四川省绵阳市三台县重点中学高三下3月月考数学试卷理科解析版

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1、2014-2015学年四川省绵阳市三台县重点中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题1（3分）直线：xsin30+ycos150+2=0的斜率是（）ABCD2（3分）设i是虚数单位，若复数a（aR）是纯虚数，则a的值为（）A3B1C1D33（3分）函数f（x）=的定义域是（）A1，4B1，4C（1，4D（1，44（3分）已知an=，Tn是数列an的前n项积，当Tn取到最大值时，n的值为（）A9B8C8或9D9或105（3分）在ABC中，A=60，若a，b，c成等比数列，则=（）ABCD6（3分）在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共

2、有（）A16个B18个C19个D21个7（3分）设a2b0，则（ab）2+的最小值是（）A12B9C6D38（3分）设x1，x2是函数f（x）=+2bx的两个极值点，且x1（0，1），x2（1，2），则的取值范围是（）A（2，1）B（，）（1，+）C（，1）D（，2）（1，+）9（3分）若直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A，BCD10（3分）设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）A（0，+）B（，0）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）二、填空题11（3分）若的展开

3、式的常数项为60，则a=12（3分）在直角梯形ABCD中，ADC=90，BC=CD=1，AD=2，P是线段CD上一动点，则的取值范围是13（3分）设a，b是非零实数，且满足，则=14（3分）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是ABC的内心，若，则x+y=15（3分）给出下列命题：设Sn表示数列an的前n项和，若Sn=2n1+p，则an是等比数列的充分且必要条件是p=；函数f（x）=的值域为；已知x（0，），则sin2x+的最小值为4；若方程e2lnx=在上有解，则a的取值范围是其中正确命题的序号是三、解答题：16已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和对于任意的nN*，都有4Sn=（

4、an+1）2（1）求数列an的通项公式（2）若2ntSn 对于任意的nN* 恒成立，求实数t的最大值17（12分）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，=（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C）的值域18某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润（1）求上表中a，b的值；（2）若以频

5、率作为概率，求事件A：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率P（A）；（3）求Y的分布列及数学期望EY19在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AD=DE=2BF=2，ED平面ABCD，FBED（1）若，求证：FG平面ABCD；（2）求二面角BEFC的大小20已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线求的最大值21已知函数f（x）=，g（x）=（）|xm

6、|，其中mR且m0（）判断函数f（x）的单调性；（）当m2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间2，2上的最值；（）设函数h（x）=，当m2时，若对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围2014-2015学年四川省绵阳市三台县重点中学高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1（3分）（2015春绵阳校级月考）直线：xsin30+ycos150+2=0的斜率是（）ABCD【分析】把原方程化为斜截式，直接得到斜率【解答】解：xsin30+ycos150+2=0，xy+2=0，y=x+k=，故选：A【点评】本题考查

7、直线的斜率的求法，考查计算能力，属于基础题2（3分）（2013安徽）设i是虚数单位，若复数a（aR）是纯虚数，则a的值为（）A3B1C1D3【分析】利用复数的运算法则把a（aR）可以化为（a3）i，再利用纯虚数的定义即可得到a【解答】解：=（a3）i是纯虚数，a3=0，解得a=3故选D【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键3（3分）（2011秋金华期末）函数f（x）=的定义域是（）A1，4B1，4C（1，4D（1，4【分析】函数f（x）=的定义域是x|，由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=的定义域是：x|，解得1x4故选：C【点评】本题考查函数的定义域的求法，是基础题解题

8、时要认真审题，仔细解答4（3分）（2015春绵阳校级月考）已知an=，Tn是数列an的前n项积，当Tn取到最大值时，n的值为（）A9B8C8或9D9或10【分析】通过令an=1得n=9，进而可得结论【解答】解：易知数列an是递减数列，令an=1，得：n=9，当n9时an1，当n9时an1，T8=T9为数列an的前n项积的最大值，n=8或9，故选：C【点评】本题考查数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题5（3分）（2015梧州三模）在ABC中，A=60，若a，b，c成等比数列，则=（）ABCD【分析】由等比中项的性质列出式子，结合条件和正弦定理求出a的表达式，代入式子化简即可求出的值【解

9、答】解：a，b，c成等比数列，b2=ac，又A=60，则由正弦定理得：=，即a=，代入得，则，所以=sinA=sin60=，故选：B【点评】本题考查了正弦定理，以及等比中项的性质的应用，属于基础题6（3分）（2011海盐县校级模拟）在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有（）A16个B18个C19个D21个【分析】首先分析题目求在1，2，3，4，5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的数的个数，故可以分类讨论情况1：若取三个完全不同的数字情景2：若取有两个相同的数字情况3：若取三个相同的数字分别求出各种情况的个数相

10、加即可得到答案【解答】解：求在1，2，3，4，5这五个数字所组成的三位数中，其各个数字之和为9故可分为3种情况情况1：若取三个完全不同的数字，为1，3，5或2，3，4其中每种可排321=6（个）数情景2：若取有两个相同的数字，为1，4，4或2，2，5每种可排3个数情况3：若取三个相同的数字，为3，3，3，可排一个数，所以共可排62+32+1=19（个）数故选C【点评】此题主要考查排列组合及简单的计数问题在实际中的应用，题中应用到分类讨论的思想，需要同学们注意题目属于基础题型7（3分）（2015春绵阳校级月考）设a2b0，则（ab）2+的最小值是（）A12B9C6D3【分析】由题意和基本不等式易

11、得b（a2b），代入再由基本不等式可得（ab）2+（ab）2+2=12，验证等号成立即可【解答】解：a2b0，b0，a2b0b（a2b）=，（ab）2+（ab）2+=（ab）2+2=12当且仅当b=a2b且（ab）2=即a=且b=时取等号故选：A【点评】本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题8（3分）（2015春绵阳校级月考）设x1，x2是函数f（x）=+2bx的两个极值点，且x1（0，1），x2（1，2），则的取值范围是（）A（2，1）B（，）（1，+）C（，1）D（，2）（1，+）【分析】求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1（0，1

12、），x2（1，2），建立不等式，利用平面区域，即可求的取值范围【解答】解：由题意，f（x）=x2+ax+2bf（x）的两个极值点分别是x1，x2，x1（0，1），x2（1，2），对应的平面区域如图所示，三个顶点坐标为A（1，0），B（2，0），C（3，1），则在（1，0）处，=2，在（3，1）处，=1，的取值范围是（，2）（1，+）故选：D【点评】本题考查导数知识的运用：求极值，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题9（3分）（2011天心区校级模拟）若直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A，BCD【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把

13、直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k1联立求得k的范围【解答】解：渐近线方程为y=x，由消去y，整理得（k21）x2+4kx+10=0设（k21）x2+4kx+10=0的两根为x1，x2，直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于不同的两点，k0，故选D【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合10（3分）（2015秋辛集市校级期末）设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意xR，f（x）+f（x）1，则不等式exf（x）ex+1的解集为（）A（0，+）B（，0）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）【分析】本题构造新函

14、数g（x）=exf（x）ex，利用条件f（x）+f（x）1，得到g（x）0，得到函数g（x）单调递增，再利用f（0）=2，得到函数g（x）过定点（0，1），解不等式exf（x）ex+1，即研究g（x）1，结合函数的图象，得到x的取值范围，即本题结论【解答】解：令g（x）=exf（x）ex，则g（x）=exf（x）+exf（x）ex，对任意xR，f（x）+f（x）1，g（x）=exf（x）+f（x）10，函数y=g（x）在R上单调递增f（0）=2，g（0）=1当x0时，g（x）1；当x0时，g（x）1exf（x）ex+1，exf（x）ex1，即g（x）1，x0故选A【点评】本题考查了函数的导数与

15、单调性，还考查了构造法思想，本题有一定的难度，计算量适中，属于中档题二、填空题11（3分）（2015春绵阳校级月考）若的展开式的常数项为60，则a=4【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a的值【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=x6rx2r=x63r，令63r=0，可得 r=2，展开式的常数项为=60，解得a=4故答案为：4【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题12（3分）（2015春绵阳校级月考）在直角梯形ABCD中，ADC=90，BC

16、=CD=1，AD=2，P是线段CD上一动点，则的取值范围是5，【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），设P（0，b）（0b1），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最值【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0）设P（0，b）（0b1）则=（2，b），=（1，1b），=（5，34b）则=5，=，故答案为：【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活

17、应用知识分析解决问题的能力13（3分）（2011恩施州模拟）设a，b是非零实数，且满足，则=【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出，即可求得结论【解答】解：因为且tan=tan=tan（k）=故答案为：【点评】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用解决本题的关键是把已知条件转化为以及得tan=，从而求出14（3分）（2015春绵阳校级月考）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是ABC的内心，若，则x+y=【分析】通过建系如图并设O（0，t），利用O是ABC的内心即点O到直线AC的距离与|OD|相等可知O（0，），利用化简即得结论【解答】解：取BC的中点D，连结AD并建系如图，设O

18、（0，t），依题意A（0，4），B（3，0），C（3，0），直线AC的方程为：4x+3y12=0，=（3，4），=（3，4），点O到直线AC的距离d=（4t），O是ABC的内心，|OD|=d，即t=（4t），解得：t=，O（0，），=（0，），又=x（3，4）+y（3，4）=（3y3x，4x4y），x+y=故答案为：【点评】本题考查平面向量的基本定理及其几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题15（3分）（2015春绵阳校级月考）给出下列命题：设Sn表示数列an的前n项和，若Sn=2n1+p，则an是等比数列的充分且必要条件是p=；函数f（x）=的值域为；已知x（0，），则sin2x+的最小值

19、为4；若方程e2lnx=在上有解，则a的取值范围是其中正确命题的序号是【分析】根据等比数列的前n项和公式和充要条件的定义，可判断；求出函数f（x）=的值域，可判断；求出x（0，）时，sin2x+的最小值，可判断；根据方程e2lnx=在上有解，求出a的取值范围，可判断【解答】解：设Sn表示数列an的前n项和，若Sn=2n1+p，当p=时，数列an是一个公比为2，首项为的等比数列，若an是等比数列，则由Sn=2n1+p可得公比q1，则由Sn=2n1+p=可得：p=；故an是等比数列的充分且必要条件是p=，即正确；函数f（x）=的值域为，故错误；已知x（0，），则当sinx=1时，sin2x+取最小

20、值5，故错误；若方程e2lnx=在上有解，即方程x2=在上有解，即a=在上有解，令y=则y=，令y=0，则x=故当x时，y0，函数为增函数，当x时，y0，函数为减函数，故当x=时，y=取最大值，故当x=1时，y=取最小值，则a的取值范围是，故正确；故正确的命题的序号是：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档三、解答题：16（2005温州一模）已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项的和对于任意的nN*，都有4Sn=（an+1）2（1）求数列an的通项公式（2）若2ntSn 对于任意的nN* 恒成立，求实数t的最大值【分析

21、】（1）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn4Sn1进行化简得anan1=2，从而得到数列an是等差数列，直接求出通项公式即可；（2）若2ntSn对于任意的nN*恒成立，则，然后研究数列的单调性，可求出t的范围，从而求出所求【解答】解：（1）4S1=4a1=（a1+1）2，a1=1当n2时，4an=4Sn4Sn1=（an+1）2（an1+1）2，2（an+an1）=an2an12，又an各项均为正数，anan1=2数列an是等差数列，an=2n1（ 2）Sn=n2，若2ntSn对于任意的nN*恒成立，则令，当n3时，又，t的最大值是【点评】本题主要考查了数列的递推关系，以及恒成立问题和转化

22、的数学思想，属于中档题17（12分）（2014安庆三模）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，=（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C）的值域【分析】（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得 A=（II） 由A=，可得 B+C= 化简函数y等于 2sin（B+），再根据B+的范围求得函数的定义域【解答】解：（I）ABC中，由正弦定理，得：，（2分）即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，（4分）cosA=，A= （6分）（II）A=，B+C= （8分）故函数y=sinB+sin（B）

23、=sinB+cosB=2sin（B+） （11分）0B，B+，sin（B+）（，1，（13分）故函数的值域为 （1，2 （14分）【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（2015春绵阳校级月考）某品牌汽车4S店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款，其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润（1）求上表中a，b的值；（2）

24、若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌的3位顾客中，至多有一位采用分3期付款”的概率P（A）；（3）求Y的分布列及数学期望EY【分析】（1）=0.2，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b（2）记分期付款的期数为x，则x的所有可能取值为1，2，3，4，5P（x=1）=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，可得所求的概率P（A）（3）Y的可能取值为：1，1.5，2万元可得P（Y=1）=P（x=1），P（Y=1.5）=P（x=2）+P（x=3），P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5），即可得出【解答】解：（1）=0.2

25、，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b=10（2）记分期付款的期数为x，则x的所有可能取值为1，2，3，4，5P（x=1）=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，故所求的概率P（A）=0.83+=0.896（3）Y的可能取值为：1，1.5，2万元则P（Y=1）=P（x=1）=0.4，P（Y=1.5）=P（x=2）+P（x=3）=0.4，P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5）=0.2Y的分布列为：Y11.52P0.40.40.2E（Y）=10.4+1.50.4+20.2=1.4（万元）【点评】本题考查了频率的计算、随

26、机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（2015春绵阳校级月考）在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AD=DE=2BF=2，ED平面ABCD，FBED（1）若，求证：FG平面ABCD；（2）求二面角BEFC的大小【分析】（1）过G作GHAD于点H，连接HB，证明GFHB，即可证明FG平面ABCD；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面EFG与平面BDEF的法向量，即可求二面角BEFC的大小【解答】（1）证明：，G为AE中点，过G作GHAD于点H，连接HB，则GH=1，GHDE，FB=1，FBDE，FGHB是平行四边形，GFHB，GF平面ABCD，H

27、B平面ABCD，FG平面ABCD；（2）解：建立如图所示的坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），F（2，2，1），=（0，2，2），=（2，0，1），设=（x，y，z）是平面EFG的法向量，则，取=（1，2，2），=（2，2，0），=（2，2，1），=（0，0，1），=0，=0，ACEF，ACBF，EFBF=F，=（2，2，0）是平面BDEF的一个法向量，cos，=，二面角BEFC的大小为锐角，二面角BEFC的大小为45【点评】本题考查线面平行的判定，考查二面角大小的计算，考查向量方法的运用，属于中档题20（2015顺义区二模）已知椭圆C：的两个焦点

28、分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且PF1F2的周长为6（）求椭圆C的方程；（）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线求的最大值【分析】（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6解得a，c，再利用b2=a2c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m0）与椭圆的方程联立，得到判别式0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到kOM=kOP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函

29、数的单调性即可得出最值【解答】解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6解得a=2，c=1，又b2=a2c2=3，所以椭圆C的方程为（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件故可设直线l的方程为y=kx+m（m0）由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0则=64k2m24（3+4k2）（4m212）0，所以点M的坐标为M，O，P三点共线，kOM=kOP，m0，此时方程为3x23mx+m23=0，则=3（12m2）0，得x1+x2=m，|AB|2=，又=，=，故当时

30、，的最大值为【点评】熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到kOM=kOP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键本题需要较强的计算能力21（2015眉山模拟）已知函数f（x）=，g（x）=（）|xm|，其中mR且m0（）判断函数f（x）的单调性；（）当m2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间2，2上的最值；（）设函数h（x）=，当m2时，若对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围【分析】（）

31、求导，由导数讨论正负从而确定函数的单调性；（）当m2，2x2时，可判断g（x）与f（x）在2，2上单调递减，从而在2，2上单调递减；从而求最值；（）由题意先求得当m2，x12，+）时；再求得当m2，x22时，；从而化为即可，记函数，从而求解【解答】解：（）依题意，当m0时，解f（x）0得2x2，解f（x）0得x2或x2；所以f（x）在2，2上单调递增，在（，2），（2，+）上单调递减；当m0时，解f（x）0得2x2，f（x）0得x2或x2；所以f（x）在2，2上单调递减；在（，2），（2，+）上单调递增（）当m2，2x2时，在2，2上单调递减，由（）知，f（x）在2，2上单调递减，所以在2，2上单调递减；（）当m2，x12，+）时，由（）知h（x1）在2，+）上单调递减，从而h（x1）（0，f（2），即； 当m2，x22时，在（，2）上单调递增，从而h（x2）（0，g（2），即；对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，只需，即成立即可记函数，易知在2，+）上单调递增，且H（4）=0；所以m的取值范围为2，4）【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的四则运算等，属于难题