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1、Levinson-Durbin算法一、实验目的学会LEVINSON-DURBIN算法求解Yule-Walker方程，并通过MATLAB实现程序及仿真。、实验原理1、线性预测分析的基本原理由于语音样点之间存在相关性，所以可以用过去的样点值来预测现在或未来的样点值。如下图所示x(n-p),x(n-p1),，x(n-p)Ax(n)|线性预测图1线性预测Ap由上图可得x(n)=ap|X(n-l)，从而可以通过使实际语音x(n)和线性预测结果x(n)之间的误差e(n)在某个准则下达到最小值来决定唯一的一组预测系数apl。而这组系数就能反映语音信号的特性，可以作为语音信号特征参数来用于语音编码、语音合成和
2、语音识别等应用中去。2、Yule-Walker(Y-W)方程由估计值和实际信号值的误差可有Appap0二1e(n)=x(n)_x(n)=x(n)亠二aplx(n_l)=、aplx(n_l)i1i=0- 根据e(n)最小均方误差准则，来决定唯一的一组预测系数apl，即p=min由此可得到Y-W方程：=Ee2nI-Ex(n)apix(nl)2vpZaplR(k-1l卫min0-R(0)R(1)-R(P)k0一取遍k值之后可有以下:k=一由相关函数的偶函数性质可有Rp-1R-1R0；minR00R1R1R0R(p)ap1Rp-1ap1.R(P)Rp-1.R0.app在已知自相关函数的前提下，根据e(
3、n)均方误差最小的原则来求解ak,本实验中采用Levinson-Durbin算法。3、Levinson-Durbin算法简介Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始，按照前面的Y-W方程可有，一阶AR模型(p=1)的Y-W方程是卜(0)4(1)11=严2丨工xx(1)rxx(0)0一该方程解出：a11-rxx1rxx0二1=1-anrxx0然后增加一阶，即令p=2，可得到:a21J(o)PxxOrxx(2升11芮”xx(1)rxx(o)山1).(2)5(1)山0)22j.0一由上式可解出：a?二-匕2印心2/J2a?1a1a22a1烏=1_a222时然后令p=2,3，以此类推，
4、可以得到一般的递推公式:-pMP)+瓦apjx(pk)k_-7一kP_2pAkp=appapk二玄心二沐kpa(p)(p上)k=1,2,.P-1222二p=1-kp二p_i环=Q(0)=eE2(np式中的kp称为反射系数，而二2和二2二是预测误差的均方误差值，因此i-k：必须大于等于o,这样kp应满足下式kp叨进而得到2兰bp，即预测误差随地退次数的增加而减少。三、实验过程实验开始先按照前文所述的Levinson算法的递推公式编写子函数functiona_P,E_V=Levinson_algorithm(x,p)其中a_p是输出的预测系数ak，E_V是输出的预测误差均放值。该子函数实现用Lev
5、inson-Durbin算法求解Yule-Walker方程，用迭代方法求解与谱估计有关的参量。利用子函数估计AR(2)模型中的参数值，估计其功率谱，并与已知的信号功率谱进行比较。参数设置：已知信号为白噪声通过线性系统H(z)=1心+a1*zA(-1)+a2*z(2)产生信号向量，p=90,先假设已知模型的输入系数为a0=10.780.92。实验结果由图可知，两图的频谱基本一致，即可知该子函数可以很好的估计出模型参数附录：函数程序%子函数程序%Levinson-Durbin函数%参量：A(R)模型的输入参数为信号x和滤波器阶数%运用前面所编写的levinson算法程序计算已知信号的预测误差准确性
6、。测功率误差E_p；functiona_p,E_V=Levinson_algorithm(x,p)算N=length(x);fori=1:NRx(i)=x(1:N-i+1)*(x(i:N)/N;数值end%levinson算法迭代过程a(1)=1;a(2)=-Rx(2)/Rx(1);个系数fork=1:p-1E_V(k+1)=Rx(1)+a(2:k+1)*Rx(2:k+1)：D(k+1)=a(1:k+1)*(fliplr(Rx(2:k+2);新gama(k+2)=D(k+1)/E_V(k+1);的更新E_V(k+2)=E_V(k+1)*(1-(gama(k+2)A2);%预测系数的更新a_yu
7、ce(1)=1;forq=1:ka_yuce(q+1)=a(q+1)-gama(k+2)*a(k-q+2);enda_yuce(k+2)=-gama(k+2);a=a_yuce;enda_p=a;E_p=E_V;%函数应用实例p，输出参数为模型预测系数a_p和预%输入信号的互相关函数计算%计算输入信号的自相关函数值%自适应滤波器的前两个系数%预测误差更新%为扩大方程矩阵中的Dk的更新%反射系数gama的更新%预测误差的更新%由k阶系数预测第k+1阶系数%准备下一次迭代%算法迭代完成输出模型系数%输出系统预测误差,一次检验所设计的算法%给出一个已知的模型，让一直信号经过该模型之后利用函数估计模型
8、系数%已知模型设为x(n)=a1*u(n-2)+a2*u(n-1)+a3*u(n)clear;closeall;clc;%产生已知的信号u=randn(1,3000);%产生均值为0,方差(功率)为1，数据长度为3000的高斯白噪声a0=10.720.88;%已知模型的输入系数x=filter(1,a0,u);%产生的信号模型是x(n)=a0(1)*u(n-2)+a0(2)*u(n-1)+a0(3)*u(n);%其中的a0(i)为a0中的数值%由已知模型画出信号的功率谱函数图w=linspace(-pi,pi,3000);%将角频率w从-pi到pi平均分成2000等份form=1:3000c=
9、w(m);s(m)=1/(abs(1+a0(2:3)*exp(-j*c*(1:2)A2;%信号功率谱s，其中系数为给定的模型参数endfigure(1);plot(w,s);%画出一直信号的频谱图title(根据已知的模型参数求得信号的频谱);%下面利用所编写的算法求得预测模型系数p=50;a_P,E_V=Levinson_algorithm(x,p);form=1:3000%用于估计的模型参数%调用子函数c=w(m);sx(m)=1/(abs(1+a_p(2:p+1)*exp(-j*c*(1:p)A2;系数为由子函数预测得到的模型参数%信号功率谱s，其中endfigure(2);plot(w,sx);title(根据预测得到的模型参数求得信号的频谱%画出一直信号的频谱图);
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