一次函数及几何图形综合专题

《一次函数及几何图形综合专题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一次函数及几何图形综合专题（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、-?一次函数与几何图形综合?专题总论：函数与几何是初中数学中的重点容,是中考命题重点考察的容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考察学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题这类问题不妨称简称为“几函问题，这类问题的特点是：根据几何图形间的位置和数量关系如平行、全等、相似，特别是成比例建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决

2、几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题如三角形、四边形，特别是圆这类问题不妨简称为“函几问题，这类问题的特点是：根据函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。1.代数1表达什么函数包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义2显现怎样的图形自身、与坐轴、与其他图形 3既是一个方程，也是一个坐标 4藏有那些数据，含有什么些关系 5要建立*种代数关系缺少那些数据2.几何1根本图象有几个 2图象之间有怎样关系 3图象与所要证明求解的结论怎样的

3、关联4要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据3.代数与几何1代数几何在那些地方为几何代数提供了怎样的数据2几何代数通过什么方式为几何代数提供关系式3怎样设数据坐标或线段长函数与几何综合题的解题思想方法：“函几问题与“几函问题涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、构造新颖灵活、注重根底能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学根本功，能从所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的根本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种：1. 综合使用分析法和综合法。就是从条件

4、与结论出发进展联想、推理，“由得可知，“从要求到需求，通过对问题的“两边夹击，使它们在中间的*个环节上产生联系，从而使问题得以解决。2. 运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组；3.注意使用分类讨论的思想函数方法。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题函数与几何结合的综合题中往往注意考察学生的分类讨论的数学思

5、想，因此在解决这类问题时，一定要多一个心眼儿，多从侧面进展缜密地思考，用分类讨论的思想探讨出现结论的一切可能性，从而使问题的解答完整无遗。4.用数形结合的思想。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用在中学数学中，“数与“形不是孤立的，它们的辩证统一表现在：“数可以准确地澄清“形的模糊，而“形能直观地启迪“数的计算；使用数形结合的思想来解5.运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决这类问题时，要善于把“新知识转化为“旧知识，把“未知化为“，把“抽

6、象的问题转化为“具体的问题，把“复杂的问题转化为“简单的问题，可以大胆地说，不掌握转化的数学思想，就很难正确而全面地解决函数与几何结合的综合问题。知识规律小结 ：1常数k，b对直线y=k*+b(k0位置的影响当b0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b0时，直线与y轴的负半轴相交当k，b异号时，即-0时，直线与*轴正半轴相交；当b=0时，即-=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-0时，直线与*轴负半轴相交当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限；当k0，b=0时，图象经过第一、三象限；当bO，bO时，图象经过第一、三、四象限；当kO，b0时，图象经过第一、二、四象限；当

7、kO，b=0时，图象经过第二、四象限；当bO，bO时，图象经过第二、三、四象限2直线y=k*+bk0与直线y=k*(k0)的位置关系直线y=k*+b(k0)平行于直线y=k*(k0)当b0时，把直线y=k*向上平移b个单位，可得直线y=k*+b；当bO时，把直线y=k*向下平移|b|个单位，可得直线y=k*+b3直线b1=k1*+b1与直线y2=k2*+b2k10，k20的位置关系k1k2y1与y2相交；y1与y2相交于y轴上同一点0，b1或0，b2；y1与y2平行； y1与y2重合.例题精讲：1.，如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为0，24，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B

8、，点B坐标为18，61求直线l1，l2的表达式；2点C为线段OB上一动点点C不与点O，B重合，作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF设点C的纵坐标为a，求点D的坐标用含a的代数式表示；假设矩形CDEF的面积为108，求出点C的坐标解：1设直线l1的表达式为y=k1*点18，6在直线l1上6= 18k1k1=y=*设直线l2的表达式为y=k2* +b点A0，24，B18，6在l2上待定系数法可得直线l2的解析式为：y=-*+242点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a*=3a，点C的坐标为3a，aCDy轴点D的横坐标为3a点D在直线l2上，y=-

9、3a+24D3a，-3a+24C3a，a，D3a，-3a+24CF=3a，CD=-3a+24-a=-4a+24矩形CDEF的面积为108S矩形CDEF=CFCD=3a-4a+24=108，解得a=3当a=3时，3a=9C点坐标为9，32如图所示，直线L：与轴负半轴、轴正半轴分别交于A、B两点。1当OA=OB时，试确定直线L的解析式；2在(1)的条件下，如图所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，假设AM=4，BN=3，求MN的长。(3)当取不同的值时，点B在轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限作等腰直角OBF和等腰直

10、角ABE，连EF交轴于P点，如图。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，假设是，请求出其值，假设不是，说明理由。第2题图第2题图第2题图考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定专题：代数几何综合题分析：1是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；2由OA=OB得到启发，证明AMOONB，用对应线段相等求长度；3通过两次全等，寻找相等线段，并进展转化，求PB的长解答：解：1直线L：y=m*+5m，A-5，0，B0，5m，由OA=OB得5m=5，m=1，直线解析式为：y=*+52在AMO和OBN中OA=OB，OAM=BON，AMO=BNO，AMOONBAM=ON=

11、4，BN=OM=33如图，作EKy轴于K点先证ABOBEK，OA=BK，EK=OB再证PBFPKE，PK=PBPB=BK=OA=点评：此题重点考察了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，此题也涉及一次函数图象的实际应用问题3.如图，直线与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线与直线关于*轴对称，直线的解析式为1求直线的解析式；3分2过A点在ABC的外部作一条直线，过点B作BE于E,过点C作CF于F分别，请画出图形并求证：BECFEF 3ABC沿y轴向下平移，AB边交*轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BPCQ，在ABC平移的过程中，OM为定

12、值；MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。6分考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质分析：1根据题意先求直线l1与*轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；2根据题意结合轴对称的性质，先证明BEAAFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；3首先过Q点作QHy轴于H，证明QCHPBO，然后根据全等三角形的性质和QHMPOM，从而得HM=OM，根据线段的和差进展计算OM的值解答：解：1直线l1与*轴、y轴分别交于A、B两点，A-3，0，B0，3，直线l2与直线l1关于*

13、轴对称，C0，-3直线l2的解析式为：y=-*-3；2如图1答：BE+CF=EF直线l2与直线l1关于*轴对称，AB=BC，EBA=FAC，BEl3，CFl3BEA=AFC=90BEAAFCBE=AF，EA=FC，BE+CF=AF+EA=EF；3对，OM=3过Q点作QHy轴于H，直线l2与直线l1关于*轴对称POB=QHC=90，BP=CQ，又AB=AC，ABO=ACB=HCQ，则QCHPBOAAS，QH=PO=OB=CHQHMPOMHM=OMOM=BC-OB+CM=BC-CH+CM=BC-OMOM=BC=34.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线A

14、B的解析式；(2)假设点M为直线y=m*上一点，且ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：1求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式y=k*+b，代入得到方程组，求出即可；2当BMBA，且BM=BA时，过M作MNY轴于N，证BMNABOAAS，求出M的坐标即可；当AMBA，且AM=BA时，过M作MN*轴于N，同法求出M的坐标；当AMBM，

15、且AM=BM时，过M作MN*轴于N，MHY轴于H，证BHMAMN，求出M的坐标即可3设NM与*轴的交点为H，分别过M、H作*轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证AMGADH，AMGADHDPCNPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案解答：解：1要使有意义，必须a-22=0，=0，a=2，b=4，A2，0，B0，4，设直线AB的解析式是y=k*+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4，函数解析式为：y=-2*+4，答：直线AB的解析式是y=-2*+42如图2，分三种情况：如图1当BMBA，且BM=BA时，过M作MNY轴于N，BMNABOAAS，MN

16、=OB=4，BN=OA=2，ON=2+4=6，M的坐标为4，6，代入y=m*得：m=，如图2当AMBA，且AM=BA时，过M作MN*轴于N，BOAANMAAS，同理求出M的坐标为6，2，m=，当AMBM，且AM=BM时，过M作MN*轴于N，MHY轴于H，则BHMAMN，MN=MH，设M*，*代入y=m*得：*=m*，2m=1，答：m的值是或或13解：如图3，结论2是正确的且定值为2，设NM与*轴的交点为H，分别过M、H作*轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，由y=*-与*轴交于H点，H1，0，由y=*-与y=k*-2k交于M点，M3，K，而A2，0，A为HG的中点，AMGADHASA，又因为N

17、点的横坐标为-1，且在y=*-上，可得N的纵坐标为-K，同理P的纵坐标为-2K，ND平行于*轴且N、D的横坐标分别为-1、1N与D关于y轴对称，AMGADHDPCNPC，PN=PD=AD=AM，=2点评：此题主要考察对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进展推理和计算是解此题的关键5. 如图，直线AB交*轴负半轴于Bm，0，交Y轴负半轴于A0，m，OCAB于C-2，-2。(1求m的值；(2直线AD交OC于D，交*轴于E，过B作BFAD于F,假设OD=OE，求的值；(3如图，

18、P为*轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在*轴上运动时，线段OQ长是否发生变化.假设不变，求其值；假设变化，说明理由。解答：1设直线AB的方程为y=k*+m，将点m,0代入方程得k= -1，则方程可写为y= -*+m再将点C(-2,2)代入方程得-2(-1)(-2)+m,即m= -4 2直线AD交OC于D，交*轴于E，过B作BFAD于F,假设OD=OE，求的值；3如图，P为*轴上B点左侧任一点，以AP为边作等腰直角APM，其中PA=PM，直线MB交y轴于Q，当P在*轴上运动时，线段OQ长是否发生变化.假设不变，求其值；假设变化，说明理由。线

19、段OQ的长度不变如图，过P作*轴的垂线交AB的延长线为N，PM=PA,PB=PN,NPA=BPM,NPABPM边角边，则有PMB=PAN=PAB，由题意可知OAB=ABO=45，OAP+APO=OAB+PAB+APB=90MPA，在PMB中PMB+MBP+MPB=PMB+MBP+MPA+APB=180PMB+MBP+APB=180-MPA=90MBP=90-PMB-APB=90-PAB-APB=90-(90-OAB)45所以MBA=180-ABO-MBP=180-45-45=90故直线MB与直线AB互相垂直，所以线段OQ值不变直线AB固定。向左转|向右转6.在平面直角坐标系中，一次函数y=a*

20、+b的图像过点B-1， ，与*轴交于点A4,0，与y轴交于点C，与直线y=k*交于点P，且PO=PA（1） 求a+b的值；2求k的值；（2） 3D为PC上一点，DF*轴于点F，交OP于点E，假设DE=2EF，求D点坐标.考点：一次函数与二元一次方程组专题：计算题；数形结合；待定系数法分析：1根据题意知，一次函数y=a*+b的图象过点B-1， 和点A4，0，把A、B代入求值即可；2设P*，y，根据PO=PA，列出方程，并与y=k*组成方程组，解方程组；3设点D*，- *+2，因为点E在直线y= *上，所以E*，*，F*，0，再根据等量关系DE=2EF列方程求解解答：解：1根据题意得：=-a+b0

21、=4a+b解方程组得：a=， b=2a+b=-+2=，即a+b=；2设P*，y，则点P即在一次函数y=a*+b上，又在直线y=k*上，由1得：一次函数y=a*+b的解析式是y=-*+2，又PO=PA，*2+y2=(4-*)2+y2y=k*y= *+2，解方程组得：*=2，y=1，k=k的值是；3设点D*，-*+2，则E*，*，F*，0，DE=2EF，-*+2-*=2*，解得：*=1，则-*+2=-1+2=，D1，点评：此题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的在联系7.在直角坐标系中，B、A分别在*，y轴上，B的坐标为3，0，ABO=30，AC平分OAB交*

22、轴于C；(1)求C的坐标 (2假设D为AB中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC(3)假设D为AB上一点，以D作DEC，使DC=DE，EDC=120，连BE，试问EBC的度数是否发生变化；假设不变，请求值。.在直角坐标系中，B、A分别在*，y轴上，B的坐标为3，0，ABO=30，AC平分OAB交*轴于C；解：AOB=90ABO=30OAB=30 又 AC是OAB的角平分线OAC=CAB=30OB=3OA= OC=1 即 C(1，0)（1） 假设D为AB中点，EDF=60，证明：CE+CF=OC证明：取CB中点H，连CD,DH AO= CO=1AC=2 又D,H分别是AB,CD中点DH= A

23、B=2DB=AB= BC=2 ABC=30 BC=2 CD=2 CDB=60 CD=1=DHEOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60EDC=FDHAC=BC=2CDAB ADC=90CBA=30ECD=60HD=HB=1DHF=60在DCE和 DHF中EDC=FDHDCE=DHFDC=DHDCEDHF(AAS)CE=HFCH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1CH=OCOC=CE+CF（2） 假设D为AB上一点，以D作DEC，使DC=DE，EDC=120，连BE，试问EBC的度数是否发生变化；假设不变，请求值。解：不变 EBC=60 设DB与CE交与点GDC=DE EDC=

24、120DEC=DCE=30 在DGC和 DCB中CDG=BDCDCG=DBC=30DGCDCB= DC=DE=在EDG和BDE中=EDG=BDEEDG BDEDEG=DBE=30EBD=DBE+DBC=608.如图，直线AB交*轴正半轴于点Aa，0，交y 轴正半轴于点B0， b，且a 、b满足 + |4b|=0 1求A、B两点的坐标； 2D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证BDO=EDA；ABOMPQ*yABODEFy*3如图，P为*轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtPBM，其中PB=PM，直线MA交y 轴于点Q，当点P在*轴上运动时，线段OQ的长是否发生变

25、化.假设不变，求其值；假设变化，求线段OQ的取值围.解答：解：+|4-b|=0a=4，b=4，A4，0，B0，4；2作AOB的角平分线，交BD于G，BOG=OAE=45，OB=OA，OBG=AOE=90-BOF，BOGOAE，OG=AEGOD=A=45，OD=AD，GODEDAGDO=ADE3过M作MN*轴，垂足为NBPM=90，BPO+MPN=90AOB=MNP=90，BPO=PMN，PBO=MPNBP=MP，PBOMPN，MN=OP，PN=AO=BO，OP=OA+AP=PN+AP=AN，MN=AN，MAN=45BAO=45，BAO+OAQ=90BAQ是等腰直角三角形OB=OQ=4无论P点怎

26、么动OQ的长不变点评：1考察的是根式和绝对值的性质2考察的是全等三角形的判定和性质3此题灵活考察的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质9.如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在*、y轴上，点B的坐标为(0，1)，BAO=30（1） 求AB的长度；2以AB为一边作等边ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D求证：BD=OE3在2的条件下，连结DE交AB于F求证：F为DE的中点考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形专题：计算题；证明题分析：1直接运用直角三角形30角的性质即可2连接OD，易证ADO为等边三角形，再证ABDA

27、EO即可3作EHAB于H，先证ABOAEH，得AO=EH，再证AFDEFH即可解答：1解：在RtABO中，BAO=30，AB=2BO=2；2证明：连接OD，ABE为等边三角形，AB=AE，EAB=60，BAO=30，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D，DAO=60EAO=NAB又DO=DA，ADO为等边三角形DA=AO在ABD与AEO中，AB=AE，EAO=NAB，DA=AOABDAEOBD=OE3证明：作EHAB于HAE=BE，AH=AB，BO=AB，AH=BO，在RtAEH与RtBAO中，AH=BO ，AE=ABRtAEHRtBAO，EH=AO=AD又EHF=DAF=90，在HF

28、E与AFD中，EHF=DAF，EFH=DFA，EH=ADHFEAFD，EF=DFF为DE的中点点评：此题主要考察全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等10.如图，直线y=*+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB.(1)求直线AC的解析式；(2)在*轴上取一点D-1，0，过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；(3过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=k*k0，分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。解：(1) 直线y=*+1分别与坐标轴交于A、B两点可得点A坐标为-3，0，点B坐标为0，1 OC=OB 可得点C坐标

29、为0，-1 设直线AC的解析式为y=k*+b将A-3，0，C0，-1代入解析式 -3k+b=0且b=-1可得k=-，b=-1 直线AC的解析式为y=*-1(2)在*轴上取一点D-1，0，过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；解： GEAB设直线GE的解析式为将点D坐标-1，0代入，得 直线GE的解析式为y=-3*-3 联立y=*-1与y=-3*-3，可求出， 将其代入方程可得y=， F点的坐标为，(3)过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=k*k0，分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。解：过点O作AC的平行线ON交AB于点NBM/ACOB=OCOI=

30、OHO为IH的中点BM/AC OI=OH NB=NA N为AB中点 ON是四边形ABIH的中位线 AH+BI=2ON N是AB的中点，AOB是直角三角形 AB=2ON直接三角形斜边的中线等于斜边的一半 AH+BI=AB=111.如图，直线AB：y=-*-b分别与*、y轴交于A6，0、B两点，过点B的直线交*轴负半轴于C，且OB：OC=3：1.1求直线BC的解析式；2直线EF：y=k*-kk0交AB于E，交BC于点F，交*轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=SFBD.假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由.3如图，P为A点右侧*轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限作等腰

31、直角BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化.假设不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式专题：计算题分析：代入点的坐标求出解析式y=3*+6，利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标解答：解：1由：0=-6-b，b=-6，AB：y=-*+6B0，6OB=6OB：OC=3：1，OC=2，C-2，0设BC的解析式是Y=a*+c，代入得；6=0a+c, 0=-2a+c，解得：a=3, c=6，BC：y=3*+6直线BC的解析式是：y=3*+6；2过E、F分别作EM

32、*轴，FN*轴，则EMD=FND=90SEBD=SFBD，DE=DF又NDF=EDM，NFDEDM，FN=ME联立y=k*-k, y=-*+6得yE=，联立y=k*-k，y=3*+6得yF=FN=-yF，ME=yE，=k0，5k-3=-9k+1，k=；3不变化K0，-6过Q作QH*轴于H，BPQ是等腰直角三角形，BPQ=90，PB=PQ，BOA=QHA=90，BPO=PQH，BOPHPQ，PH=BO，OP=QH，PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，AH=QH，AHQ是等腰直角三角形，QAH=45，OAK=45，AOK为等腰直角三角形，OK=OA=6，K0，-6点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解. z