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1、2016艺体生文化课-百日突围系列专题15 抛物线抛物线的定义与标准方程【背一背基础知识】1 .抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l (点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线 l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：MF =d (其中d为点M到准线的距离)标准方程2.抛物线的标准方程图 形p的几何意义：焦点 F到准线l的距离【讲一讲基本技能】2 .必备技能：(1)抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等；(2)求抛物线的标准方程时，应从“定形”“定式
2、” “定量”三个方面去思考.“定形”就是指抛物线的顶点在原点， 以坐标轴为对称轴的情况下， 能否确定抛物线的焦点在 x轴的正半轴、负半轴上，还是在y轴的正半轴、负半轴上.“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式，若焦点在x轴正半轴上，则设方程为y2 =2px( p0)；若焦点在x轴负半轴上,则设方程为y2 =2px( p 0)；若焦点在y轴正半轴上，则设方程为 x2=2py(p0)；若焦点在y轴负半轴上，则设方程为x2=-2py(pA0 ).“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数 p.3 .典型例题例1设抛物线的顶点在原点，准线方程x =2,则抛物线的方程是()2222_A. y
3、= -8xB. y = MxC. y =8xD. y =4x2例2抛物线y =2px(p 0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1Up=例3已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2),求|PA| 十|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.【练一练趁热打铁】已知F是抛物线丫2=乂的焦点,A, B是该抛物线上的两点,|AF| 十|BF| =3,则线段AB的中点到y轴的距离为7D- 43A. 4B. 12. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
4、点O,并且经过点 M(2, yo).若点M到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM| =()A. 2啦B. 273C. 4D. 2混3. 已知点A(2,0),抛物线C: x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点 N ,则|FM | ： |MN |=()A. 2：粥B.1：2C. 1：V5D.1：34. 设O是坐标原点，F是抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正方向的夹角为60,则A OAF的面积为()A. 2B. 2C. V3D. 15. 已知正六边形 ABCDEF的边长是2, 一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是()A.
5、乎B.当C.小D. 2小6. 已知抛物线 C: y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C与直线l1 ： y= x的一个交点的横坐 标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线12与li垂直，且与抛物线交于不同的两点A, B,若线段AB的中点为P,且|OP|= |PB|,求 FAB的面积.抛物线的几何性质【背一背基础知识】抛物线的几何性质标准方程9O02y =2px p 02y - -2px p 0= 2py p 0x2 = 2 py p 0p的几何意义：焦点 F到准线1的距离几 何 性 质顶占八、0(0,0)开 口 方 向向 右向左向上向下范 围X 0 ,且 y W Rx 0 ,且 x
6、E Ry 0)的焦点，交抛物线于 A(X1, y1)，B(X2, y2)两点，如图.2 yy2= p2, X1X2 = +；|AB| = X1 + X2+p, X1 + X2AMX1X2= p,即当 X1 = X2 时，弦长最短为2p； 弦长AB =sin27( a为AB的倾斜角);以AB为直径的圆与准线相切；焦点F对A, B在准线上射影的张角为 90.2.典型例题例1已知抛物线y2 = 2px( p A 0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为()A. (-1,0) B . (1,0) C . (0, -1) D . (0,1)例2若抛物线y2= 2px的焦点与双曲线Xr-1的右焦点
7、重合，则 p的值为.63例3抛物线x2 = 2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线X4=1相交于A, B两点，若 ABF 33为等边三角形，则 p=.例4定义：曲线 C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线 C到直线l的距离.已知曲线 C1： y=x2 + a到直线l： y=x的距离等于曲线 C2： x2+(y+4)2= 2到直线l： y=x的距离，则 实数a=.【名师点评】把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题.最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元.如本题，读懂新定义的含义，再依题干中所含的等式，即可找到关于
8、参数的方 程，即可破解此交汇性试题.【练一练趁热打铁】221 .已知双曲线 y-=1的一个焦点与抛物线 x2 =4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是a2 b2虚轴长的一半，则该双曲线的方程为()2222252dx yy x252dA. 5y - x =1 B, 一匚=1 C. -=1 D. 5x - y =14545442,已知圆C的圆心与抛物线 y2=4x的焦点关于直线 y=x对称，直线4x3y 2=0与圆C相交于A, B两点，且|AB|=6,则圆C的方程为 .223.抛物线C的顶点在原点，焦点 F与双曲线 -y- =1的右焦点重合，过点 P(2,0)且切 36斜率为1的直线l与抛物线 C交于
9、A, B两点，则弦 AB的中点到抛物线准线的距离为4.抛物线丫=*2（4*3 3）绕丫轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体 ，在此旋转体内水平放入一个正方体，该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是.力一J当其身就（一） 选择题（12*5=60分）21 .如图，设抛物线y =4x的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B, C,其中点A, B在抛物线上，点 C在y轴上，则ABCF与AACF的面积之比是（ ）A.BF -1AF -1B.BF 2 -12AF -1C.BF 1AF 1D.BF 2 +12AF +12.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点
10、,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于(A. 10B. 8C.D. 423.已知抛物线 x =-4y的准线与双曲线2匕=1（a a 0,b 0）的两条渐近线围成一个 b等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（A.2B. 24.已知抛物线y2=2px（p0）的焦点FC.西2恰好是双曲线羯a2走=1的右焦点，且双曲线过点3a2P2b2P线 的 离 心 率 是A.B.10C.D.,2645.已知双曲线=1 (b 0)的一条渐近线为y =2x ,且右焦点与抛物线= 2px (p 0)的焦点重合，则常数p的值为A.,3. 2,3,2.56.已知x轴上一点M (m,0 )抛物线= 16x上任意一点N
11、,满足MN之m ,则m的取值范围是A.B.C. 0,8 D. 0,87.已知抛物线= 4、/3y的准线过双曲线2x 2-y2 =1的一个焦点, m则双曲线的离心率A.3x24bT2c.3D.8.过抛物线=4x的焦点的直线交抛物线于B两点，点O是坐标原点，若| AF |= 5AOBA.l2 X5 B. 一2109.圆心在抛物线C.17D8= 2y(x0)上，并且与抛物线的准线及A.x?+ y? x 2y+ 1 = 0y轴都相切的圆的方程是(B . x2+y2 2x y+1 = 0C. x2+y2x2y+2= 04D. x2+y2 2x y + -1= 0222x y10.若抛物线y =2px的焦
12、点与双曲线 一-匚=1的右焦点重合，则p的值为()22A. -2B. 2C. 4D. Y211.抛物线y = x2上的任意一点到直线 x-y-2 =0的最短距离为()7 2- ，A. 72B. C. 2V2D,以上答案都不对212.如图，F是抛物线E : y =2px(p A0)的焦点，A是抛物线E上任意一点.现给出下列四个结论：以线段AF为直径的圆必与y轴相切； 当点A为坐标原点时，|AF|为最短;若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线 AB过焦点F时, |AF|+|BF|取得最小值；点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点(A)(B)C 的
13、横坐标亦成等差数列.其中正确结论的个数是()(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个(二) 填空题(4*5=20分)13若抛物线y2 =2 px( p 0)的准线经过双曲线 x2 - y2 =1的一个焦点，则 p=. _2_ _ _ _14.已知点F为抛物线E: y =2px(p A0)的焦点，点A(2, m)在抛物线E上，且AF=3.则抛物线E的方程为 .2215.已知双曲线 2-r=1(a0,b0 )的两条渐近线与抛物线y2 =2px( p0)的准线a b分别交于 A,B两点，0为坐标原点.若双曲线的离心率为2, AAOB的面积为 J3 ,则P ).2216.平面直角坐标系xoy中，双曲线Ci: x2-匕=1(a 0,b A0 )的渐近线与抛物线 a b一 2C2 : X2 =2py( p0 )交于点0, A,B ,若AOAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.
高考数学专题15抛物线(基础篇)原卷版缺答案
