平面55直线课件

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1、平面55直线二、直线二、直线 第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面一、平面三、小结三、小结平面55直线曲面方程的概念：曲面方程的概念：取定空间直角坐标系取定空间直角坐标系Oxyz后，若曲面后，若曲面S上的点上的点M(x,y,z)的坐标与方程的坐标与方程F(x,y,z)=0之间存在关系之间存在关系（1）若）若M(x,y,z)在曲面在曲面S上，则上，则F(x,y,z)=0；(2)若若F(x,y,z)=0，则点，则点M(x,y,z)在曲面在曲面S上。上。则称则称F(x,y,z)=0为曲面为曲面S的方程，曲面的方程，曲面S称为称为方程方程F(x,y,z)=0的图形。的图形。平面55直线xyzo0

2、MM(1)法线向量法线向量如果一非零向量垂如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平直于一平面，这向量就叫做该平面的面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知),(CBAn ),(0000zyxM一、平面一、平面n平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA一一) 、平面的点法式方程、平面的点法式方程平面55直线例例 1 1 已知平面过点已知平面过点)7 , 1, 3(0 M，且垂直于，且垂直于0M与与)2 , 1 , 7(1M的连线，求平面方程的连线，求平面方程. 例例 2 2 求过三点求过三点)1

3、, 3, 2( A、)3 , 1 , 4(B和和)2 , 0 , 1(C的的平面方程平面方程. 111212121313131,(,),1,2,3:0iiiiMxy zixxxyxzxxyyzzxxyyzz 由由混混合合积积的的几几何何意意义义 可可得得过过三三点点的的平平面面方方程程为为平面55直线0 DCzByAx法向量法向量).,(CBAn 二）、平面的一般方程二）、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x平面55

4、直线, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面55直线1 czbyax三）三） 平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距平面55直线定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 四）两平面的夹角四）两平面的夹角平面55直

5、线按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 平面55直线例例5 5 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arcc

6、os 平面55直线)2(),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.平面55直线6:(1,0,1)32150.xyz例例求求过过且且平平行行于于平平面面的的平平面面方方程程平面55直线五）五） 点到平面的距离点到平面的距离.|222000CBADCzByAxd 平面55直线平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位

7、置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）4 4、小结、小结平面55直线xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L二、二、 直线直线1、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程平面55直线xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已

8、知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM 2、空间直线的对称式方程与参数方程、空间直线的对称式方程与参数方程平面55直线pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程平面55直线例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程

9、表示直线043201zyxzyx平面55直线定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式3、两直线的夹角、两直线的夹角平面55直线两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021

10、ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即平面55直线例例3 3 求直线求直线:1L 09530432zyxzyx:2L与与131121 zyx的夹角。的夹角。例例 4 4 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程. 平面55直线定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns 2),(ns4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角 0.2 平面55直

11、线222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 平面55直线637arcsin 平面55直线( (特殊点的求法特殊点的求法) )5、点、线、面的关系(1) (1) 求直线与平面的交点求直线与平面的交点323212260.xyzxyz 例例7 7：求求直直线线与与平平面面的的交交点点求直线与平面的交点的方法：求直线与平面的交点的方法： 把直线把直线 L 改写为参数方程，再代入改写为参数方程，再代入与与平面方程求出参数平面方程求

12、出参数 t ，即得交点的坐标即得交点的坐标. .平面55直线(2) (2) 求一点在平面上的投影点求一点在平面上的投影点0(2,0,1)3160.Pxyz 例例8 8：求求点点在在平平面面上上的的投投影影点点求一点在平面上的投影点的方法：求一点在平面上的投影点的方法：,)1(0的的直直线线且且垂垂直直于于平平面面求求过过点点 P.)2(的的交交点点与与平平面面求求直直线线 L平面55直线(3) (3) 求一点关于平面的对称点求一点关于平面的对称点0(2,0,1)3160.Pxyz 例例9 9：求求点点关关于于平平面面上上的的对对称称点点求一点在平面上的投影点的方法：求一点在平面上的投影点的方法

13、：或先求投影点再用求定比分点的方法。或先求投影点再用求定比分点的方法。00,PPPP 由由（1 1）投投影影点点与与连连线线垂垂直直于于平平面面 （2 2) )投投影影点点与与 中中点点在在平平面面上上列列出出三三个个方方程程解解出出点点。平面55直线(4) (4) 求一点在直线上的投影点求一点在直线上的投影点0123(1,0,2):111.xyzPL 例例1 10 0：求求点点在在直直线线上上的的投投影影点点求一点在直线上的投影点的方法：求一点在直线上的投影点的方法：,)1(0 且垂直于直线的平面且垂直于直线的平面求过点求过点 P.)2(的的交交点点与与平平面面求求直直线线 L平面55直线

14、6 、过直线的平面束方程过直线的平面束方程过直线过直线L: : 0022221111DzCyBxADzCyBxA的平面有无穷多个的平面有无穷多个, ,这无穷多个平面可用下面这无穷多个平面可用下面的的方程表示方程表示: :. 0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA . 0)()()()(21212121 DDzCCyBBxAA 即即: :通过直线通过直线L的平面束方程的平面束方程. .平面55直线例例1111 求通过直线求通过直线且垂直于平面且垂直于平面 的的平面平面. . 0101zyxzyx0 zyx01 zy例例1212 求通过直线求通过直线且过点且过点 的平面的平面. .

15、0101zyxzyx)2 , 1 , 1(0M例例1313.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxL L平面55直线 7 、直线与直线的关系直线直线与直线与直线 异异面面共共面面 相相交交平平行行 不不重重合合重重合合平面55直线两直线两直线共面的条件共面的条件1111111:pzznyymxxL 2222222:pzznyymxxL 22LM 11LM 共面共面与与21LL.2121共共面面、ssMM. 0,2121 ssMM平面55直线若两直线若两直线共面，再判断是否平行共面，再判断是否平行.21/ LL./21ss若两直线若两直

16、线平行，再判断是否重合平行，再判断是否重合.11LM ,21LM .21重合重合与与则则LL若两直线不若两直线不平行即相交，则要会求交点平行即相交，则要会求交点.1252242:121311.xyzxyzLL例例1414：与与是是否否相相交交？若若相相交交，求求交交点点平面55直线平面55直线空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）小小结结点关于平面、直线的投影点、对称点

17、，直线在点关于平面、直线的投影点、对称点，直线在平面上的投影直线平面上的投影直线过直线的平面束方程过直线的平面束方程直线与直线的位置关系。相交时交点，异面直线的直线与直线的位置关系。相交时交点，异面直线的距离。距离。平面55直线1.1.求平行于平面求平行于平面0566 zyx而与三个坐标面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 思考题思考题11222.:0:0.AxByCzDAxByCzD 求求两两平平行行平平面面之之间间的的距距离离3 3. . 一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和y轴轴垂垂直直相相 交交，求求其其方方程

18、程. 73 t4 4 求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. .431122 zyx平面55直线5.5. 求通过直线求通过直线且平行于直线且平行于直线 的的平面平面. . 032012:1zyxzyxL 04045:2zyxzyxL12121112:112134.xyzxyzLLLL6.6.与与是是否否共共面面？若若异异面面，求求与与的的距距离离平面55直线一、一、 填空题：填空题：1 1、 平面平面0 CzByAx必通过必通过_， （其中（其中 CBA,不全为零） ；不全为零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x轴；轴

19、；3 3、平面、平面0 CzBy_x轴；轴；4 4、通过点、通过点)1,0,3( 且与平面且与平面012573 zyx平平 行的平面方程为行的平面方程为 _ _；5 5、通过、通过),0,0()0,0()0,0,(cba、三点的平面方三点的平面方 _；6 6、 平面平面0522 zyx与与xoy面的夹角余弦为面的夹角余弦为_ _ _，与，与yoz面的夹角余弦为面的夹角余弦为_， 与与zox面的夹角的余弦为面的夹角的余弦为_；练练 习习 题题平面55直线二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：1 1、 0632 yx；2 2、 1 zy；3 3、

20、 056 zyx. .三、三、 求过点求过点)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三点的三点的 平面方程平面方程 . .四、四、 点点)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . .五五、 求求通通过过Z轴轴和和点点)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . .六六、 求求与与已已知知平平面面0522 zyx平平 行行且且与与 三三坐坐标标面面所所构构成成的的四四面面体体体体积积为为 1 1 的的平平面面方方程程 . .平面55直线一一、1 1、( (0 0, ,0 0, ,0 0) )； 2 2、平平行行于于； 3 3、通

21、通过过； 4 4、04573 zyx； 5 5、1 czbyax； 6 6、32,32,31 . .二二、1 1、平平行行于于轴轴z的的平平面面； 2 2、平平行行于于轴轴x的的平平面面； 3 3、通通过过原原点点的的平平面面 . .三三、023 zyx. . 四四、43 zyx. .五五、03 yx. . 六六、33222 zyx. .练习题答案练习题答案平面55直线上节内容回顾：上节内容回顾：1、平面方程：点法式、一般式（特殊位置）、平面方程：点法式、一般式（特殊位置）、截距式截距式2、直线方程：一般式、对称式（标准式、点向、直线方程：一般式、对称式（标准式、点向式）、参数式式）、参数式3、平面与平面的位置关系：平行、垂直的充要、平面与平面的位置关系：平行、垂直的充要条件，平面与平面的夹角条件，平面与平面的夹角4、直线与直线的位置关系：共面时平行、垂直、直线与直线的位置关系：共面时平行、垂直的充要条件，直线与直线的夹角，重合的充要条件，直线与直线的夹角，重合5、直线与平面的位置关系：平行（及在平面上、直线与平面的位置关系：平行（及在平面上）、垂直的充要条件，相交时交角）、垂直的充要条件，相交时交角6、点到平面的距离、点到平面的距离