初三单元整体教学设计圆

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1、-第二十四章圆教学容1本单元数学的主要容1圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角2与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，3圆和圆的位置关系4正多边形和圆5弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积2本单元在教材中的地位与作用学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经历本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的根底上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，

2、尤其是圆锥曲线的学习的根底性工程教学目标1知识与技能1了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理2探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线3进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算4熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算2过程与方法1积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式2在教学过程中，

3、鼓励学生动手、动口、动脑，并进展同伴之间的交流3在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想4通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步开展学生的推理能力5探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义3情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，开展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经历，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望教学重点1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对

4、的两条弧及其运用2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用4半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其运用5不在同一直线上的三个点确定一个圆6直线L和O相交dr及其运用7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用8经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用10两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1dr

5、1+r2；切d=r1-r2；含dr2-r111正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目12n的圆心角所对的弧长为L= nR /180，n的圆心角的扇形面积是S扇形=n/360及其运用这两个公式进展计算13圆锥的侧面积和全面积的计算教学难点1垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题2弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题3有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用4点与圆的位置关系的应用5三点确定一个圆的探索及应用6直线和圆的位置关系的判定及其应用7切线的判定定理与性质定理的运用8切线长定理的探索与运用9圆和圆的位置

6、关系的判定及其运用10正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角的关系的应用11n的圆心角所对的弧长L= nR /180及S扇形=n/360的公式的应用12圆锥侧面展开图的理解教学关键1积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、三个位置关系并推理证明等活动2关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高3在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，开展学生有条理的思考能力及语言表达能力单元课时划分本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：241圆3课时242与圆有关的位置关系4课时243正多边形和圆1课时244弧长和扇形面积2课时教学活动、

7、习题课、小结3课时241 圆第一课时教学容 1圆的有关概念 2垂径定理：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题从感受圆在生活量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜测垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解重难点、关键 1重点：垂径定理及其运用 2难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题教学过程一、复习引入学生活动请同学口答下面两个问题提问一、两个同学 1举出生活中的圆三、四个

8、 2你能讲出形成圆的方法有多少种？教师点评口答：1如车轮、杯口、时针等2圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作O，读作圆O学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点圆心O的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？教师提问几名学生并点评总结1图上各点到定点圆心O的距离都等于定长半径r；2到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为

9、O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形同时，我们又把连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧，以A、C为端点的弧记作，读作圆弧或弧AC大于半圆的弧如下图叫做优弧，小于半圆的弧如下图或叫做劣弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆学生活动请同学们答复下面两个问题 1圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进展交流教师点评1圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径 3我是利用沿着

10、圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线学生活动请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M1如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？2你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由教师点评1是轴对称图形，其对称轴是CD2AM=BM，即直径CD平分弦AB，并且平分及这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧下面我们用逻辑思维给它证明一下：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M求证：AM=BM，.分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要

11、连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中RtOAMRtOBMAM=BM点A和点B关于CD对称O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合，进一步，我们还可以得到结论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧此题的证明作为课后练习例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弦即图中，点例2 O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，例3 且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握

12、解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=R-90mOECDCF=CD=600=300m根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+R-902解得R=545这段弯路的半径为545m三、稳固练习教材练习四、应用拓展例2有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R解：不需要采取紧急措施设OA=R，在RtAOC中，AC=30，CD=18 R2

13、=302+R-182 R2=900+R2-36R+324解得R=34m连接OM，设DE=*，在RtMOE中，ME=16 342=162+34-*2 162+342-68*+*2=342 *2-68*+256=0解得*1=4，*2=64不合设DE=4不需采取紧急措施五、归纳小结学生归纳，教师点评本节课应掌握： 1圆的有关概念； 2圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 3垂径定理及其推论以及它们的应用六、布置作业 1教材复习稳固1、2、324.1 圆(第2课时)教学容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推

14、论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点、关键 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点与关键：

15、探索定理和推导及其应用教学过程一、复习引入学生活动请同学们完成下题OAB，如下图，作出绕O点旋转30、45、60的图形教师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30，就是旋转角BOB=30二、探索新知如下图，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角学生活动请同学们按以下要求作图并答复以下问题：如下图的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？=，AB=AB理由：半径OA与OA重合，且AOB=AOB半径OB与OB重合点A与点A重合，点B与点B重合与重合，弦AB与弦AB重合=，AB=AB因此，在同一个圆中，相等的圆心角所

16、对的弧相等，所对的弦相等在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作学生活动教师点评：如图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合 (1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？我能发现：=，AB=A/B/现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相

17、等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等学生活动请同学们现在给予说明一下请三位同学到黑板板书，教师点评例1如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF1如果AOB=COD，则OE与OF的大小有什么关系？为什么？2如果OE=OF，则与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？分析：1要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可2OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF，AE

18、=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到=解：1如果AOB=COD，则OE=OF理由是：AOB=CODAB=CDOEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF2如果OE=OF，则AB=CD，=，AOB=COD理由是：OA=OC，OE=OFRtOAERtOCFAE=CF又OEAB，OFCDAE=AB，CF=CDAB=2AE，CD=2CFAB=CD=，AOB=COD三、稳固练习教材练习1 四、应用拓展例2如图3和图4，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM1由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由2假设

19、交点P在O的外部，上述结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由 (3) (4)分析：1要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的解：1AB=CD理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、FAPM=CPM1=2 OE=OF连结OD、OB且OB=ODRtOFDRtOEBDF=BE根据垂径定理可得：AB=CD2作OEAB，OFCD，垂足为E、FAPM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90RtOPERtOPFOE=OF连接OA、OB、OC、OD易证RtOBERtODF，RtOAE

20、RtOCF1+2=3+4AB=CD五、归纳总结学生归纳，教师点评本节课应掌握： 1圆心角概念 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都局部相等，及其它们的应用六、布置作业1教材P94-95 复习稳固4、5、24.1 圆(第3课时)教学容 1圆周角的概念 2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解

21、圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在教学过程一、复习引入学生活动请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？ 2圆心角、弦、弧之间有什么在联系呢？教师点评：1我们把顶点在圆心的角叫圆心角2在同圆或等圆中，如果两个

22、圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对的其余各组量都分别相等刚刚讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题二、探索新知问题：如下图的O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的O其它位置射门，如下图的A、B、C点通过观察，我们可以发现像EAF、EBF、ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3同弧上的圆

23、周角与圆心角有什么关系？学生分组讨论提问二、三位同学代表发言教师点评： 1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半下面，我们通过逻辑证明来说明同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半1设圆周角ABC的一边BC是O的直径，如下图AOC是ABO的外角AOC=ABO+BAOOA=OBABO=BAOAOC=ABOABC=AOC2如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，则ABC=AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程教师点评：连结BO交

24、O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，则就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC3如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，则ABC=AOC吗？请同学们独立完成证明教师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交O于D，则AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的从1、2、3，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进一步，我们还可以得到下面的推导

25、：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目例1如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可解：BD=CD理由是：如图24-30，连接ADAB是O的直径ADB=90即ADBC又AC=ABBD=CD三、稳固练习 1教材P92 思考题 2教材P93 练习四、应用拓展例2如图，ABC接于O，A、B、C的对边分别设为a，b，c，O半径为R，求证：=2R分析：要证明=2R，

26、只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十清楚显要在直角三角形中进展证明：连接CO并延长交O于D，连接DBCD是直径DBC=90又A=D在RtDBC中，sinD=，即2R=同理可证：=2R，=2R=2R五、归纳小结学生归纳，教师点评本节课应掌握： 1圆周角的概念； 2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半； 3半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题六、布置作业 1教材P95 综合运用9、10、点和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点了解不在同一条直

27、线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念(二)能力训练要求1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力2通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略(三)情感与价值观要求1形成解决问题的一些根本策略，体验解决问题策略的多样性，开展实践能力与创新精神2学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果教学重点1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论2掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法3了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念教学难点经历不在同一条直

28、线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆教学方法教师指导学生自主探索交流法教具准备投影片三教学过程创设问题情境，引入新课师我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线则，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进展有关探索新课讲解1回忆及思考投影片(34A)1线段垂直平分线的性质及作法2作圆的关键是什么？生1线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等作法：如以下图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等

29、师我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点即为圆心，定长即为半径根据定义大家觉得作圆的关键是什么？生由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小确定了圆心和半径，圆就随之确定2做一做(投影片34B)(1)作圆，使它经过点A，你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经过点A、B你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)你是如何作的？你能作出几个这样的圆？师根据刚刚我们的分析，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家

30、互相交换意见并作出解答生(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆由于圆心是任意的因此这样的圆有无数个如图(1)(2)点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径因此圆心到A、B的距离相等根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径圆就确定下来了由于线段AB的垂

31、直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个如图(2)(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆师大家的分析很有道理，终究应该怎样找圆心呢？3过不在同一条直线上的三点作圆投影片(34C)作法图示1连结AB、BC2分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3以O为圆心，OA为半径

32、作圆O就是所要求作的圆他作的圆符合要求吗？与同伴交流生符合要求因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等ED与FG的满足条件师由上可知，过一点可作无数个圆过两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆不在同一直线上的三个点确定一个圆4有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的接三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcen

33、ter)课堂练习锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？解：如以下图O为外接圆的圆心，即外心锐角三角形的外心在三角形的部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部课时小结本节课所学容如下：1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程方法3了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念课后作业习题36活动与探究如以下图，CD所在的直线垂直平分线段AB怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上因

34、此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径它们的交点就是圆心直线和圆的位置关系教学目标(一)教学知识点1理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系2了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系(二)能力训练要求1经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力2通过观察得出圆心到直线的距离d和半径r的数量关系与直线和圆的位置关系的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化(三)情感与价值观要求通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克制困难的意志，建立自信心教学重点经历探索直线与圆位

35、置关系的过程理解直线与圆的三种位置关系了解切线的概念以及切线的性质教学难点经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系探索圆的切线的性质教学方法教师指导学生探索法教具准备投影片三教学过程创设问题情境，引入新课师我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？生圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆和点在圆外也可以把点与圆心的距离和半径作比拟，假设距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆师本节课我们将类比地学

36、习直线和圆的位置关系新课讲解1复习点到直线的距离的定义生从点向直线作垂线，点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离如以下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离2探索直线与圆的三种位置关系师直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？生把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系师从上面的举例

37、中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？生有三种位置关系：师直线和圆有三种位置关系，如以下图：它们分别是相交、相切、相离当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangentline)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？生当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离师能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比拟，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径

38、r之间的关系来确定三种位置关系呢？生如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，dr；当直线与圆相切时，dr；当直线与圆相离时，dr，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系师由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定投影片(351A)(1)从公共点的个数来判断：直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：dr时，直线与圆相交；dr时，直线与圆相切；dr时，直线与圆相离投影片(3

39、51B)例1RtABC的斜边AB8cm，AC4cm(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与C相切？(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？分析：根据d与r间的数量关系可知：dr时，相切；dr时，相交；dr时，相离解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CDAC4cm，AB8cm；cosA，A60CDACsinA4sin602(cm)因此，当半径长为2cm时，AB与C相切(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d2cm，所以，当r2cm时，dr，C与AB相离；当r4cm时，dr，C与AB相交3议一议(投影片351C)(1)你能举出生活中直

40、线与圆相交、相切、相离的实例吗？(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？(3)如图(2)，直线CD与O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由对于(3)，小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD你同意他们的观点吗？师请大家发表自己的想法生(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的局部都能完全重合对称轴是d

41、所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图(2)是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此BACBAD90师因为直线CD与O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论在图(2)中，AB与CD要么垂直，要么不垂直假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD、垂足为M，则OMOA，即圆心O到直线CD的距离小于O的半径，因此CD与O相交，这与条件直线CD与O相切相

42、矛盾，所以AB与CD垂直这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和条件或定理相矛盾第三步是肯定假设错误，故结论成立课堂练习随堂练习课时小结本节课学习了如下容：1直线与圆的三种位置关系(1)从公共点数来判断(2)从d与r间的数量关系来判断2圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径3例题讲解课后作业习题37活动与探究如以下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度向北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千米的围是受台风影响的区域(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？(2)假设A城受到这次台风的影响，试计算

43、A城遭受这次台风影响的时间有多长？分析：因为台风影响的围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比拟A到直线BF的距离d与半径200千米的大小假设d200，则无影响，假设d200，则有影响解：(1)过A作ACBF于C在RtABC中，CBA30，BA300，ACABsin30300150(千米)AC200，A城受到这次台风的影响(2)设BF上D、E两点到A的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外时，对A城没有影响AC150，ADAE200，DCDE2DC100t10(小时)答：A城受影响的时间为10小时直线和圆的位置关系(2)教学目标

44、(一)教学知识点1能判定一条直线是否为圆的切线2会过圆上一点画圆的切线3会作三角形的切圆(二)能力训练要求1通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力2会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力(三)情感与价值观要求经历观察、实验、猜测、证明等数学活动过程，开展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的根底知识和根本技能，并能解决简单的问题教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用作三角形切圆的方法教学难点探索圆的切线的判定方法教学方法：师生共同探索法教具准备教学过程创设问题情境，引入新课师上节课我们学习了直线和圆的位

45、置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比拟两种方法进展判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件新课讲解1探索切线的判定条件投影片(352A)如以下图，AB是O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角，当l绕点A旋转时，(1)随着的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与O的位置关系如何变化？(2)当等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与O有怎样的位置关系？为什么？师大

46、家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动观察发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见生(1)如上图，直线l1与AB的夹角为，点O到l的距离为d1，d1r，这时直线l1与O的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，由锐角变为直角，点O到l的距离为d，dr，这时直线l与O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2r，这时直线l与O的位置关系是相离师答复得非常精彩通过旋转可知，随着由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当90时，d到达最大此时dr；之后当继续增大时，d逐渐变小第(2)题就解决了

47、生(2)当90时，点O到l的距离d等于半径此时，直线l与O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离dr时，直线与O相切师从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是O的切线？请大家互相交流生直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点师很好这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线2做一做O上有一点A，过A作出O的切线分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在圆心O和圆上一点A，则过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手生如以下图(

48、1)连接OA(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线3如何作三角形的切圆投影片(352B)如以下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离解：(1)作B、C的平分线BE和CF，交点为I(如以下图)(2)过I作IDBC，垂足为D(3)以I为圆心，以ID为半径作II就是所求的圆师由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到ABC三边的距离相等，为什么？生I在B的角平分线BE上，IDIM，又I在C的平分线CF上，IDIN，IDIMIN这是根据角平分线的性质定理

49、得出的师因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的切圆(inscribed circle of triangle)，切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的心(incenter)4例题讲解投影片(35C)如以下图，AB是O的直径，ABT45，ATAB求证：AT是O的切线分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由条件可知ATAB，所以ABTATB，又由ABT45，所以ATB45由三角形角和可证TAB90，即ATAB请大

50、家自己写步骤生证明：ABAT，ABT45ATBABT45TAB180ABTATB90ATAB，即AT是O的切线课堂练习随堂练习课时小结本节课学习了以下容：1探索切线的判定条件2会经过圆上一点作圆的切线3会作三角形的切圆4了解三角形的切圆，三角形的心概念课后作业习题38活动与探究AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD求证：DC是O的切线分析：要证DC是O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出34，又因为ODOB，OC为公共边，因此CDOCBO，所以ODCOBC90证明：连结ODOAOD，12，ADOC，13，2434ODOB，OCO

51、C，ODCOBCODCOBCBC是O的切线，OBC90ODC90DC是O的切线24.4弧长及扇形的面积教学目标(一)教学知识点1经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；2了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题(二)能力训练要求1经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力2了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力(三)情感与价值观要求1经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论确实定性2通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习

52、数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力教学重点1经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程2了解弧长及扇形面积计算公式3会用公式解决问题教学难点1探索弧长及扇形面积计算公式2用公式解决实际问题教学方法学生互相交流探索法教具准备2投影片四教学过程创设问题情境，引入新课师在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一局部，扇形是圆的一局部，则弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进展探索新课讲解一、复习1圆的周长如何计算？2圆的面积如何计算？3圆的圆心角是多少度？生假设圆的半径为r，则周长l2r，面积Sr2，圆的圆心角是360二、探

53、索弧长的计算公式投影片(37A)如图，*传送带的一个转动轮的半径为10cm(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送多少厘米？(3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送多少厘米？师分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360的圆心角，所以转动轮转1，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转n，传送带上的物品A被传送转1时传送距离的n倍生解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送21020cm；(2)转动轮转1，传送带上的物品A被传送cm；(3)转动轮转n，传送带上的物品A被传送ncm师根据上面的计算，你能猜测

54、出在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大家互相交流生根据刚刚的讨论可知，360的圆心角对应圆周长2R，则1的圆心角对应的弧长为，n的圆心角对应的弧长应为1的圆心角对应的弧长的n倍，即n师表述得非常棒在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：l下面我们看弧长公式的运用三、例题讲解投影片(37B)制作弯形管道时，需要先按中心线计算展直长度再下料，试计算以下图中管道的展直长度，即的长(结果准确到0.1mm)分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式l可求得的长，其中n为圆心角，R为半径解：R40mm，n110的长R4076.8mm因此，管道的展

55、直长度约为76.8mm四、想一想投影片(37C)在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n角，则它的最大活动区域有多大？师请大家互相交流生(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9；(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一局部，360的圆心角对应的圆面积，1的圆心角对应圆面积的，即9，n的圆心角对应的圆面积为n师请大家根据刚刚的例题归纳总结扇形的面积公式生如果圆的半径为R，则圆的面积为R2，1的圆心角对应的扇形面积为，n的圆心角对应的扇形面积为n因此扇形面积的计算公式为

56、S扇形R2，其中R为扇形的半径，n为圆心角五、弧长与扇形面积的关系师我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长的计算公式为lR，n的圆心角的扇形面积公式为S扇形R2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流生lR，S扇形R2，R2RRS扇形lR六、扇形面积的应用投影片(37D)扇形AOB的半径为12cm，AOB120，求的长(结果准确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果准确到0.1cm2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角n即可，此题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了解：的长1225.1cmS扇形122