线性代数试题和答案(精选版)

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1、A.m+nC.n-m线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a11a12a13a11=m，a21a22a23a211设行列式=n，则行列式、单项选择题（本大题共一个是符合题目要求的,2设矩阵A=a11a12a13a21a22a23B.-(m+n)D.m-n00，则A-1等于（3等于（13A.0B.012013C.0D.3设矩阵21,A*是A的伴随矩阵，贝UA冲位于4（1,2）的元素是（A.-64. C.2设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（A.A=05. C.A0时B=C已知

2、3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A.16. C.3设两个向量组A. 有不全为B. 有不全为C. 有不全为D. 有不全为入saB.6D.-）B.BC时A=0a1,0的数入0的数入0的数入0的数入a2,1,1,1,1,D.|A|0时B=CAt）等于（）7. B.2D.4，as和31，32，3s均线性相关，则（）入2，入s使入1a1+入2a2+入sas=0禾口入131+入232+入s3s=0入2，入s使入1（a1+31）+入2（a2+32）入2，入s使入1（a1-31）+入2（a2-32）入2，入s和不全为0的数口1，卩2，-+入s(as+3s)=0+入s(as-3s)=0s使入1a1+入2a

3、2+s=0禾口卩131+卩232+设矩阵A的秩为r，则A中（A.所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于0设Ax=b是一非齐次线性方程组，+aS3s=0)A.n1+n2是Ax=0的一个解B.所有r-1阶子式全为D.所有r阶子式都不为2是其任意2个解，则下列结论错误的是（1B.-211+n2是Ax=b的一个解2C.ni-n2是Ax=O的一个解D.2n1-n2是Ax=b的一个解9设n阶方阵A不可逆，则必有（）A. 秩（A）3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数入和向量a使Aa=入a,则a是A的属于特征值入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=0，则入是A的

4、特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a1,a2,a3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，贝Ua1,a2,a3有可能线性相关设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A.k3C.k=312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（A.|A|2必为1C.A-1=At13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（）2 3A.3 4100C.023035第二部分二、填空题（本大题共

5、10小题，每小题小题的空格内。错填或不填均无分。B.k3）B.|A必为1D. A的行（列）向量组是正交单位向量组B=CtAC.则（）34B.26111D.120102非选择题（共72分）2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每15. 111356.9253616. “111123小设A=,B=则A+2B=.111124设A=(aj)3x3,|A|=2,Aj表示|A|中元素aj的代数余子式(i,j=1,2,3),则222(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.17. 设向量(2,-3,5)

6、与向量(-4,6,a)线性相关，贝ya=一.18. 设A是3x4矩阵，其秩为3，若n1,n2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为设A是mxn矩阵，A的秩为r（n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.设向量a、3的长度依次为2和3，则向量a+B与a-3的内积（a+3,a-3）=设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为0106223.设矩阵A=133，已知a=1是它的一个特征向量，贝U21082为24.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共

7、42分)a所对应的特征值25设A=31求(1)ABt；(2)|4A|.026试计算行列式27.设矩阵A=1求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组a1=2103(X2=1324(X3=3021(X4=0149试判断a4是否为a2,3的线性组合；若是，则求出组合系数。29. 12102设矩阵A=30. 求：(1)秩(A);(2)A的列向量组的一个最大线性无关组022设矩阵A=234的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.243试用配方法化下列二次型为标准形222f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x1x34x2x3，并写出所用的满秩

8、线性变换。31. 四、证明题的一个基础解系设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33设n0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，E1,E2是其导出组Ax=O试证明（1）n1=n0+Ei,n2=n0+E2均是Ax=b的解；（2）n0，n1，n2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15.616.17. 4-10n1+c(n2-n1)(或n2+c(n2-n1),c为任意常数n-r-5t212

9、222z1z2z3z4三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分)25解1(1)ABT=3818610.10(2)|4A|=43a|=64|A|,而Al=301040.27解AB=A+2B即(A-2E)2B=A,3(A-2E)-1=1所以B=(A-2E)-1A=33.4423110123311251115134111312011001015335530121所以|4A|=64(-2)=-12826解5111111122128.解一0310001130100318528100001002121235121100100201010011，0000所以a4=2a1+a2+a3,组合系数为（2,

10、1,1）解二考虑a4=xia1+X2a2+X3a3,2X1X23x30即X13X212X22X343x14X2X39.方程组有唯一解（2,1,1）T，组合系数为（2,1,1）29.解对矩阵A施行初等行变换1210200062A032820963212102121020328303283=B000620003100021700000(1)秩(B)=3,所以秩（A）=秩(B)=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也

11、是）经正交标准化，得25/5n1=5/5,2.5/15n2=4-5/1530.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为E1=(2,-1,0)T,E2=(2,0,1)T.入=-8的一个特征向量为11/3E3=2,经单位化得n3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩阵为T=、-5/545/152/30.5/32/3100对角矩阵D=0100082.5/52J5/i5i/3（也可取T=o.5/32/3.)、5/54.5/i52/33i.解f(Xi,X2,X3)=:(Xi+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X3222=(X1+2X2-2x3)-2(X2-X3)-5x3

12、.设y2X2X3,即X2y2y3,y3X3X3y3i2o因其系数矩阵C=oii可逆，故此线性变换满秩。ooi经此变换即得f(xi,X2,X3）的标准形yiXi2X22X3Xiyi2y2222yi-2y2-5y3.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共iO分)证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-i=E+A+A2.32. 证由假设Ano=b,AEi=O,AE2=0.(1) Ani=A(no+Ei)=Ano+AEi=b，同理An2=b,所以ni,n2是Ax=b的2个解。考虑lono+lini+l2n2=0,即(lo+ii+i2)no+liei+l2e2=0.则lo+li+l2=o，否则no将是Ax=o的解，矛盾。所以liEi+l2E2=o.又由假设，Ei,E2线性无关，所以li=o,l2=o，从而lo=o.所以no,ni,n2线性无关。