则 工小小A,则D正确故选：D【点睛】本题考查命题真假，熟练掌握函数单调性，基本不等式，逆否命题等知识是关键，是 中档题7.已知L2内角1*=的对边分别为中，若 月 三，政一邨i,则ILN的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理

21、将呻闻/化边代入，结合破一4“求解即可【详解】由题当三角形直角三角形当方一衣一，则A、，又g3则三角形为等腰三角形 故选：D【点睛】本题考查余弦定理，注意角化边的应用，是基础题，注意等式两边不能随便约分，是 易错题【解析】【详解】都有,则以下结论正确的是B. CLKJfic. A / D. Q1解.函数小）满足三f （x）,0）对称,都有工self.严”是f （x）的对称轴,)=0,nW令 x = 0,得 f (0) = asin0+bcos0 = b= f (. .b=0, f (x) = asin cox,A 正确; f X）是定义域R上的奇函数，B错误;可得 aw0,b = 0, ab,

22、 C 错误；由题意，= 6k+3, kCZ, .昨昔误；综上，正确的结论是A.前9.若不等式组故选：A.（贴为常数），表示的平面区域的面积8,则2t力的最小值为（C. D. 2【答案】B【解析】【分析】画出满足条件的(a为常数)表示的平面区域，根据目标函数 z = x2+y的几何意义是曲线y= x2+z与y轴交点的纵坐标，利用数形结合可以得到答案.【详解】满足约束条件的可行域如下图所示,若可行域的面积为8,则a = 2设 z = x2+y由图可得当z=x2+y与直线 .1/()= 此时 1=5得，此时x , V.相切时z最小，联立两曲线得x2-x-z=0, ,故x2+y取最小值加,【点睛】本题

23、考查的知识点是简单线性规划，其中画出约束条件对应的可行域是解答本题的关 键.10.已知函数在区问尸=/(上满足，且.设,则当何=*1+网时，下列不等式成立的是(A.则-丙 B. d C.壮阳叫D.不能确定【答案】A【解析】【分析】求导数，利用f (x) +f x0 0,可得F (x)=exf (x)的单调性，根据0x1,x2x ?由已知F (x),即可得出结论.【详解】令 F (x) =exf (x)，.二 FxX = exf (x) +f x0 ； 又f x) +f x。0, . F xl 0, F仅)是(0, +00)上的减函数;IJ)由Y= |H令 0VxF (),可得 f (x).f(

24、),HP 阳卜面证明：，即证明 x+2lnx0,令 g (x)的x+2lnx,则:g x)0, g (x)在(0, 1) J , g (x) g (1),-.xfj，洲故选：A【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查大小比较，正确构造函数求 导是关键.二、填空题。11 .在ILN中，, 一,则以2的最小值为 ,又若f ,则一；：.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算 工，将其转化为有关于工“的二次函数的最小值， 可得出2x2的最小值，由,得出W!,利用平面向量数量积的运算律和定义可求出实数的值.【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算以及

25、垂直向量数量积的转化，解题时应充分转化为 平面向量数量积，考查运算求解能力，属于中等题.12 .已知函数 .（方一斗）=03 ,则函数中1的增区间是,最小值是【答案】（1）.马吟 （2）.4【解析】【分析】去绝对值分段，得一的解析式，则增区间和最小值可求【详解】易知,则函数的增区间是天=的珞，又“；q工，则函数的最小值为4故答案为用二血；4【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数增减性及最值，是基础题【分析】根据题意由同角三角函数和二倍角求出小的值，利用降幕公式化简函数f (x),再求出它的单调增区间.【详解】锐角小满足sin小-cos小i=l12sin （|）cos（|） ,sin2 (|)

26、；又sin小 解得幽 函数f （x） =sin2 （x+小）2k：t 024M36若(2)右贝严中的最小值为刎捐时,即仅椒时，取【点睛】本题考查向量的数量积，模长夹角运算，其中模长最值是易错点，是中档题20.已知锐角回句中,角的对边分别为0 = 3.，向量，必Mod9 ,且会（D求角；的取值范围.1)；(2)【解析】【分析】（1）由E半结合二倍角公式求解即可；（2）利用正弦定理边化角，再利用内角和为 配，结 合三角变换化为尸的函数求解即可一详解】（1）三咚 5 =5，右，由锐角LN故9刊中可为锐角三角形，则心JF3JTJT工8 ,所以故二的取值范围是【点睛】本题考查数量积垂直的坐标运算，三角包

27、等变换，及正弦定理，准确计算是关键，是 中档题21.已知函数,L .句（1）当仪性时，若存在实数支当C时，上SW恒成立，求实数口的最大值。（2）若对任意1co曲，总存在唯一，使得成立.求实数彻的取值范围.nr【答案】(1)4; (2)或1Ml【解析】【分析】（1）不等式工邱恒成立，转化为士 （X。）恒成立，换元 转化为二次函数求最值即可求解；（2）对相讨论求=值域，由$44的值域为1=值域的 子集，利用集合的包含关系列不等式求解即可【详解】（1） ,.存在实密，当X51c时，恒成立；即 K&E恒成立. 包成立.设，斜斜:，则 JUtJP-KT皿”3,且 L5T一，.二实弊心最大值是4。-0 a

28、l 5亚 口 = 0函数,.的值域为可当其次，由题意知：二（闻，3342,且对任意电忒帖画，总存在唯 uD，使得5.以下分三种情况讨论：当时，则；=GTS）时，则c = 2 &/-占12时，则或16 12,解得综上：a的取值范围是a&2或a【点睛】本题考查二次函数不等式包成立问题，双变元问题，注意题目的等价转化是关键，是中档题22.已知函数,二，(1)若三等亘与,乐透的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程; B /sm =(2)若心为整数，且 f2包成立，求他的最小值.【答案】(1) 1酎徇*38； (2) 2【解析】【分析】(1)设公共点为，利用切线斜率相等，及点在两个函数上列方程组求解即可求解切线方程;(2)分离参数构造函数求最值即可求解,故切线方程是1人他味03%=o /MRt=/SFS令，人的普派+而+删令、，口 JJJlj单调递增,36. 卬2=【详解】(i)设公共点为式f-：,则有13 ,解得工. 克,f. 阜上+生礴，瓢，能，物.叩53 x元恒成立，.川琳何一丽 .恒成立 = 9 =以甘=义54*0 ,所以存在所以叫醒在叱：上单调递增，在时整中;单调递减,因为用为整数，所以胴的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数解决不等式包成立问题，函数最值问题，准确转 化是关键，是中档题