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1、克拉默法则教学目标1 .线性方程的相关概念2 .克拉默法则教学重点克拉默法则及其应用教学难点克拉默法则的证明教学方法讲授法教学过程一、导入前面我们学习了行列式的计算方法，我们也知道，二、三元线性方程组可 以用二、三阶行列式求解。在此基础上我们要研究用n阶行列式来解含n个未知量n个方程的线性方程组。二、新课n个未知量n个方程的线性方程组aiiXia12X2ain Xnbia2iXia22 X2a2nXnbn1aniXian2X2ann Xnbn利用方程组（1）的系数构成一个n阶行列式aiiai2ainDa21a22a2nanian2ann称为方程组的系数行列式。定理（克拉默法则）若含有n个未知量
2、n个方程的线性方程组（i）的系数行列式D不等于零，则方程组（i）有且仅有一个解，且解为：DiD2DnXi-,X2 , , XnDDD其中Dj（j i,2, ,n）是把行列式D的第j列的元素换成以方程组（i）的常数项6也,bn而得的n阶行列式说明：定理中包含三个结论(1)方程组有解(2)解是唯一的(3)解由公式(2)给出这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1 .把匕,D2, ,Dn代入方程组，验证它确是解D D D2 .假如方程组有解，证明它的解必由公式(2)给出。 证明：(一)证明(2)是(1)的解，即D1 ai1DD2 ai2DDn ainDbi(i1,2,n)或bi Dan D1ai2
3、 D2ainDn0(i1,2,n).ai1ai2ainb1即a12anDob2a21a22a2n(i1,2,n)bnaman2ann为此，将系数行列式D添加一行一列，得n 1阶行列式把D0按第一行展开，得1 11 2Dobi( 1) DaM( 1)1 2D11 n 1 n 1 、ain( 1)( 1) Dn1 311 42眦(1)1 3( 1)M 条(1)1 4( 1)2D3bi Dai1D1 ai2D2ain Dn .在Do中有两行元素完全相同，所以Do 0.因此biD ai1D1 ai2D2a.Dn 0(i 1,2, ,n).即(2)是(1)的解。(二)证(2)是(1)的唯一解.auaai
4、2C2设XCi (i 1,2, ,n)是(1)的一个解，即ain Cn bi (i 1,2,n).第2页因为CjDana21an1a1jCj a2jCjanj cja1na2nanna11a11cla1jCja1n cna1na21a21C1a2jcja2ncna2nan1an1C1a nj cja nn cna nnaiibia2ib2anibn(j列)alna2nannDj.(j 1,2, ,n).(j列)Dj5(j 1,2,n).D即(2)是(1)的唯一解。注意：克拉默法则所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，它只能应用 于这种方程组，至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情
5、形 中一并讨论。例：解线性方程组2x1X25x3x48x13x26x492x2x32x45X14x27x36x40解：方程组()的系数行列式211302145106127627 0.由克拉默法则知方程组()有唯一解又因为D1D3895013245017162681,D22101895050171626108,210113248950162627,D421011324501727.所以方程组()的解是:XiX2X3x4 1.三、小结在第一章第四节给出的二元与三元线性方程组的求解公式就是克拉默 法则的特例。克拉默法则的重要意义是在于它给出了线性方程组有解的一 个充分条件，并且给出了解的表达式。不过这个求解公式的理论价值大于 实用价值，因为克拉默法则进行计算是不方便的，按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算 n 1个n阶行列式，这个计算量很 大。在下一章我们将学习线性方程组的另一种求解方法一一消去法。 四、作业P138一习题 1 (1) (4).
克拉默法则教案
